LOGARITMO. Log a = x 10 x = a
|
|
- Isaac Ribas Caetano
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 LOGARITMO - Introdução O pesquisador John Napier nasceu na Escócia (550 60). Ele, depois de 0 anos pesquisando logaritmo introduziu o seu conceito, que foi aperfeiçoado por Henry Briggs, pesquisador nascido na Inglaterra (56 60). O interesse sore os estudos dos logaritmos decorreu em virtude de alguns cálculos ecessivamente traalhosos para a época, como por eemplo: 45,87 0,459 ou 45,87 0,459. Como é mais fácil somar em vez de multiplicar ou diminuir no lugar de dividir, ele uscou essa alternativa através dos logaritmos que possiilita a transformação de um produto em uma soma e de uma divisão em uma sutração, entre outras transformações possíveis. Na realidade, logaritmo é, como iremos ver, o nome que se dá ao epoente de uma potência. Sae-se que 4 = 8, onde é a ase, 4 o epoente e 8 o resultado que denominamos de potência. Utilizando o linguajar dos logaritmos, temos que 4 é o logaritmo de 8 na ase, onde, simolicamente escrevemos 4 = 8. - Definição Dada a relação = a, com a > 0, > 0 e. Dizemos que é o logaritmo de a na ase. Simolicamente temos: a =, onde, a é o logaritmando ou antilogaritmo, a ase e o resultado que denominamos de logaritmo de a na ase. Em resumo temos: a = = a - Bases de um sistema de logaritmo. ª)aritmo Decimal (ou Comum): apresenta o número 0 como ase do sistema de logaritmos sendo representado simolicamente por a (lê-se: logaritmo de a na ase 0). a = 0 = a ª) aritmo Neperiano (ou Natural): apresenta o número irracional e =,78...(número neperiano), como ase do sistema de logaritmos, sendo representado simolicamente por Ln a ou e a (Lê-se: logaritmo neperiano ou
2 natural de a na ase e). É o sistema de logaritmo muito utilizado nos estudos de vários fenômenos da natureza. Ln a = 0 = a Os.: O número e =,78... foi denominado de número neperiano em homenagem ao descoridor dos logaritmos, John Napier. Eemplos - Calcule o valor de cada logaritmo: a) ) 9 c) 8 8 d) e) 5 5 f) 7 7 g) 0,... h) i) 0,0000 Solução a) = n n = *Decompondo em fatores primos: = 5 n = 5 n = 5 ) 9 = n n = 9 n = n = - n = - Propriedade da potência: a a c) 8 = n n = 8 8 n = d) = n 7 n = / Propriedade da potência: c a a n = / n n 8 7 c
3 n n = Propriedade da potência: a c c c a e) 5 5 = n 5 n = 5 n = f) 7 = n 7 n = 7 n = 7 0 n = 0 g) 0,... = n n = 0,.. 0,... n = - n = - 9 h) = n 0 n = Potência de ase 0: = n = 0 5 n = 5 i) 0,0000 = n 0 n = 0,0000 Potência de ase 0: 0,0000 = n = 0-5 n = -5 * Decomposição em fatores primos Propriedades dos logaritmos -Considerando a, e c números reais positivos, temos: ª) Quando o logaritmando (ou antilogaritmo) for igual a ase, o logaritmo vale. = ª) Quando o logaritmando for igual a, independentemente do valor da ase, o logaritmo vale 0. = 0 ª) aritmo de uma potência é igual ao produto do epoente da potência pelo logaritmo da ase da potência.
