Educação Matemática. Profª. Andréa Cardoso MATEMÁTICA - LICENCIATURA 2015/2

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1 Educação Matemática Profª. Andréa Cardoso MATEMÁTICA - LICENCIATURA 2015/2

2 UNIDADE I: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E ENSINO Álgebra simbólica na Europa 2

3 Na Europa, o ocidente toma conhecimento da matemática árabe, muito superior ao conhecimento europeu.

4 Da queda do Império Romano e invasões bárbaras até do século XI, a Europa estava mergulhada na escuridão e no caos. Desde o século XIII, os tratados gregos começaram a ser traduzidos na Europa Ocidental. As primeiras Universidades surgiram na Idade Média entre os séculos XII e XIII, o saber nelas difundidos foram um prolongamento do saber antigo dos Gregos. Ciência na Europa 4

5 Matemática prática para treinar jovens comerciantes. Ensinava-se: Cálculo com numerais indianos e sem ábaco Resolução de equações (regra do falso) Regra de três Juros simples e compostos Escolas de Ábaco (Itália, século XIII) 5

6 Basicamente a mesma Álgebra dos Árabes, influenciados pelos livros: 1) Liber Abaci de Leonardo de Pisa (Fibonacci) 2) Tradução latina de al Jabr de al-khwarizmi. Diferença: o uso não sistematizado da simbologia algébrica. A padronização se deu no século XVII, devido à popularidade dos trabalhos de Descartes, Leibniz e Newton. Introdução da Álgebra na Europa 6

7 Evolução da Álgebra 7

8 A tradução das obras árabes para o latim, trouxeram além dos métodos algébricos e aritméticos, o desenvolvimento da simbologia. A raiz Jidhr (coisa) Radix (raiz) R (letra r) O desenvolvimento da simbologia ocorre principalmente na Itália, Alemanha, Inglaterra e França. Os símbolos da Álgebra 8

9 François Viète ( ), advogado francês conhecido com O pai da Álgebra, foi substituindo aos poucos substituindo as palavras por símbolos nas equações. Introduziu os sinais ( + ) mais e ( - ) menos, a palavra in para multiplicação. Um passo importante foi representar os coeficientes junto às incógnitas por consoantes. Viète B in A é igual a C Os símbolos da Álgebra Simbologia atual ax = b B in A área + C in A é igual a 0 ax 2 + bx = 0 9

10 A Álgebra simbólica foi completada por René Descartes ( ) que: Introduziu o sinal (=) criado por Robert Recorde ( ) e substituiu o sinal in por ( ) para multiplicação; Criou a notação de expoentes que usamos até hoje; Usou as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes; E as últimas letras para representarem as incógnitas. B in A área + C in A + D é igual a 0 Os símbolos da Álgebra ax 2 + bx + c = 0 10

11 Resolução das Equações Cúbicas 11

12 Poeta, matemático e astrônomo; Participou da a reforma do calendário Persa, que ficou mais realístico que o calendário Juliano utilizado na Europa; Construiu numerosas tabelas astronômicas; Tratados de Álgebra que foram difundidos na Europa durante a Idade Média. Omar Khayyam - Império Persa, século XI 12

13 Em seu livro de Álgebra, Khayyám se refere a outros trabalhos seus que, por infelicidade, estão hoje perdidos. Álgebra de natureza geométrica, resolveu equações lineares e quadráticas por métodos que estão presentes na Geometria de Euclides. Descobriu um método para resolução de equações cúbicas, por meio da intersecção de cônicas, pelo menos em parte, este método já havia sido descrito por outros autores. Álgebra de Omar Khayyam 13

14 A solução de uma equação cúbica do tipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Pode ser vista como a interseção de duas cônicas. ax x 2 + b a x = c a d ax parábola hipérbole Resolução de Equações Cúbicas

15 Resolução geométrica de uma cúbica se dá pela intersecção de duas curvas cônicas, construídas no mesmo plano cartesiano. Método de Khayyam para resolução de Equações Cúbicas 15

16 Omar Khayyam enumerou 14 diferentes tipos de equações cúbicas, pois não considerava números negativos. Até o século XVI, as cúbicas eram classificadas de acordo com a posição do termo quadrático, linear e numérico. Cada tipo demandava um método específico. Resolução das Equações Cúbicas 16

17 A evolução dos métodos para resolver equações do terceiro grau teve papel significativo na história da Álgebra. Notação do século XVI Simbologia atual C 5Q+7R = R + 6 x 3 5x 2 + 7x = x + 6 Resolução das Equações Cúbicas 17

18 GARBI, G. O romance das equações algébricas GUELLI, O. Equação: o idioma da álgebra. Contando a história da matemática. São Paulo: Ática, ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, Referências 18

19 1. Qual era a situação da Ciência na Europa até o século XV? 2. Qual a importância da simbologia para o desenvolvimento da Álgebra? 3. O que é uma cúbica? Como era resolvida? Atividade Aula 18