CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA E APLICAÇÕES DE LOGARITMOS E EXPONENCIAIS

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1 CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA E APLICAÇÕES DE LOGARITMOS E EXPONENCIAIS Michelly Bezerra de Oliveira Pinheiro (IFRN) pinheiro_michelly@hotmail.com Fabiana Tristão de Santana (IFRN) fabiana.santana@ifrn.edu.br RESUMO: Neste trabalho foram abordadas as origens da teoria dos logaritmos e exponenciais, buscando, na História da Matemática, os matemáticos envolvidos e as razões da construção dessa importante teoria. Também foram investigadas as origens do número e e apresentada uma aplicação dos logaritmos e exponenciais na cronologia por carbono 14: estimar idades de fósseis e artefatos. Palavras-chave: Logaritmos; exponenciais; contextualização; número e. INTRODUÇÃO: ORIGENS DOS LOGARITMOS E EXPONENCIAIS No fim do século XVI, na Europa, o desenvolvimento da astronomia e da navegação exigia cálculos aritméticos muito complexos para a época. O avanço da Matemática se deu principalmente em função do crescimento político, econômico e social. Naquele período, muito estudo sobre a trigonometria estava sendo realizado. O desenvolvimento da astronomia e da navegação exigia cálculos aritméticos muito complexos para a época. Entre esses estudos havia um método denominado prostaférese. Esse método foi desenvolvido por fórmulas trigonométricas já utilizadas na época, como 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) e consistia em transformar multiplicação em adição, possibilitando a simplificação de cálculos. Conforme afirma Lima (1991), uma das desvantagens do método prostaférese é a dificuldade em aplicá-lo para produtos de três ou mais fatores, potências e raízes. Essas operações eram frequentes no trabalho de astrônomos e navegadores. Por isso era constante o desafio em desenvolver ferramentas matemáticas que pudessem ajudar nessas tarefas.

2 John Napier ( ) foi um nobre teólogo escocês que não era matemático profissional, mas tinha a Matemática como lazer. Seu interesse era por alguns aspectos da computação e trigonometria, especialmente em estudos relacionados à simplificação de cálculos. Segundo Boyer (2004, p ), Napier tinha dedicado anos às suas tábuas de logaritmos com o objetivo de simplificar as operações, em especial de produtos e quocientes e, com isso, sentiu-se encorajado a publicá-las, o que ocorreu em Napier, reconhecendo o valor de sua descoberta, deu às suas tabuas o título de Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, que significa Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos (MAOR, 2008, p. 25). Sua intenção era fornecer uma grande ajuda aos astrônomos por meio de seus logaritmos, livrando-os dos erros de cálculos complexos para a época. O método de Napier baseou-se na associação dos termos de uma progressão geométrica b, b 2, b 3, b 4,..., b n,... aos termos da progressão aritmética 1, 2, 3, 4,..., n. Após um ano da publicação das tábuas de logaritmos, Henry Briggs ( ), professor de Geometria do Colégio Gresham, em Londres, visitou Napier na Escócia para sugerir algumas modificações em seu método. Ele sugeriu fazer o logaritmo de 1 igual a zero, no lugar de 10 7, e ter o logaritmo de 10 igual a uma potência apropriada de 10, (MAOR, 2008, p. 27). Napier concordou com a proposta, porém, em virtude de sua idade avançada, não tinha mais condições para dar continuidade à prática dessa idéia. Dessa forma, Briggs fez esse trabalho e o publicou em Essa publicação foi denominada Logarithmorum Chilias Prima e continha os logaritmos decimais de 1 a 1000 calculados com quatorze casas decimais. Em 1624, Briggs publicou a intitulada Arithmetica Logarithmica, que consistia de uma tabela de logaritmos decimais dos números de 1 a e de a , novamente com quatorze casas decimais. Segundo Boyer (1996, p.215), trabalhos com logaritmos podiam a partir daí ser realizados exatamente como hoje, pois para as tabelas de Briggs todas as leis usuais sobre logaritmos se aplicavam.