4 (a n ) = n. a Os.: a n (logaritmo da potência) ( a) n (potência de um logaritmo) 4ª) Uma potência cujo epoente é um logaritmo, se a ase da potência for igual a do logaritmo, o resultado será o logaritmando. a = a 5ª) aritmo do produto de números em uma determinada ase é a soma dos logaritmos desses números na mesma ase. n (a.) = n a + n n (a..c) = n a + n + n c n (a..c.....m) = n a + n + n c n m 6ª) aritmo do quociente de dois números a e 0, em uma determinada ase, é igual a diferença dos logaritmos desses números na mesma ase. n a = n a n 7ª) Mudança de ase: Eistem prolemas que, direta ou indiretamente, solicita que você mude a ase do logaritmo que está traalhando, afim de encontrar a solução desejada. Neste caso, aplica-se a regra aaio: a n a (n é um número real positivo diferente de ) n Os.: a c (log aritmo do quociente ) a c ( quociente dos log aritmos ) Eemplos ) Calcule o termo desconhecido em cada igualdade: a) = 4 ) = -4 c) 9 = / d) 7 = e) (/4) = f) (/) (9/4) = g) 9 = h) 4 = - i) = /
5 Solução: a) = 4 = 4 ) = -4 = -4 = 6 = / 4 = /6 c) 9 = / = 9 / d) 7 = = 7 = 9 = = = e) 4 = = 4 f) 4 9 = 4 9 = = - = - = - g) 9 = = 9 h) 4 = - - = = = /4 serve não pois,, 4 i) = ) ( cuo ao elevando = 7
6 ) Saendo que = e y =, determine: a) (.y) ) y c) 4 d) 4 e) 5 y f) y Solução a) (.y) = + y = + = 5 (Prop. 6) ) = y = = - (Prop. 7) y c) 4 = 4. = 4. = 8 (Prop. ) d) 4 = ( ) 4 = 4 = 6 e) 5 5 y = f) y = y y = =. 5 y =, (Prop. ) =,5 (Prop. 7) ) Saendo que = 0, e = 0,5, determine: a) 6 ) 6 c) d) 5 e) f) Solução a) 6 = () = + = 0, + 0,5 = 0,8 ) 6 = ( ) = + =. +. =.0, +.0,5 =,6 c) = =. = 0, 0 = 0,5 d) 5 = = 0 = 0, = 0,7 e) = 0, f) = = 0, 0,5 = 0,6
7 - Conceito: FUNÇÃO LOGARITMICA Denomina-se Função arítmica toda função do tipo f() = n, * sendo que o logaritmando () pode assumir qualquer valor real posiivo e, a ase (n), somente valores positivos diferentes de um Eemplos: * n. a) f() = log ) 0,5 c) 4 () d) / ( + ) - Função aritmica Crescente e Decrescente. Oserve que as funções acima ora apresentam as ases maiores que um (n > ), ora apresentam as ases entre zero e um (0 < n < ). Então, através da ase podemos verificar se uma função logaritmica é crescente ou decrescente..- Função aritmica Crescente. Nos eemplos a e c, as ases são maiores que um ( e 4), nesses casos, as funções são ditas crescentes..- Gráfico da Função aritmica Crescente. Eemplo: - Construir o gráfico da Função aritmica f() =. Vamos atriuir valores aritrários, que facilitam nossos cálculos, para a variável independente, encontrando valores correspondentes para a função y. Em seguida, sustituir os pares determinados, no plano cartesiano. y (, y) f() = / - (/, -) (/) = - 0 (, 0) f() = 0 (, ) f() = 4 (4, ) f(4) = 8 (8, ) f(8) = y 4 /
8 Analisando o gráfico, verifica-se que: a) A função logarítmica é crescente, pois, além da ase ser um número maior que um, oserva-se que um aumento (ou diminuição) de, acarreta um aumento (ou diminuição) de y. ) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = + * ).. Oserve no gráfico que só assumem valores positivos e não-nulos. c) A imagem y, é representada pelo conjunto dos reais (Im = )..- Função aritmica Decrescente. Nos eemplos e d, as ases estão compreendidas entre 0 e, nesses casos, a função eponencial é dita decrescente..4- Gráfico da Função aritmica decrescente. Eemplo: - Construir o gráfico da função logaritmica f() = /. y (, y) f() = /4 (/4, ) (/4) = 0 (, 0) f() = 0 - (, -) f() = (4,- ) f(4) = (8, -) f(8) = - Analisando o gráfico, verificamos que: a) A função logaritnica é decrescente, pois, além da ase ser um número pertencente ao intervalo ]0, [, oserva-se que um aumento (ou diminuição) de, acarreta uma diminuição (ou aumento) de y. ) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = + * ). Oserve no gráfico que só assumem valores positivos e não-nulos. c) A imagem y, é o conjunto dos reais (Im = ).
