Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

Transcrição

1 Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

2 Aula 25: Funcionalidade e Funções 01/06/2015 2

3 Funcionalidade na Antiguidade Ideia de correspondência ou noção de dependência. Tabelas babilônicas e egípcias já apresentavam uma forma de função. 01/06/2015 3

4 Funcionalidade na Antiguidade Ptolomeu (140 d.c.) que viveu em Alexandria, e desenvolveu ideias funcionais em sua obra Almagesto. Na área da Astronomia desenvolveu várias ferramentas matemáticas, entre elas a trigonometria. 01/06/2015 4

5 Europa Fim da Idade Média, desenvolvimento de outras formas de governo como monarquias e os regimes absolutistas, expansão do capitalismo e a ascensão da burguesia.

6 Renascimento cultural séculos XIV -XVI Grandes navegações. Invenção da pólvora e da imprensa. Nascimento das ciências modernas. Valorização da experimentação e do papel das Matemáticas na construção da Ciência. 01/06/2015 6

7 Invenção da imprensa primeira publicação. Aumento da cultura Publicação do livro Aritmética comercial contendo numerais indo-arábicos, operações básicas e regras de três e de sociedade. Publicações de obras matemáticas de caráter distinto dos estudos clássicos, destinadas a comerciantes, engenheiros, artistas e representantes das artes práticas. 01/06/2015 7

8 O caminho para uma nova Ciência século XVI Surgimento da indústria; Interesses do grande comércio; As grandes navegações; Exigiam conhecimentos novos, principalmente ligados aos movimentos dos corpos e particularmente ao movimento planetário. 01/06/2015 8

9 Ciência Matemática no século XVI Mas foi somente no século XVI que conceito de função começou a ser matematizado. Estudo em Oxford, Inglaterra, com dois trabalhos: O tratado sobre proporções de Thomas Bradwardine. Líber calculationum de Richard Suiseth conhecido como Calculator ) 01/06/2015 9

10 Liber Calculationum É o principal modelo de tratados sobre as latitudes das formas, que está relacionado ao conceito de variável. Desenvolve considerações gerais sobre a variação de grandezas e a questão de como uma variável não uniforme corresponde ao seu máximo ou mínimo gradus (valor de intensidade). 01/06/

11 Liber Calculationum (...) a intensidade média de uma forma [variável] cuja taxa de variação é constante em um intervalo, ou de uma forma [variável] que é uniforme ao longo de cada metade do intervalo, é a média da sua primeira e da sua última intensidade. (Richard Suiseth, apud Boyer) 01/06/

12 Nicole Oresme ( ) Professor na Universidade de Paris, mantinha contato com Oxford. É um destacado intelectual em vários ramos do conhecimento: filosofia, matemática, astronomia, ciências físicas e naturais. Oresme contribuiu no estudo de várias séries infinitas estudadas em sua época. 01/06/

13 Gráfico de Funções e estudo do movimento Por que não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas? Para Oresme, tudo que é mensurável é imaginável na forma de quantidade contínua; Seu trabalho, representa um marco no estudo da variação com a representação por coordenadas, embora tenha sido os geógrafos da Grécia Antiga os primeiros a usar a ideia de sistemas de coordenadas. 01/06/

14 Gráfico de Funções e estudo do movimento A doutrina de configuração de Oresme considera que a velocidade instantânea (intensão) e o tempo (extensão) caracterizam formas tais como o movimento. A quantidade de movimento é, então, a distância percorrida em um dado período de tempo. Movimento uniforme e o movimento uniformemente variado são distintos e representados então por gráficos. 01/06/

15 Gráfico de Funções e estudo do movimento A fórmula de distância (s) é dada pela área da figura geométrica que representa o movimento, onde a altura é dada pelo valor da velocidade (v) e a base pela medida do intervalo de tempo (t). 01/06/

16 Gráfico de Funções e estudo do movimento Oresme traçou um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante. Chamou o eixo horizontal (do tempo) de longitude e o vertical (das velocidades) de latitude. 01/06/

