Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial

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1 Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial 1. Potenciação e suas propriedades 1.1. Potência de expoente natural Potenciação nada mais é do que uma multiplicação de fatores iguais. Casos especiais: n vezes Se a base é um número negativo e o expoente for par o resultado é sempre positivo Se a base é um número negativo e o expoente for impar o resultado é sempre negativo Cuidado!!! 1.. Propriedades As seguintes propriedades valem para a e b números reais, m e n números naturais. Cuidado! ) ) = ) =9 UNIP - Matemática para Economia Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial pág. 1

2 1.. Potência de expoente negativo 1.4. Radiciação, sendo a e b números reais, n inteiro positivo radical, onde a é o radicando e n o índice n é par ou ímpar existe um b tal que n é ímpar, existe b tal que e ele é negativo n é par não existe número real b tal que Propriedades a a n n n n n n a a a. b a. b, b 0 n b b n m. a n n m (Quando o índice for o número não precisamos escrevê-lo, ficando subentendido) m m n n m a a a n m n a a UNIP - Matemática para Economia Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial pág.

3 . Equação exponencial Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente em pelo menos uma potência da equação. Para resolvê-la reduza ambos os membros da equação a potências de mesma base e aplique a seguinte propriedade:.1. Alguns exemplos Determine o valor de x nas equações dadas a seguir: a) b) c) d) e) UNIP - Matemática para Economia Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial pág.

4 . Função exponencial Você já estudou a função de primeiro grau, também chamada de função linear ou função afim, e a função de segundo grau, também chamada de função quadrática. Agora, você vai aprofundar o seu conhecimento de funções, estudando um outro tipo de função, chamado de função exponencial. Você deve se lembrar que a função é uma relação entre duas variáveis, uma delas chamada de variável dependente (usualmente representada por y) e outra chamada de independente (usualmente representada por x). Pois bem, na função exponencial, a variável dependente (x) aparecerá no expoente de um número real qualquer. Veja alguns exemplos de funções exponenciais: a) y = x b) y = + x O gráfico de uma função exponencial é uma curva, chamada de curva exponencial. Essa curva tem algumas características importantes: i) ela é sempre estritamente crescente ou estritamente decrescente, ou seja, ela não faz uma inflexão como a parábola. ii) ela é uma curva assintótica com a horizontal, ou seja, a curva exponencial sempre se aproxima de uma linha horizontal (que pode ser o eixo x ou outra linha horizontal imaginária) sem tocá-la. Essa aproximação é infinita, o que quer dizer que a linha do gráfico exponencial se aproxima indefinidamente de uma linha horizontal, mas nunca a atinge ou nunca a corta. Você deve usar as leituras sugeridas e estudar primeiramente as funções exponenciais mais simples, do tipo y = a x. Observe atentamente as características dos gráficos dessas funções, quando é crescente e quando é decrescente, o intercepto do eixo y e o intercepto do eixo x. Definição: Função exponencial é toda função f de R em R dada pela lei da forma, em que é um número real dado,.1. Principais características a) A função do tipo y = a x, com a > 0, a diferente de 1, corta o eixo y no ponto y = 1. Ela é assintótica em relação ao eixo x. Com relação à monotonicidade, temos: se a > 1 a função é crescente se a < 1 a função é decrescente b) A função do tipo y = a k.x, com a > 0, a diferente de 1, k diferente de 0, corta o eixo y no ponto y = 1. Ela é assintótica em relação ao eixo x. Com relação à monotonicidade, temos: se a k > 1 a função é crescente se a k < 1 a função é decrescente c) A função do tipo y = b.a k.x, com a > 0, a diferente de 1, b diferente de 0, k diferente de 0, corta o eixo y no ponto y = b. Ela é assintótica em relação ao eixo x. Com relação à monotonicidade, temos: se a k > 1 e b > 0 a função é crescente se a k < 1 e b > 0 a função é decrescente se a k > 1 e b < 0 a função é decrescente se a k < 1 e b < 0 a função é crescente d) A função do tipo y = c + b.a k.x, com a > 0, a diferente de 1, b diferente de 0, k diferente de 0, corta o eixo y no ponto y = b + c. Ela corta o eixo x no ponto correspondente a y = 0. Ela tem assíntota horizontal em y = c. Com relação à monotonicidade, o comportamento é idêntico ao que vimos no item (c) anterior: se a k > 1 e b > 0 a função é crescente se a k < 1 e b > 0 a função é decrescente se a k > 1 e b < 0 a função é decrescente se a k < 1 e b < 0 a função é crescente UNIP - Matemática para Economia Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial pág. 4

5 .. Exemplos importantes 1º caso: a > 1 Gráfico da função Observações: - Como a> 0 então a x > 0, ou seja, y > 0 para todo x, portanto o gráfico de y = a x localiza-se no 1º e º quadrantes e o eixo x é assíntota horizontal, pois quando x diminui y tende a zero. - Como a 0 =1, a função y = a x intercepta o eixo y no ponto (0,1). - A função y = a x para a > 1 é crescente, pois: UNIP - Matemática para Economia Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial pág.

6 º caso: 0 < a < 1 Exemplo: Gráfico da função Atenção: Observações: - Como a x > 0, isto é, y > 0 para todo x, o gráfico de y = a x localiza-se no 1º e º quadrantes, sendo o eixo x assíntota horizontal, pois quando x aumenta y tende a zero. - Para, logo a função intercepta o eixo y no ponto (0,1). - A função y = a x para 0 < a < 1 é decrescente, pois:. Conclusões importantes: 1. Em ambos os casos o eixo x é assíntota horizontal.. O gráfico corta o eixo y no ponto (0,1).. Para a > 1 temos uma função exponencial crescente e para 0 < a < 1 temos uma função exponencial decrescente. UNIP - Matemática para Economia Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial pág. 6

7 4. Questão resolvida Esboçar o gráfico da função Solução: Vemos que a função está escrita conforme o modelo descrito do item (d) da página 4. Assim, vamos identificar os elementos dessa função: Nesse caso, temos a k < 1 e b > 0, logo a função é decrescente A função tem assíntota horizontal em y = - Ela intercepta o eixo y em y = b + c = - + = 0 Esse resultado já indica que ela intercepta o eixo x no ponto x = 0, vejamos: Representação gráfica da função Assíntota horizontal em y = - UNIP - Matemática para Economia Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial pág. 7