9 - Domínio da Função arítmica. Para encontrar o domínio (campo de eistência) de uma função logarítmica, devemos verificar a localização da variável independente. Se ela estiver no logaritmando, o mesmo deverá ser positivo, porém, se ela estiver na ase, a mesma deverá assumir valor positivo, mas, diferente de (um). Eemplo - Encontrar o domínio de cada função: a) f() = ( 8) ) y = (-) c) y = (-) ( 4) Solução a) f() = ( 8) Como está no logaritmando, temos a seguinte condição: 8 > 0 > 4 D = { / > 4} ) y = (-) Como está na ase, temos as seguites condições: > 0 > e D = { / > } c) y = (-) ( 4) Como se apresenta no logaritmando e na ase, temos: ) 4 > 0 ) - > 0 e - = > D = { / > } ou ], +) 4- Equações arítmicas Para resolvermos equações logarítmicas devemos seguir alguns passos: º) Instituem-se as condições de eistência dos logaritmos;
10 º) Utilizam-se as propriedades dos logaritmos para resolver a equação; º) Verificar se o resultado do º passo pertence ao conjunto solução do º passo. Eemplos: - Resolva a equação ( + ) + =. º passo: Condição de eistência (C.E.). ) + > 0 > - ) > 0 º passo: Resolvendo a equação. ( + ) + = (propriedade) [( + ).] = ( + ) = (definição) + = + 4 = 0 (aplicando a fórmula de Bháskara) ' " 4 º passo: oserve que apenas = satisfaz a C.E. ( > 0), logo, S = {} - Encontre o conjunto solução da equação + 4 (- + 5) =. º passo: Condição de eistência (C.E.). I) > 0 > 0 II) > 0 < 5
11 º passo: Resolvendo a equação. + 4 (- + 5) = ( mudança de ase) ( 5 ) ( 4 ) 4 ( 5 ) (m.m.c. = ). ( 5 ) ( 5) (propriedade) ( 5 ) (propriedade) ( 5) ( 5 ) (definição) (fórmula de Bháskara) ' 4 " º passo: oserve que os resultados 4 e pertencem ao conjunto C.E., logo, S = {, 4} 5- Inequações arítmicas Se uma inequação apresenta a variável independente no logritmando ou na ase de um logaritmo, denomina-se a mesma de inequação logarítmica. Para resolver inequações logarítmicas devemos seguir, como nas equações, os seguintes passos: º) Instituem-se as condições de eistência dos logaritmos; º) Resolve-se a inequação logarítmica:.- Se a ase for maior que ( > ), conserva-se o sinal da desigualdade..- Se a ase estiver entre 0 e (0 < < ), inverte-se o sinal da desigualdade. º) Encontra-se a intersecção do resultado do º com o do º passo. Eemplos 0- Resolva a inequação ( 6) ( + ) > 0. º passo: Condição de eistência (C.E.). I) 6 > 0 > II) + > 0 > -
12 º passo: Resolvendo a inequação. ( 6) ( + ) > 0 ( 6) > ( + ) ( >, permanece o sinal da inequação) 6 > + > 4 Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S = { / > 4}, porém, vamos ao º passo. º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do º com o do º passo. 0- Encontre o conjunto solução da inequação ½ ( ) -. º passo: Condição de eistência (C.E.). > 0 (a = - a < 0) = 0 ' " º passo: Resolvendo a inequação. ½ ( ) - (sendo = ½, inverte-se o sinal da inequação) (/) (-) = 0 { e m/a
13 Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S =, porém, vamos ao º passo. º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do º com o do º passo. 6- Característica e Mantissa de um logaritmo Procurando na táua dos logaritmos ou na calculadora científica o logaritmo de 5,4 encontramos, como resultado, aproimadamente,78. Separando a parte inteira da decimal, temos:,78 = + 0,78. A parte inteira () denomina-se característica e a parte decimal (0,78) de mantissa. Para calcular a característica do 5,4 deve-se sutrair a quantidade de dígitos da parte inteira do logaritmando () de um () encontrando como resultado. Esse cálculo é feito quando o logaritmando assumir um valor real positivo e maior que. Já, a mantissa (0,78) é encontrada na táua dos logaritmos. Quando o logaritmando for um número real positivo e menor que (um), a característica será a quantidade de zeros que antecedem o º dígito não-nulo acompanhada do sinal negativo (-). Eemplos: ) Determine a característica de cada número aaio: a),45 ) 67,45 c) 0,56 d) 0,045 e) 0,00004 Solução a),45 C = = 0, logo, o resultado do logaritmo é 0, mantissa. ) 67,45 C = =, logo, o resultado do logaritmo é, c) 0,56 C =-, logo, o resultado do logaritmo é -, mantissa d) 0,045 C = -, logo, o resultado do logaritmo é -, mantissa e) 0,00004 C = -, logo, o resultado do logaritmo é -, mantissa mantissa. ) Qual é a característica de um número real positivo menor que que apresenta, na forma decimal, 4 zeros antecedendo o primeiro dígito não-nulo? Solução Oserve o seguinte número 0,0005. A quantidade de zeros que antecede o º dígito não-nulo 4, logo, a característica é -4.