17 Gráfico de Funções e estudo do movimento Como a área do triângulo ABC representa a distância percorrida por um móvel, Oresme forneceu, assim, uma verificação geométrica para a regra: velocidade média é a média aritmética entre as velocidades inicial e final. Do diagrama resulta, claramente, que a área na primeira metade do intervalo de tempo está para a área na segunda metade na razão de 1 para 3. Se subdividirmos o tempo em três partes iguais as distâncias cobertas (dadas pelas áreas) estão na razão 1:3:5. 01/06/

18 Gráfico de Funções e estudo do movimento De modo geral, como Galileu mais tarde observou: As distâncias estão entre si como os números ímpares; e como a soma dos n primeiros números ímpares consecutivos é o quadrado de lado n, a distância total percorrida varia como o quadrado do tempo e essa é a lei de Galileu para os corpos que caem. 01/06/

19 Consequências Foi a primeira vez que a área sob uma curva foi identificada como a medida de uma grandeza física. Estabelece uma nova relação entre a física e a matemática. A reticência à presença da ideia de movimento na matemática como sugerira Aristóteles - estava com os seus dias contados. novos rumos à matemática e ao seu papel na construção do conhecimento científico. 01/06/

20 Conquistas do Renascimento O ser humano e a vida natural, agora são vistos como objeto de conhecimento científico. Tentativas de estudo experimental dos fenômenos esboçadas desde o século XIII nas Universidades de Paris e Oxford. A investigação ganharia contornos definidos com os trabalhos científicos de Leonardo da Vinci e de outros pensadores, a prenunciar a física de Galileu e Newton. Copérnico formulou a célebre teoria heliocêntrica. Kepler preparou o caminho para a descoberta da lei da gravitação universal por Newton. 01/06/

21 Galileu Galilei ( ) Estudo quantitativo dos fenômenos, mostra que o movimento e os fenômenos da natureza podiam ser compreendidos por meio da Matemática. Abala as certezas aristotélicas, que dominaram durante toda a Idade Média. O mundo real, que não é equivalente ao mundo percebido, é a materialização da geometria e deve ser descrito pela Matemática. (Adaptação...)

22 Estudo do movimento Galileu Galilei com o interesse em entender os fenômenos da natureza, passou a observá-los com o intuito de descrevê-los. Observou a funcionalidade entre tempo e espaço. O estudo do movimento originou um conceito mais formal de funcionalidade ou de relação entre variáveis, entretanto Galileu não utilizou explicitamente a palavra Função como dependência entre variáveis. 01/06/

23 Estudo do movimento No século XVI, o estudo da variação dos fenômenos naturais em relação ao tempo era analisada por meio de proporções geométricas. No século XVII, o movimento passou a ser associado a uma curva que pode ser expressa por uma equação. Já apresentando traços de algebrização. 01/06/

24 Mudança de perspectiva De uma matemática preocupada com o estudo qualitativo dos fenômenos, que privilegiava a figura sobre o número, passa a uma matemática preocupada fundametalmente com as relações quantitativas que poderiam ser estabelecidas para a explicação dos fenômenos, que utilizava o número para melhor compreender as figuras, que tinha no movimento sua base de sustentação. (Caraça, 1978) 01/06/

25 Estudo da Função Somente no século XVII o conceito de função foi fundamentado por Euler que introduziu o símbolo f(x). No século XIX, o matemático alemão Dirrichlet apresentou a ideia de variável como símbolo indistintamente a qualquer elemento de um conjunto numérico e caracterizou o conceito central: [...]uma variável y se diz função de uma variável x, se, para todo o valor atribuído a x, corresponde, por alguma lei ou regra, um único valor de y. Nesse caso, x denomina-se variável independente e y, variável dependente. 01/06/

26 Estudo da Função No fim do século XIX, com a disseminação da Teoria dos Conjuntos, tornou-se possível a definição formal do conceito de função da seguinte maneira: 01/06/

27 Referências BOYER, C. História da Matemática. 2.ed. São Paulo: Edgard Blucher, ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.

28 História das Funções Trigonométricas Link para estudo 01/06/