3 Ainda de acordo com Boyer (1996), Napier foi o primeiro a publicar uma obra sobre logaritmos, o que o deixou conhecido como o criador dos logaritmos. No entanto idéias semelhantes já tinham sido desenvolvidas na Suíça por Jobst Bürgi, um homem eclético, dedicado à fabricação de relógios. É possível que a idéia de logaritmo tenha ocorrido a Bürgi em Porém Bürgi só publicou seus resultados em 1620, meia dúzia de anos depois de Napier publicar seu trabalho, (BOYER, 1996, p.216). Por esse motivo, Bürgi foi considerado um descobridor independente, não tendo crédito pela invenção. Até 1619, os cálculos de logaritmo eram feitos com desenvolvimento de extensos cálculos manuais. Somente em 1620, Edmund Gunter ( ), um sacerdote inglês que, após o ano de 1620, tornou-se professor de astronomia no Gresham College, construiu um instrumento mecânico para fazer esses cálculos. Esse instrumento foi utilizado por cientistas e engenheiros por 350 anos. As primeiras calculadoras eletrônicas surgiram no mercado em 1970 (MAOR, 2008, p.29). A ORIGEM DO NÚMERO e A origem do número e é cheia de mistérios. Ele aparece pela primeira vez na tradução de Edward Wright da obra Descriptio, de Napier (1618). Esse período ficou marcado por um enorme crescimento do comércio e transações financeiras, em que havia necessidade de se calcular os juros compostos. O surgimento do número e pode ser consequência da tentativa de resolução de um desses problemas. Outra hipótese sobre o surgimento do número e está relacionada com a resolução do cálculo para encontrar a área sob a hipérbole y=1/x. Alguns matemáticos verificaram que essa área recaía nesse número. Esse número ficou mais conhecido e passou a ter a importância que tem hoje depois que Leonhard Euler ( ), grande matemático e físico suíço, mas que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha introduziu, em 1728, a definição de logaritmos que usamos hoje, isto é, log b a=x se, e somente se, b x =a, em que e era tido como uma base natural. Sua obra mais influente foi Introductio in analysin infinitorum

4 (1748), que chamava a atenção para o número e e a importância das funções e x e log e x (MAOR, 2008, p ). De acordo com Lima (2007, p. 105), as funções logarítmicas e exponenciais possuem propriedades que as qualificam como modelos ideais de certos fenômenos de variação, ou seja, soluções de problemas do cotidiano. Pode-se citar a capitalização contínua de juros - que consiste em cálculos com aplicações financeiras -, a desintegração de uma substância radioativa e a estimativa de idade de fósseis e artefatos através da datação por carbono. Essas são algumas situações da natureza que se revelam para justificar a importância das funções exponenciais e logarítmicas na Matemática, nas ciências e na tecnologia. APLICAÇÃO: CRONOLOGIA POR CARBONO Segundo Zill e Cullen (2001), no método da cronologia por carbono utilizam-se as funções logarítmicas e exponenciais para encontrar a idade aproximada de fósseis e artefatos. Para isso utiliza-se a informação da meia-vida (tempo necessário para a metade dos átomos de uma quantidade inicial de substância se desintegrar) do Carbono 14. Esse método foi introduzido pelo químico americano Willard F. Libby. Nessa aplicação a variação da quantidade de uma substância química em um organismo é proporcional à quantidade inicial, isto é, se A(t) é a quantidade de substância no tempo t e k uma constante de proporcionalidade, então da/dt=ka. Dessa última equação, segue que (1/A)dA=kdt. Agora, integrando em ambos os membros, a última equação recai em lna=ki+s, s constante. Por fim, aplicando a função exponencial em ambos os membros da última equação, a quantidade de substância no tempo t é dada por A(t)=ce kt, onde c=e s. CONCLUSÃO

5 Foi mostrada neste trabalho a evolução histórica da teoria de logaritmos e exponenciais que desempenha um papel muito importante na Matemática e ciências aplicadas. A criação dessa teoria trouxe muito progresso e muitas aplicações foram descobertas com a utilização das funções logarítmicas e exponenciais. Também foi abordada a origem do número e e mostrada a aplicação das funções logarítmicas e exponenciais na cronologia pelo carbono 14. REFERÊNCIAS BOYER, Carl B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher, EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp, LIMA, Elon Lages. Logaritmos. 2. ed. Rio de Janeiro, RJ: SBM (Coleção do professor de matemática), Matemática e Ensino. 3. ed. Rio de Janeiro, RJ: SBM (Coleção do professor de matemática), MOAR, Eli. e: A História de um Número. 4. ed. Rio de Janeiro: Record, ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. Vol. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.