14 BIBLIOGRAFIA Guidorizzi, Hamilton, Um curso de Cálculo, Vol., Livros Técnicos e Científicos, 5 a edição, 00. L.Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica, Harra, São Paulo, 977. Stewart, James, Cálculo, Vol., Editora Pioneira, 4a. edição, 00.
FUNÇÃO EXPONENCIAL. e) f(x) = 10 x. 1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1. Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R + *.
FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, tal que 0 < a?, chamamos função eponencial de ase a a função f de R R que associa a cada real o número a. Podemos escrever, tamém: f: R R a Eemplos
Leia maisFunção Exponencial. 1.Definição 2.Propriedades 3.Imagem 4.Gráfico 5.Equações exponenciais 6.Inequações exponenciais
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função Eponencial Prof.:
Leia mais( ) Função Exponencial. Função Exponencial. x = 0 f(0) = a 0 = 1. x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) x a. 1 a ) Na função exponencial f(x) = a x, temos:
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função Eponencial. Propriedades
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 09 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
. Logaritmos Definição: O logaritmo de um número real x na base n, denotado por log n x, é definido como o expoente ao qual devemos elevar o número n para obtermos como resultado o número x, ou seja log
Leia maisEquações Exponenciais e Logarítmicas. Equações Exponenciais e Logarítmicas. Exemplos: Exemplos: a x = b x= log a b. 1) Resolva as equações: ) 5 = 3
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Equações Eponenciais e Logarítmicas.
Leia maisMatemática Aplicada à Farmácia
Matemática Aplicada à Farmácia. FUNÇÕES MATEMÁTIAS Este conteúdo é em geral ministrado na 5ª e 6ª séries do ensino fundamental, e aprimorado no ensino médio. Apesar da simplicidade é ele que nos proporcionará
Leia maisFUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Equações Eponenciais: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA Chamamos de equações eponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em epoente. Para resolver equações eponenciais, devemos realizar
Leia mais1. EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL
CURSO PRÉ-VESTIBULAR MATEMÁTICA AULA 0 ASSUNTO: REVISÃO Esta aula é composta pelo teto da apostila aaio e por um link de acesso à AULA VIRTUAL gravada. Estude com atenção o teto antes de acessar a aula
Leia maisa) 4x 10 = 0, onde x é a incógnita e 4 é 10 são os coeficientes. b) x + 3 = 4x + 8
Equação do 1º Grau Introdução Equação é uma sentença matemática aberta epressa por uma igualdade envolvendo epressões matemáticas. Uma equação é composta por incógnitas e coeficientes (esses são conhecidos).
Leia maisNOÇÕES BÁSICAS SOBRE UTILIZAÇÃO DE CALCULADORA CIENTÍFICA
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE UTILIZAÇÃO DE CALCULADORA CIENTÍFICA Professor: Jeferson de Arruda E-mail: profjeferson_df@hotmail.com UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA CIENTÍFICA As informações aqui contidas são para utilização
Leia maisLOGARITMOS K AT E L Y N L U Z I A D O S S AN T O S D AB O I T
LOGARITMOS K AT E L Y N L U Z I A D O S S AN T O S D AB O I T HISTÓRIA No início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para simplificar
Leia maisGiovanna ganhou reais de seu pai pra fazer. sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no. entanto, resolveu abri mão da festa.
LOGARITMOS QUAL É O TEMPO? Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador.
