Geometria Plana - Aula 01

Transcrição

1 Geometria Plana - Aula 01 Elaine Pimentel Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática Geometria Plana Especialização p. 1

2 Esquema da aula O que é um sistema axiomático. Conceitos primitivos. Postulados. Teoremas. Postulados e alguns teoremas da Geometria Euclideana. Geometria Plana Especialização p. 2

3 Sistemas dedutivos Sistemas dedutivos são aqueles que partem de certos conceitos primitivos e axiomas ou postulados para provar afirmativas ou propriedades desse sistema. A argumentação é feita utilizando lógica. Neste curso: estudaremos a geometria plana e utilizaremos a lógica matemática. Geometria Plana Especialização p. 3

4 Termos indefinidos Ponto. Reta. Plano. Pertence a (ex: dois pontos pertencem a uma única reta). Entre (ex: um ponto C está entre pontos A e B. Congruente. Geometria Plana Especialização p. 4

5 Axiomas de pontos e retas Postulados são as regras básicas. Em geometria, esses postulados lidam com conjuntos de pontos e as relações entre eles. P1. Para todos os pontos P e Q (distintos), existe uma única reta r que passa por P e Q. P2. Uma reta r contém pelo menos dois pontos. Da mesma forma, existe pelo menos um ponto P que não pertence à r. T1. Duas retas se interceptam em no máximo um ponto. Prova. Se duas retas r e s se interceptam em mais de um ponto, então se interceptam em pelo menos dois pontos P e Q. Pelo Postulado 1, existe uma única reta que contém P e Q. Logo r = s. Geometria Plana Especialização p. 5

6 Axiomas de ordem D1. Duas retas são concorrentes quando possuem um ponto comum. T2. Dada uma reta r, existem retas concorrentes a ela. D2. Três pontos são ditos colineares se pertencem à mesma reta. P3. Dados três pontos colineares, um e somente um deles está entre os outros dois. D3. Dados dois pontos P e Q sobre uma reta r, chama-se de segmento PQ o conjunto de todos os pontos de r que estão entre P e Q, juntamente com os pontos P e Q. D4. A semi-reta PQ é o conjunto dos pontos que pertencem ao segmento PQ e todos os pontos C tais que Q está entre P e C. Geometria Plana Especialização p. 6

7 Axiomas de ordem P4. Um ponto P pertencente a uma reta r a divide em duas semi-retas que têm somente o ponto P em comum. Se dois pontos de r pertencem a semi-retas distintas, então eles estão separados pelo ponto P. P5. Cada reta r divide o plano em dois semi-planos. Se dois pontos P e Q pertencem a um mesmo semi-plano, o segmento PQ não é separado por r. Se P e Q pertencem a semi-planos distintos, então r separa P e Q. T3. PQ PQ. T4. Seja r uma reta que contém o ponto P mas não contém o ponto Q. Então PQ está contida em um mesmo semi-plano determinado por r. Geometria Plana Especialização p. 7

8 Axiomas de congruência P6. Todo segmento tem um único comprimento positivo. P7. Seja C um ponto entre P e Q. Então o comprimento de PQ é igual à soma do comprimento de PC com o comprimento de CQ. Geometria Plana Especialização p. 8

9 Axiomas de construção de P8. Dado m > 0 e uma semi-reta PQ, existe um único ponto C sobre PQ tal que o comprimento de PC é igual a m. Escreveremos PC = m. T5. Seja C PQ tal que PC < PQ. Então C está entre P e Q. T6. Seja C PQ tal que C está entre P e Q. Então PC < PQ. Geometria Plana Especialização p. 9

10 Definição de ângulo D5. Chama-se ângulo a figura formada por duas semi-retas de mesma origem. D6. Ângulo raso é qualquer ângulo cujos lados são semi-retas opostas. D7. Uma uma semi-reta OC é chamada de interior ao ângulo POQ se OC intercepta algum segmento de extremos nas semi-retas OP e OQ. D8. Toda semi-reta de origem O é interior ao ângulo raso de vértice O. Geometria Plana Especialização p. 10

11 Axiomas de ângulos P9. Cada ângulo não raso possui uma única medida positiva menor que 180 o. A medida do ângulo raso é 180 o. P10. Seja OC interior ao ângulo POQ. Então POC + ĈOQ = POQ P11. Dados n, com 0 < n 180 o e uma semi-reta uma única semi-reta OC em um dos semi-planos determinados por OP tal que POC tem medida n. OP, existe Geometria Plana Especialização p. 11