MAT Geometria Euclidiana Plana. Um pouco de história

Transcrição

1 Geometria Euclidiana Plana Um pouco de história Prof a.

2 Introdução Estudo axiomático da geometria estudada no ensino fundamental e médio, a Geometria Euclidiana Plana. Método axiomático (dedutivo): utilizado por Euclides em seu livro Os Elementos. A palavra geometria vem do grego geometrien: geo : terra metrien: medida.

3 Euclides Matemático grego, Viveu em Alexandria por volta de 300 a.c., Autor do primeiro texto com teoria matemática axiomática: Os Elementos. Os Elementos: obra em 13 volumes, escrita em grego, os 4 primeiros livros, tratam da Geometria Plana conhecida da época, os demais tratam da teoria dos números e da geometria espacial. Primeiro texto que apresenta a geometria de forma lógica, organizada, e desenvolvendo-se por raciocínio lógico. Depois da Bíblia sagrada, este texto teve o maior número de traduções.

4 Um pouco da Histo ria da Geometria Plana Mapa: Gre cia Antiga, Egito e Mesopota mia Antiga

5 Linha do tempo

6 Exemplificando: Problema 1: Sabendo-se que soma de dois números é 14 e um deles é 6, qual é o outro número? Problema 2: O perímetro de um retângulo é 28. Um outro retângulo tem o triplo do comprimento e o dobro da largura do primeiro triângulo, e seu perímetro é 72. Determine as dimensões do primeiro retângulo. Obseve a diferença entre os problemas. O que precisamos saber para resolver cada um deles?

7 Um pouco de história Livro 1 dos Elementos de Euclides - inicia-se o estudo da geometria plana. Primeiramente define-se os objetos geométricos cujas propriedades deseja-se estudar. São 23 definições, entre as quais encontramos as definições de ponto, reta, círculo, triângulo, retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 noções comuns, que são afirmações admitidas como verdades óbvias. São elas: 1 Coisas iguais a uma mesma coisa são também iguais. 2 Se iguais são adicionados a iguais, os totais obtidos são iguais. 3 Se iguais são subtraídos de iguais, os totais obtidos são iguais. 4 Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. 5 O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.

8 O que é o Método Axiomático A estrutura teórica de cada área da Matemática é disposta em: O Conceito Primitivo; Um Conceito é Primitivo quando é tido como verdade e isento de definição. Os exemplos clássicos são: ponto, reta, plano. Não os definimos, apenas os aceitamos. Os Axiomas ou Postulados; Axiomas são afirmativas (conjunto de regras) aceitas sem comprovação e que determinam as propriedades de alguns conceitos primitivos. As Definições; os Teoremas, Lemas e Corolários. Uma teoria é axiomática quando é construída a partir de axiomas ou postulados.

9 Exemplificando o Método Axiomático Quem veio primeiro, o ovo ou a galinha?

10 Respostas 01) De acordo com a Teoria da Evolução, a resposta do paradoxo, é que o ovo veio primeiro. Deve-se considerar que o ancestral da galinha (que ainda não é uma) botou o ovo com a mutação que resultaria a galinha moderna. Esta por sua vez, apenas perpetuou essa mutação. 02) Segundo a Teoria Criacionista, a galinha veio primeiro, criada por Deus no início dos tempos. Axioma: Todas as formas de vida evoluíram de um único ser vivo, por mutações. Axioma: Deus criou o universo e todos os seres vivos.

11 Uma teoria axiomática é tanto mais elegante quanto menor for seu número de axiomas e estes devem ser escolhidos com a preocupação de que sejam: * Consistentes: não conduz a teoremas contraditórios. * Suficientes: a teoria pode ser desenvolvida sem a necessidade de outros axiomas. * Independentes: quando nenhum outro pode ser demonstrado a partir dos demais.

12 Durante muito tempo distinguiu-se axioma de postulado. Os axiomas eram proposições evidentes por si mesmas; e postulados, proposições que se pediam fossem aceitas sem demonstração. Atualmente, axiomas e postulados são designações das proposições sem demonstração. Constituem o ponto de partida de uma teoria dedutiva.

13 Teoria Matemática: A partir de Axiomas + Regras lógicas deduz-se os resultados matemáticos. Ou melhor, Conceitos Primitivos Axiomas Teoremas / Lemas Corolários

14 A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ele apresentou, em sua famosa obra Os Elementos, um conjunto de cinco axiomas e cinco postulados. Axiomas: A1 Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. A2 Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais. A3 Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais. A4 Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. A5 O todo é maior do que qualquer de suas partes.

15 Postulados: P1 Pode-se traçar uma (única) reta ligando quaisquer dois pontos. P2 Pode-se continuar (de uma única maneira) qualquer reta finita continuamente em uma reta. P3 Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. P4 Todos os ângulos retos são iguais. Observação: Euclides define ângulos sem falar em medida e ângulo reto como um ângulo que é igual ao seu suplementar. Daí, a necessidade do Postulado 4.

16 P5 Se uma reta secante a duas outras forma ângulos de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que 180, então essas retas, se prolongadas suficientemente, encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado.

17 Outra forma de enunciá-lo: P5 Sejam duas retas m e n cortadas por uma terceira reta s. Se a soma dos ângulos formados é menor do que 180 graus, então m e n não são paralelas. Além disso, elas se interceptam do lado dos ângulos cuja soma é menor do que 180 graus. O 5 Postulado é o famoso postulado das paralelas. Atualmente é apresentado com as seguintes palavras: P5 Por um ponto P exterior a uma reta m, considerados em um mesmo plano, existe uma única paralela à reta m.

18 Curiosidades sobre o 5 o Postulado * Diferentemente dos demais postulados, este se parece muito mais com um teorema do que com uma simples afirmação que podemos aceitar sem demonstração. * Muitos acreditavam que quando Euclides chegou ao Postulado 5 não soube como demonstrá-lo e então resolveu deixá-lo como postulado. * Renomados matemáticos tentaram provar o 5 Postulado de Euclides, pois o consideravam menos intuitivo e de redação mais complicada. Porém, essa pretenção não foi alcançada, pois o 5 Postulado não é uma consequência lógicas dos quatro anteriores. * Substituindo tal postulado, surgiram as geometrias nãoeuclidianas. Geometria Projetiva, Geometria Eliptica e Geometria Hiperbólica.

19 Um fato interessante A primeira proposição do livro I de Euclides é a seguinte: Proposição Existe um triângulo equilátero com um lado igual a um segmento de reta dado. Demonstração. Existe uma falha nesta demonstração. Algo não é justificado pelos Axiomas. O quê? Se queremos contruir a geometria a partir dos axiomas, precisamos justificar toda afirmação a partir deles. Não existe nenhum postulado que garante que o ponto de interseção entre os dois círculos existe.

20 Nosso curso Vemos, assim, que os postulados de Euclides não são suficientes para demonstrar todos os resultados da geometria plana. Neste curso vamos axiomatizar a geometria de tal forma que os axiomas sejam suficientes para demonstrar todos os resultados conhecidos desde o ensino fundamental.

21 Referências BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, EVES, H. W. Introdução à história da matemática, Unicamp, MOISE, E. E.; DOWNS, F. L. Geometria Moderna, vol. I, São Paulo: Edgard Blücher, 1971.