Leia maisUnidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos
Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)
Leia maisInequação Logarítmica
Inequação Logarítmica. (Fuvest 05) Resolva as inequações: 3 a) 6 0; 3 b) log 6.. (Uerj 05) Ao digitar corretamente a epressão log 0( ) em uma calculadora, o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem
Leia maisInequações Exponenciais e Logarítmicas. Inequações Exponenciais e Logarítmicas. Exemplos:
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Inequações Eponenciais e
Leia maisInequação do Primeiro Grau
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.1 Inequação do Primeiro Grau Bárbara Simionatto - Engenharia Civil Definição Equação x Inequação Uma equação é uma igualdade entre dois membros e por
Leia maisMATEMÁTICA ELEMENTAR II:
Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite MATEMÁTICA ELEMENTAR II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 009 009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer
Leia maisEXEMPLOS Resolva as equações em : 1) Temos uma equação completa onde a =3, b = -4 e c = 1. Se utilizarmos a fórmula famosa, teremos:
EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU INTRODUÇÃO Equação é uma igualdade onde há algum elemento desconhecido Como exemplo, podemos escrever Esta igualdade é uma equação já conhecida por você, pois é de primeiro grau
Leia maisPRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo
PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + y) = + y + y Quadrado da soma de dois termos Duas vezes o produto do 1º pelo º Eemplo 1: a) ( + 3y) = +..(3y) + (3y) = + 6y + 9y. ) (7 + 1) = c) (a
Leia maisMatemática Caderno 5
FUNÇÃO LOGARÍTMICA: Dado um número real a positivo e diferente de um (a > 0 e a 1), denominados função logarítmica de base a à função f() = log a definida para todo real positivo. D (f) = IR * + Im (f)
Leia maisLogaritmos e a Calculadora
Logaritmos e a Calculadora Denise Martinelli PIBID/Matemática Neumar Regiane Machado Albertoni PIBID/Matemática Violeta Maria Estephan professora do DAMAT CURITIBA, 015 19 a 1 de agosto de 015 Página 1
Leia maisQual é o tempo? INTRODUÇÃO
LOGARÍTMOS INTRODUÇÃO Qual é o tempo? Amanda ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador.
Leia maisCurso de linguagem matemática Professor Renato Tião. Relações X Funções Considere a equação x + y = 5.
Relações X Funções Considere a equação + =. Embora esta equação tenha duas variáveis, ela possui um número finito de soluções naturais. O conjunto solução desta equação, no universo dos números naturais,
Leia maisInequação do Primeiro Grau
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Inequação do Primeiro Grau Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção Definição Equação x Inequação Uma equação é uma igualdade entre dois
Leia maisFUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0
FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode
Leia maisMatemática I Capítulo 13 Logaritmos
Nome: Nº Curso: Controle Ambiental Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /2017 Matemática I Capítulo 13 Logaritmos 13.1 - Logaritmos Chamamos de logaritmo de b na base a o expoente
Leia maisO gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c). A imagem é o conjunto Im = {c}.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Funções do 1 o Grau Prof.:
Leia maisGeometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido
Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado
Leia maisFUNÇÕES EXPONENCIAIS
FUNÇÕES EXPONENCIAIS ) Uma possível lei para a função eponencial do gráfico é (a) = 0,7. (b) =. 0,7 (c) = -. 0,7 (d) = -.,7 (e) = - 0,7. ) Os gráficos de = e = - (a) têm dois pontos em comum. (b) são coincidentes.
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Notas de aula para o
Leia maisProfessor conteudista: Renato Zanini
Matemática Professor conteudista: Renato Zanini Sumário Matemática Unidade I 1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES... EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES...6 3 RESOLVENDO EQUAÇÕES...7 4 RESOLVENDO
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof AULA 0 - FUNÇÕES.
Leia maisFunção Logarítmica 2 = 2
Itrodução Veja a sequêcia de cálculos aaio: Fução Logarítmica = = 4 = 6 3 = 8 Qual deve ser o valor de esse caso? Como a fução epoecial é estritamete crescete, certamete está etre e 3. Mais adiate veremos
Leia maisMat.Semana 8. Alex Amaral (Rodrigo Molinari)
Alex Amaral (Rodrigo Molinari) Semana 8 Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados. CRONOGRAMA 06/04
Leia maisf x x x f x x x f x x x f x x x
Página 1 de 7 I. FUNÇÃO DO º GRAU (ou QUADRÁTICA) 1. Definição Chama-se função do º grau (ou função quadrática) a toda função do tipo onde a, e c são números reais e a 0. São exemplos: f ( x) ax x c =
Leia maisCritérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se
Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios
Leia maisO objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.
Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são
Leia maisSe inicialmente, o tanque estava com 100 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá.
ANÁLISE GRÁFICA QUANDO y. CORRESPONDE A ÁREA DA FIGURA Resposta: Sempre quando o eio y corresponde a uma taa de variação, então a área compreendida entre a curva e o eio do será o produto y. Isto é y =
Leia maisIII Números reais - módulo e raízes Módulo ou valor absoluto Definição e exemplos... 17
UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene - 010-16 Sumário III Números reais - módulo e raízes 17 3.1 Módulo valor absoluto...................................... 17 3.1.1 Definição
Leia maisDado um triângulo eqüilátero, cujo lado mede 6 cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita; b) a medida do apótema.
