LOGARITMOS K AT E L Y N L U Z I A D O S S AN T O S D AB O I T

Transcrição

1 LOGARITMOS K AT E L Y N L U Z I A D O S S AN T O S D AB O I T

2 HISTÓRIA No início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para simplificar esses cálculos, surgiram nesta época as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas independentemente por Jost Bürgi ( ) e John Napier ( ). Seguidos de Henry Briggs ( ) que aperfeiçoou essas tábuas, apresentando os logaritmos decimais.

3 Segundo Maor (2008), Napier após realizar alguns estudos, descobrindo o comportamento de alguns números quando submetidos a determinadas operações, chamou o expoente de cada potencia de número artificial, mas depois decidiu pelo termo logaritmo, a palavra significando número proporcional. Segundo ele, os logaritmos facilitaram os cálculos principalmente por permitir transformar as operações de multiplicação em adição e de divisão em subtração.

4 Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos que estavam envolvidos na Navegação e Astronomia. Dizia-se na época que a invenção dos logaritmos duplicou a vida dos astrônomos, pois produziriam muito mais do que haviam produzido antes dos logaritmos. Posteriormente, surgiram às réguas de cálculo, baseadas nessas propriedades dos logaritmos. Hoje, com o advento das calculadoras e microcomputadores, elas caíram em desuso.

5 O QUE É LOGARITMO?

6 LOGARITMO O logaritmo é um importante instrumento para a resolução de equações exponenciais. Segundo Lima (2013) além de servir para o cálculo destas equações, atualmente continuam a merecer destaque na matemática, devido suas aplicações. Esta posição justifica-se porque a função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, constituem a única maneira de descrever matematicamente a evolução de uma grandeza em função de sua taxa de crescimento (ou decrescimento) num dado momento.

7 O QUE VAMOS ESTUDAR: Definição de logaritmo; Consequências da definição de logaritmo; Propriedades operatórias dos logaritmos; Cologaritmo; Função Logarítmica; Equações logarítmicas;

8 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO Dados os números reais positivos a e b, com a 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potencia obtida seja igual a b. Em símbolos: se a, b R, 0 < a 1 e b > 0, então: Em log a b = x, dizemos: log a b = x a x = b a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

9 EXERCÍCIOS

10 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Decorrem da definição de logaritmos as seguintes propriedades para 0 < a 1, b > 0. log a 1 = 0 log a a = 1 log a a n = n

11 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO a log a N = N log a x = log a y x = y

12 EXERCÍCIOS

13 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 1ª propriedade: logaritmo de um produto log a b. c = log a b + log a c 2ª propriedade: logaritmo de um quociente Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença entre os logaritmos desses números. log a b c = log a b log a c

14 3ª propriedade: Logaritmo de uma potência Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. log a b c = c log a c 4ª propriedade: Mudança de base Se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então tem-se: log a b = log c b log c a

15 EXERCÍCIOS

16 COLOGARITMO Denomina-se cologaritmo de um número b (b > 0) numa base a (a > 0 e a 1) o oposto do logaritmo do número b na base a ou o logaritmo do inverso de b na base a. colog a b= log a b ou colog a b= log a 1 b.

17 EXERCÍCIOS

18 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Definição: Dado um número real a (0 < a 1), chamamos função logarítmica de base a a função f de R + em R que associa a cada x o número log a x. Em símbolos: f: R + R x log a x

19 PROPRIEDADES Propriedade 1. Uma função logarítmica L: R + R é sempre injetiva, isto é, números positivos diferentes têm logaritmos diferentes. Propriedade 2. O logaritmo de 1 é zero. Propriedade 3. Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

20 PROPRIEDADES Propriedade 4. Para todo x > 0, tem-se L 1 x = L(x). Propriedade 5. Para quaisquer x, y R +, vale L x y = L x L y. Propriedade 6. Uma função logarítmica L: R + R é ilimitada, superior e inferiormente.

21 IMAGEM Se 0 < a 1, então a função f de R + em R definida por f x = log a x admite a função inversa de g de R em R + definida por g x = a x. Logo, f é bijetora e, portanto, a imagem de f é: Im = R.

22 GRÁFICO Com relação ao gráfico cartesiano da função f x = log a x 0 < a 1, podemos dizer: Está todo à direita do eixo y (x > 0); Corta o eixo x no ponto de abcissa 1 (log a 1 = 0 para todo 0 < a 1); Se a > 1 é de uma função crescente e se 0 < a < 1 é de uma função decrescente; É simétrico em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares) do gráfico da função g x = a x ;

23 EXERCÍCIOS

24 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Vamos estudar as equações logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo, como estas: log 3 x = 5 log 2 (x + 1) + log 2 x 1 = 1 2 log x = log 2x log 3

25 EXERCÍCIOS

26 JOGO