Axiomas da Geometria Diferencial: Incidência Axioma I 1 : Para todo ponto P e para todo ponto Q distinto de P, existe uma única reta l que passa por

Transcrição

1 GEOMETRIA ESPACIAL

2 Axiomas da Geometria Diferencial: Incidência Axioma I 1 : Para todo ponto P e para todo ponto Q distinto de P, existe uma única reta l que passa por P e Q. Axioma I 2 : Toda reta possui pelo menos dois pontos distinto. Axioma I 3 : Existe pelo menos 3 pontos não colineares. Axioma I 4 : Dados três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano que os contém. Axioma I 5 :. Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, ela está contida no plano. Axioma I 6 : Existe pelo menos 4 pontos não coplanares Axioma I 7 : Se dois planos possuem um ponto em comum, então eles possuem pelo menos uma reta em comum.

3 Teorema 1. Existe um único plano que contém uma reta e um ponto não pertencente a ela.

4 Que combinações de pontos e retas determinam um plano? Como pode ser a interseção de duas retas no espaço? E de dois planos? E de uma reta e um plano?

5 Posição de Retas Como pode ser a interseção de duas retas? Pelo Axioma I 1, duas retas distintas podem ter no máximo um ponto comum. De fato, como existe uma única reta que passa por dois pontos distintos, duas retas que tenham mais de um ponto comum são obrigatoriamente coincidentes (isto é, são a mesma reta). Quando duas retas têm exatamente um ponto comum, elas são chamadas de concorrentes.

6 Proposição: Duas retas concorrentes determinam um único plano. De fato, seja P o ponto de interseção das retas r e s. Sejam R e S pontos de r e s, respectivamente, distintos de P. Os pontos P, R e S são não colineares; portanto, determinam um único plano, que certamente contém r e s, já que essas retas têm dois de seus pontos em.

7 Já quando duas retas não possuem ponto em comum, elas podem ou não determinar um plano. Consideremos a situação da figura abaixo, que mostra três pontos não colineares A, B e C, que determinam um plano, um ponto D exterior a, e as retas r e s, definidas por A e B e por C e D, respectivamente. É claro que não existe nenhum ponto comum a r e s.

8 Note que s só tem o ponto C em comum com ; se tivesse um outro ponto comum, s teria que estar contida em, o que é impossível, já que D é exterior a. Por outro lado, não existe nenhum plano que contenha, simultaneamente, r e s. Basta observar que é o único plano que passa por A, B e C e que D não pertence a este plano. Retas como r e s são chamadas de retas não-coplanares ou reversas. Retas reversas sempre possuem interseção vazia.

9 Mas duas retas do espaço podem não ter pontos de interseção e serem coplanares. Neste caso, dizemos que as retas são paralelas. Sabemos, da Geometria Plana, que por um ponto do plano exterior a uma reta passa uma única reta paralela a ela. O mesmo ocorre no espaço. Isto é, Por um ponto P exterior a uma reta r do espaço passa uma única reta s paralela a ela.

10 De fato, seja r uma reta do espaço e seja P um ponto não pertencente a r. Como vimos, existe um único plano que contém P e r; nesse plano, existe uma, e somente uma, reta s paralela a r passando por P. Por outro lado, não existem retas paralelas a r passando por P que não estão contidas em, já que todas as retas coplanares com r passando por P estão contidas em. Assim, a reta s é a única reta do espaço que contém P e é paralela a r. Em resumo, duas retas distintas do espaço estão em um dos casos dados no quadro abaixo:

11 Posição Relativa de Reta e Plano A pergunta agora é: como pode ser a interseção de uma reta e um plano? Pelo Axioma I 5, se uma reta r possui dois ou mais pontos pertencentes a um plano, todos os seus pontos estarão em ; isto é r estará contida em.

12 Um outro caso possível é aquele em que r tem apenas um ponto em comum com (dizemos nesse caso que r é secante a ).

13 Finalmente, uma reta pode não ter pontos em comum com um plano (dizemos que a reta e o plano são paralelos). Seja um plano, r uma reta contida em e P um ponto exterior a. A reta s, paralela a r passando por P, é paralela a. De fato, seja o plano definido por r e s. Se s não fosse paralela a, a interseção de r e seria um ponto Q não pertencente a r, já que r e s são paralelas. Mas isto faria com que os planos distintos e tivessem em comum a reta r e o ponto exterior Q, o que é impossível.

14 Em resumo, uma reta r e um plano podem estar em um dos casos a seguir:

15 Posição Relativa de Dois Planos Obtemos uma classificação para a posição relativa de dois planos procurando responder à pergunta: como pode ser a interseção de dois planos distintos? O primeiro resultado é a seguinte: Proposição: Se dois planos distintos possuem mais de um ponto em comum, sua interseção é uma reta (neste caso, dizemos que os planos são secantes).

16 De fato, se os pontos P e Q são comuns a e, então, pelo Axioma I 5, a reta r definida por P e Q está contida, simultaneamente, em e e, portanto, em sua interseção. Por outro lado, se houvesse um ponto R comum a e que não pertencesse a r, os planos e seriam coincidentes, já que r e R determinam um único plano. Logo, r é a interseção de e.

17 A próxima possibilidade a ser considerada é a de dois planos terem exatamente um ponto em comum. Esta possibilidade é descartada pelo Axioma I 7. Resta-nos apenas mais uma possibilidade: a de que os planos sejam paralelos (isto é, não possuam pontos comuns). Mas existem realmente planos que não tenham ponto em comum?

18 Construção de um plano paralelo a um plano dado. Seja P um ponto exterior ao plano. Tomemos duas retas concorrentes r e s em. Sejam r e s as paralelas a r e s passando por P. Estas retas determinam um plano, que é, como vamos provar, paralelo a.

19 Suponhamos que não seja paralelo a. Então e possuem uma reta de interseção t. As retas r, s e t são coplanares. Por outro lado, as retas r e s não podem ser ambas paralelas a t. Logo, pelo menos uma delas (digamos r ) é concorrente com t e, portanto, secante a. Mas como r é paralela a uma reta de, resulta que r é paralela a. Temos, portanto, uma contradição, o que demonstra que e são paralelos. A construção acima mostra como construir um plano paralelo a passando pelo ponto exterior P.

20 O quadro abaixo resume as situações possíveis para a posição relativa de dois planos distintos e :

21 PLANOS, TEOREMA DE TALES, SÓLIDOS

22 Com as propriedades já estabelecidas, podemos, já nesse ponto, construir nossos primeiros sólidos. A maior parte dos livros didáticos para o Ensino Médio adia a apresentação dos sólidos clássicos (prismas, pirâmides, esfera, etc) para mais tarde, quando se ensina a calcular áreas e volumes desses sólidos. Nada impede, no entanto, que eles sejam apresentados mais cedo, de modo a colaborar na fixação dos conceitos fundamentais, já que exemplos muito mais ricos de situações envolvendo pontos, retas e planos podem ser elaborados com seu auxílio.

23 Pirâmide

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32 Consideremos um prisma triangular ABCDEF. Quantos planos distintos são determinados por um subconjunto dos 6 vértices do paralelepípedo?

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34 Descobrindo Relações de Paralelismo

35 Vamos tomar um paralelepípedo ABCDEFGH e observar algumas relações de paralelismo entre as retas e planos lá presentes.

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39 Planos Paralelos e Proporcionalidade Teorema 1(Teorema de Tales para Planos Paralelos) Um feixe de planos paralelos determina segmentos proporcionais sobre duas retas secantes quaisquer.

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41 Construção de Pirâmides Semelhantes

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