EXERÍIO OMPLEMENTRES - MTEMÁTI - 1ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - ª ETP ============================================================================================== 01- ssunto: Função Logarítmica Determine
Leia maisREGRAS DE CÁLCULO COM NÚMEROS APROXIMADOS NÃO ACOMPANHADOS DE DESVIOS
REGRAS DE CÁLCULO COM NÚMEROS APROXIMADOS NÃO ACOMPANHADOS DE DESVIOS Com base no estudo com números acompanhados de desvio e lembrando a convenção já estabelecida de que um número, resultado de medida
Leia maisLOGARITMOS. Mottola. 4) (FUVEST) Se log 10 8 = a então log 10 5 vale (a) a 3 (b) 5a - 1 (c) 2a/3 (d) 1 + a/3 (e) 1 - a/3
LOGARITMOS 1) (UFMG) Para a função f() = log a (1 + 2 ), com a > 1, assinale a alternativa incorreta. (a) A função é definida para todo R. (b) A função tem valor mínimo para = 0. (c) A função assume valores
Leia maisMAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas de pontos no plano cartesiano Distâncias entre pontos Sejam e dois pontos no plano cartesiano A distância entre e é dada pela expressão
Leia maisEquação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x
EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a
Leia maisFUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal
FUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro Autoria: Prof. Denise Candal Função Quadrática ou do 2 o grau Definição: Toda função do tipo y = ax 2 + bx + c, com {a, b, c} R e a
Leia maisMat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus. (Roberta Teixeira)
10 PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Semana (Roberta Teixeira) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.
Leia maisUniversidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão Cálculo Diferencial Integral 1 Profª Sheila Regina Oro AULAS 2, 3, 4, 5
AULAS,,, 5 FUNÇÕES. Plano Cartesiano Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (596-65), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era
Leia maisProf. a : Patrícia Caldana
CONJUNTOS NUMÉRICOS Podemos caracterizar um conjunto como sendo uma reunião de elementos que possuem características semelhantes. Caso esses elementos sejam números, temos então a representação dos conjuntos
Leia maisMódulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano
Módulo de Equações do Segundo Grau Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Equações do o grau: Resultados Básicos. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. A equação ax + bx + c = 0, com
Leia maisConjuntos. Notações e Símbolos
Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas
Leia maisMatemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade.
1 Matemática Licenciatura - Semestre 2010.1 Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Diferenciabilidade Funções Trigonométricas Inicialmente, observe pela gura que para ângulos 0
Leia maisDIVISÃO DE POLINÔMIOS
DIVISÃO DE POLINÔMIOS Prof. Patricia Caldana A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enuncia-lo como sendo: A divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 06 Licenciatura em Matemática Osasco ou x > 3
1. Inequações Uma inequação é uma expressão algébrica dada por uma desigualdade. Por exemplo: 3x 5 < 1 ou 2x+1 2 > 5x 7 3 ou x 1 2 + 2 > 3 Resolver a inequação significa encontrar os intervalos de números
Leia maisLista 00: Números Reais e Funções
GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CAMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA MATEMÁTICA APLICADA À ZOOTÉCNIA Discente CPF
Leia maisCrescimento da dívida
Valores em reais LOGARITMO CONTEÚDOS Logaritmo Propriedades dos logaritmos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Uma empresa que trabalha com empréstimo, cobra juros absurdos. Se o devedor atrasar o pagamento da
Leia maisMAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver
Leia mais4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais
MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por
Leia maisProfessor conteudista: Renato Zanini
Matemática Básica Professor conteudista: Renato Zanini Sumário Matemática Básica Unidade I 1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES... EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES...6 3 RESOLVENDO EQUAÇÕES...7
Leia maisMatemática A Intensivo V. 1
Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Neste caso temos {a} como subconjunto de {a, b} logo a relação correta seria a} {a, b} c) Falso
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 7.º ANO PLANIFICAÇÃO ANUAL Planificação 7º ano 2010/2011 Página 1 DOMÍNIO TEMÁTICO: NÚMEROS
Leia maisDenominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:
EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n +... + a x + a 0 = 0 onde
Leia maisA definição pode ser estendida para os seguintes casos particulares: e, com.
