Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

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1 Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

2 Aula 18: Euclides e Os Elementos 11/05/2015 2

3 Euclides século III a.c. Pouco se sabe sobre a personalidade de Euclides. Viveu provavelmente em Alexandria durante o reinado de Ptolomeu I ( a.c.) Compilou de forma sistemática todo o conhecimento matemático acumulado em sua época na obra Os Elementos.

4 Versões dos Elementos 11/05/2015 4

5 Livro I Os Elementos em 13 livros Geometria Plana Construções elementares, congruências, Área de polígonos e Teorema de Pitágoras. Livro II Livro III Livro IV Livro V Livro VI Álgebra geométrica Geometria do círculo Construção de polígonos regulares Teoria das Proporções (Eudoxo) Figuras semelhantes 11/05/2015 5

6 Os Elementos em 13 livros Livros VII-IX Livro X Livro XI Livro XII Livro XIII Teoria dos números Classificação de irracionais (Teeteto) Geometria espacial e volumes Áreas e volumes pelo método da exaustão (Eudoxo) Construção dos cinco sólidos regulares. 11/05/2015 6

7 Os Elementos Importância excepcional na Matemática e seu ensino. É um tratado de Geometria. Foi imitado e continua sendo na Matemática e em outras Ciências. 11/05/2015 7

8 Se o valor de um trabalho científico pode ser medido pelo tempo durante o qual ele mantém a sua importância, então Os Elementos de Euclides são a obra científica mais válida de todos os tempos. (Szmielew, 1960.)

9 Modelo Axiomático dos Elementos Apresenta um sistema lógico de organização dos resultados, através do método axiomático. Sem prefácio, comentários ou justificações. Lista de definições Postulados e axiomas Resultados com demonstrações

10 Modelo Axiomático: Definições Com o objetivo de dar ao leitor um sentido de como os termos matemáticos serão utilizados. Exemplos: i. Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma. ii. Linha é o, que tem comprimento sem largura. iii. As extremidades da linha são pontos. iv. Superfície é o, que tem comprimento e largura. v. As extremidades da superfície são linhas. 11/05/

11 Postulados e Axiomas Teorema é uma consequência lógica dos teoremas precedentes, o primeiro teorema de uma teoria matemática é portanto indemonstrável e será considerado axioma ou postulado. Postulados são as hipóteses básicas relativas ao ramo específico do saber, neste caso a Geometria Plana. Axiomas são aceitos em todos os campos do saber. 11/05/

12 Modelo Axiomático: Axiomas 1. Grandezas iguais a uma mesma grandeza são iguais entre si; 2. Se grandezas iguais forem adicionadas a grandezas iguais, as somas serão iguais; 3. Se grandezas iguais forem subtraídas de grandezas iguais, os resultados serão iguais; 4. Grandezas que coincidem entre si são iguais; 5. O todo é maior do que suas partes. 11/05/

13 Modelo Axiomático: Postulados 1. É possível traçar uma linha reta de um ponto qualquer a um ponto qualquer; 2. É possível prolongar arbitrariamente um segmento de reta; 3. É possível traçar um círculo com qualquer centro e raio; 4. Dois ângulos retos quaisquer são iguais entre si; 5. Se uma reta, interceptando duas outras retas forma ângulos interiores do mesmo lado menores do que ângulos retos, então duas retas, caso prolongadas indefinidamente, se encontram do mesmo lado em que os ângulos são menores do dois ângulos retos. 11/05/

14 O Problema do Postulado das Paralelas O quinto postulado não era tão naturalmente aceito como os outros, pois não era tão evidente por si próprio. Houve muitas tentativas de demonstrá-lo, mas um exame cuidadoso revelou que seus autores apenas substituíram-no por outras hipóteses tácitas [implicitas], que lhe pareciam menos desagradáveis. 11/05/

15 O Problema do Postulado das Paralelas Uma consequência imediata do quinto postulado é que, por um ponto P dado fora de uma reta l, passa no máximo uma reta paralela a l (Proposição 28 do Livro I). Se α + β < 2 90 o então as retas se intersectam de um lado. Se α + β > 2 90 o então as retas se intersectam do outro lado. Se α + β = 2 90 o então l " l 11/05/

16 Propriedades dos Axiomas em uma Teoria uma visão moderna 1. Completude Tudo que será usado na teoria está apropriadamente contido nos axiomas. 2. Consistência É impossível deduzir dois teoremas contraditórios a partir dos axiomas. 3. Independência Nenhum dos axiomas é uma consequência dos outros, pelo princípio da economia. 11/05/

17 A visão dos Matemáticos Gregos Axiomas eram afirmativas de fatos e de verdades evidentes por si próprias, que todos poderiam aceitar. A axiomática moderna é descendente direta da axiomática grega. Os axiomas de Euclides cumprem as exigências modernas? 11/05/

18 (não) Completude da Geometria Euclidiana Primeira proposição do Livro I: Co nstruir um triângulo equilátero sobre uma base AB dada. Não há nada nos axiomas que permita concluir que dois arcos de círculo tem um ponto em comum. 11/05/

19 (não) Completude da Geometria Euclidiana Euclides fez hipóteses tácitas sobre deslocamentos e congruência, talvez pelo uso continuado do resultado. Somente em 1900, David Hilbert em Fundamentos da Geometria apresenta um conjunto completo de axiomas. 11/05/

20 Consistência e Independência O problema do Postulado das Paralelas Mais tarde, no século XIX, foram feitas novas tentativas de demonstrar a dependência do postulado. Desses estudos e principalmente pelas mãos de Gauss, Bolyai e Lobachevsky, surge a base de uma nova, consistente e bela teoria Geometria não-euclidiana Conclusão: Os quatro primeiros postulados são consistentes tanto do o quinto como com sua negação. Mostrando finalmente que Euclides estava correto. 11/05/

21 A infinidade dos Números Primos nos Elementos Proposição 20 do Livro IX: Há mais números primos do que qualquer quantidade designada de números primos. Pressupõe o conhecimento da proposição 31 do Livro VII Qualquer número composto é medido por um primo Demonstração... 11/05/

22 Crivo de Eratóstenes Todo número composto a tem um divisor primo menor ou igual a a. Demonstração... 11/05/

23 Bibliografia ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática. Rio de Janeiro: SBM, /05/

24 Seminários 3: Álgebra na Antiguidade Aula 19 Tema Álgebra Geométrica e Diofanto Resolução da Equação Quadrática Ministran te Data Tiago 07/05 Ana 07/05