FUNÇÃO EXPONENCIAL REVISÃO: POTENCIAÇÃO Dados um número real a e um número natural n, a expressão a n representa a operação de potenciação onde a é chamado base e n é o expoente, e cujo resultado é obtido
Leia maisFunção de 1º Grau. Como construir um Gráfico. Função constante. Matemática Básica I. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE:
Matemática Básica Como construir um Gráfico Unidade 5. Gráficos de Funções Reais RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: https://ueedgartito.wordpress.com x y = f(x) x y x x 3 y x 4 y 3 y 4 x 5
Leia maisMÓDULO XI. INEQUAÇÕES 2x 20
MÓDULO XI. Inequação INEQUAÇÕES < Logo, o conjunto solução será S. Vamos supor que, na nossa escola, a média mínima para aprovação automática seja 6 e que essa média, em cada matéria, seja calculada pela
Leia maisMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA CAMPUS CAJAZEIRAS COORDENAÇÃO DO CURSO TÉCNICO EM INFORMÁTICA
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA CAMPUS CAJAZEIRAS COORDENAÇÃO DO CURSO TÉCNICO EM INFORMÁTICA MATEMÁTICA I Nome: MATEMÁTICA I Curso: TÉCNICO EM INFORMÁTICA
Leia maisMATEMÁTICA PROF. JOSÉ LUÍS NÚMEROS DECIMAIS
NÚMEROS DECIMAIS Em todo numero decimal: CONVENÇÃO BÁSICA DO SISTEMA DECIMAL a parte inteira é separada da parte decimal por uma vírgula; um algarismo situado a direita de outro tem um valor significativo
Leia maisLogaritmos Exponenciais - Fatoração
Logaritmos Eponenciais - Fatoração Prof. Edson. Após acionar um flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga elétrica dada por t Q(t)
Leia mais2. Sendo f(x) = x 4 e g(x) = 4 x calcule:
Geometria linear Dados dois pontos distintos e, o primeiro postulado de Euclides nos permite construir, com a régua, o segmento. Notação: Depois de construído o segmento, tomamos o seu comprimento como
Leia maisINTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Gil da Costa Marques 1.1 Introdução 1.2 Conceitos básicos 1.3 Subconjuntos e intervalos 1.4 O conjunto dos números reais 1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos 1.5.1
Leia maisa) b) 5 3 sen 60 o = x. 2 2 = 5. 3 x = x = No triângulo da figura abaixo, o valor do x é igual a: a) 7 c) 2 31 e) 7 3 b) 31 d) 31 3
Matemática a. série do Ensino Médio Frentes e Eercícios propostos AULA FRENTE Num triângulo ABC em que AB = 5, B^ = º e C^ = 5º, a medida do lado AC é: a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 Sabendo-se que um dos lados
Leia maisERROS. Representação de Números
ERROS Desea-se oter respostas confiáveis para os prolemas porém nem sempre acontece. Isso é ustificado pela ocorrência de erros provenientes de várias fontes, alguns deles provenientes da fase de modelagem
Leia maisOs logaritmos decimais
A UA UL LA Os logaritmos decimais Introdução Na aula anterior, vimos que os números positivos podem ser escritos como potências de base 10. Assim, introduzimos a palavra logaritmo no nosso vocabulário.
Leia maisInterbits SuperPro Web
. (Ufpr 07) Rafaela e Henrique participaram de uma atividade voluntária que consistiu na pintura da fachada de uma instituição de caridade. No final do dia, restaram duas latas de tinta idênticas (de mesmo
Leia maisMatemática Básica Função polinomial do primeiro grau
Matemática Básica Função polinomial do primeiro grau 05 1. Função polinomial do primeiro grau (a) Função constante Toda função f :R R definida como f ()=c, com c R é denominada função constante. Por eemplo:
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática
MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática Conteúdos I - Conjuntos:. Representação e relação de pertinência;. Tipos de conjuntos;. Subconjuntos;. Inclusão;. Operações com conjuntos;.
Leia mais(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos
LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número
Leia maisRevisão: Potenciação e propriedades. Prof. Valderi Nunes.
Revisão: Potenciação e propriedades. Prof. Valderi Nunes. Potenciação Antes de falar sobre potenciação e suas propriedades, é necessário que primeiro saibamos o que vem a ser uma potência. Observe o exemplo
Leia maisMatemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas
Matemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas 0. Softwares que podem ser úteis no estudo da disciplina: Geogebra gratuito, possui versões para windows e linux disponível em http://www.geogebra.org
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROÍSMO
ESCOLA SECUNDÁRIA JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROÍSMO PLANIFICAÇÃO ANUAL ANO LECTIVO: 008/009 DISCIPLINA: Matemática ANO: 1º Aulas previstas 1º período: 7 (5 ) º período: 7 (5 ) 3º período:
Leia maisMATEMÁTICA Professores: Andrey, Cristiano e Julio
MATEMÁTICA Professores: Andrey, Cristiano e Julio Questões Substituindo os valores dados na fórmula teremos: x 1 = x 0+1 = (x 0 )2 +a 2.x 0 = (2)2 +5 = 9 2.2 4 e x 2 = x 1+1 = (x 1 )2 +a = ( 9 4 )2 +5
Leia maisFaculdades Integradas Campos Salles
Aula 5 FUNÇÃO DE º GRAU ( ou função quadrática ) Dados três números reais, a, b e c, com a, denominamos função de º grau ou função quadrática à função f() = a b c, definida para todo número real. Eemplos:
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 7.º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL Múltiplos e divisores. Critérios de divisibilidade. - Escrever múltiplos
Leia maisE-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 INTERVALOS, INEQUAÇÕES E MÓDULO
E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 INTERVALOS, INEQUAÇÕES E MÓDULO 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 SUMÁRIO Apresentação ------------------------------------------------- 2 Capítulo 2
Leia mais= 0,333 = 0, = 0,4343 = 0, = 1,0222 = 1,02
1 1.1 Conjuntos Numéricos Neste capítulo, serão apresentados conjuntos cujos elementos são números e, por isso, são denominados conjuntos numéricos. 1.1.1 Números Naturais (N) O conjunto dos números naturais
Leia maisMATEMÁTICA QUESTÕES DE VESTIBULARES Função Modular Função Exponencial Função Logarítmica 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO 2009 Prof.
MATEMÁTICA QUESTÕES DE VESTIBULARES Função Modular Função Eponencial Função Logarítmica a SÉRIE ENSINO MÉDIO 009 Prof. Rogério Rodrigues =======================================================================
Leia maisCÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral
Leia maisFunções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par.
Funções Elementares Sadao Massago Maio de 0. Apresentação Neste teto, trataremos rapidamente sobre funções elementares. O teto não é material completo do assunto, mas é somente uma nota adicional para
Leia maisAlexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais
MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Iremos agora desenvolver um método para resolver integrais de funções racionais,
Leia maisMatemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =
Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de
Leia maisCURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Funções polinomiais Logaritmo Aula 03 Funções Polinomiais Introdução: Polinômio Para a sucessão de termos comcom, um polinômio de grau n possui a seguinte forma : Ex : Funções
Leia maisPROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação
PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação Professor Alexandre M. M. P. Ferreira Sumário Definição dos conjuntos numéricos... 3 Operações com números relativos: adição, subtração,
Leia maisMATEMÁTICA I. Ana Paula Figueiredo
I Ana Paula Figueiredo Números Reais IR O conjunto dos números Irracionais reunido com o conjunto dos números Racionais (Q), formam o conjunto dos números Reais (IR ). Assim, os principais conjuntos numéricos
Leia maisObserve o gráfico da função f(x) = Bx+2. O valor da ordenada do ponto de abscissa igual a B é igual a:
Observe o gráfico da função f(x) = Bx+2. O valor da ordenada do ponto de A abscissa igual a B é igual a: 2A (a) 2 (b) (c) 2 (d) 4 Pelo gráfico, temos 2 pontos conhecidos da função f. Esses pontos são (-4,32)
Leia maisLimites, derivadas e máximos e mínimos
Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,
Leia maisLIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por =
LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproimar o máimo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo ite são usados com bastante freqüência. A produtividade
Leia maisSeno e Cosseno de arco trigonométrico
Caderno Unidade II Série Segmento: Pré-vestibular Resoluções Coleção: Alfa, Beta e Gama Disciplina: Matemática Volume: Unidade II: Série Seno e Cosseno de arco trigonométrico. sen90 cos80 sen70 ( ) ( )
Leia maisDefinimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos.
Conjuntos Numéricos Conjunto Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos. Exemplos: Conjunto dos números naturais pares; Conjunto formado por meninas da 6ª série do ensino fundamental de
Leia maisApontamentos de Matemática 6.º ano
Aplicação da decomposição de números em fatores primos para determinar o máximo divisor comum Exemplo: Determinar m. d. c. (60,36) 60 = 3 5 e 36 = 3 Qual é o maior número pelo qual podemos dividir 60 e
Leia maisMatemática PROFESSOR: Francisco Monteiro OBJETIVO GERAL
ANO DE ESCOLARIDADE: 8º ano (A e B matutino e A vespertino) DISCIPLINA: Matemática PROFESSOR: Francisco Monteiro OBJETIVO GERAL Resolver situações-problema, construindo estratégias e fazendo uso de diversas
Leia maisTEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:
Leia mais