Geometria Descritiva 28/08/2012. Elementos Primitivos da Geometria

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1 Geometria Descritiva Prof. Luiz Antonio do Nascimento A Geometria, como qualquer outra ciência, fundamenta-se em observações e experiências para estabelecer os conceitos e as propriedades. Tais conceitos e propriedades constituem as Proposições Geométricas. Uma proposição geométrica pode ser aceita com ou sem comprovação. A proposição aceita sem comprovação pode ser entendida através de fatos e situações do cotidiano. As proposições geométricas podem ser classificadas como Conceitos Primitivos ou como Postulados. Conceito Primitivo - exprime a noção sobre algo que dispensa definição sob o ponto de vista geométrico. Assim sendo, são considerados primitivos os conceitos de forma e dimensão, como também o são os de ponto, reta, plano e espaço. Aqueles postes estão em linha reta. O tampo dessa mesa é plano. A mesa está ocupando o espaço do sofá. Postulado - uma afirmação aceita consensualmente, sem restrições, e que dispensa demonstração. Postulado de determinação da reta. Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. Postulado da inclusão. Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano. 1

2 Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano). Ponto Localização de algo no espaço. O ponto não tem dimensão. A B C Toda figura geométrica é formada por um conjunto de pontos. O ponto geométrico é representado pela interseção de duas pequenas linhas ou um ponto. Indicado por letra maiúscula latina. Exemplo: Pontos A, B, C, D, etc.. Reta A reta é formada por um conjunto de pontos que se sucedem uns aos outros em sequência infinita. A reta não tem inicio e nem fim. As setas nas extremidades da representação da reta indicam que a reta continua indefinidamente nos dois sentidos. Indicado por letra minúscula latina. Exemplo: Retas r, s, t, etc. Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano). Reta Podem ser: 2

3 Reta Elementos derivados de uma reta: Semi-reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e é ilimitada em apenas um sentido. Segmento de reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e um de fim que são as suas extremidades. Representada por seus pontos. A figura mais simples construída por segmentos é o triângulo que é formado por três pontos que não pertencem a uma mesma reta e pelos três segmentos determinados por estes três pontos. Os três pontos são chamados de vértices e os segmentos de lados. Eixo uma reta orientada. O sentido positivo da reta é o do sentido do eixo. Segmento Orientado um segmento de reta de extremos pertencentes a um eixo. Segmentos Coincidentes dado dois segmentos orientados AB e CD se A=C e B=D e é escrito (A,B)=(C,D). Segmento Nulo é o segmento cuja extremidade coincide com a origem (A,A). Segmentos Opostos dois segmentos orientados que possuem mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos contrários. (A,B) e (B,A). 3

4 Módulo de um segmento (ou valor absoluto ou magnitude) comprimento de um segmento. Distância entre dois pontos. Ex.: Distância de A à C. A C D E F G B Representa-se o módulo por AC = 2. Medida Algébrica é o produto de um módulo por +1 ou -1 conforme o sentido do segmento coincida ou não com o sentido do eixo que o contém. Sentido de um segmento orientação do segmento da origem para a extremidade. Direção de um segmento inclinação do segmento que é determinado pelo eixo que o contém. Dois segmentos têm a mesma direção quando pertencem a um mesmo eixo ou a eixos paralelos entre si. Direção de um segmento 4

5 Reta Posições de duas ou mais retas: Retas Paralelas: duas ou mais retas que mantêm entre si uma distância constante. Retas Perpendiculares: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo de Retas Oblíquas: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo inferior a Reta - Posições de duas ou mais retas: Retas Coplanares - As retas a, b e c pertencem ao mesmo plano (face do paralelepípedo). Retas Concorrentes - As retas a e b têm um ponto comum A. Retas Enviesadas - As retas d e c não se encontram e têm direções diferentes. Reta Posições de dois ou mais segmentos: Segmentos Consecutivos: a extremidade de um deles é também extremidade do outro. Segmentos Colineares: estão numa mesma reta. 5

6 Reta Posições de dois ou mais segmentos: Segmentos Adjacentes: segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum. Segmentos Congruentes: têm as mesmas medidas. "~" é o símbolo de congruência. Plano Qualquer superfície plana. Plano é a superfície sobre a qual um objeto pode ser completamente representado. Pode ser identificado por letras gregas do alfabeto como por exemplo α (alfa), β (beta) e γ (gama). Espaço conjunto infinito de planos. Possui três dimensões (comprimento, largura e espessura). Figuras no espaço podem ser representadas através da perspectiva. 6

7 Posição relativa de Retas e Planos Reta é paralela a um plano - quando é paralela a uma reta desse plano. Posição relativa de Retas e Planos Reta oblíqua a um plano - tem um ponto em comum com o plano. Posição relativa de Retas e Planos Reta perpendicular a um plano - é perpendicular a duas retas concorrentes do plano. 7

8 Posição relativa de Retas e Planos Planos concorrentes - têm uma reta em comum. Posição relativa de Retas e Planos Planos perpendiculares - quando um contém uma reta perpendicular ao outro. Posição relativa de Retas e Planos Planos paralelos - quando os planos possuem retas concorrentes paralelas. 8

9 Geometria Plana Figuras Planas: Figuras de duas dimensões. Figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano. Polígono: figuras planas com três ou mais lados: Geometria Espacial Figuras Sólidas: são modelos que que possuem três dimensões (volume). Superfície Conjunto das posições de uma linha móvel (geratriz). A linha reguladora dos traçados da linha é chamada de diretriz. A linha reguladora dos traçados da linha é chamada de diretriz. 9

10 Superfície Plana - conjunto das posições de uma linha reta que se desloca em trajetória retilínea e paralela a si mesma. Superfície Curva - obtida pelo movimento de uma linha curva que se desloca no espaço Superfície Conica Circular Oblíqua Superfície Piramidal 10

11 Superfície Cilindrica Superfície Cilindrica de Revolução Superfície Prismática de diretriz poligonal aberta 11

12 Superfície Prismática de diretriz poligonal fechada Superfície Esférica Poliedros Sólidos geométricos limitados por porções de superfícies planas poligonais. 12

13 Prismas Os prismas são sólidos com duas bases poligonais e iguais. Pirâmides Uma pirâmide é um poliedro que tem como base um vértice. Cones Um cone é um sólido delimitado lateralmente por uma porção de uma folha de uma superfície conica de diretriz circular. 13

14 Cilindros Um cilindro é um sólido delimitado lateralmente por uma porção de uma superfície cilíndrica. Geometria Analítica Tipos de Ângulos Retas Perpendiculares Mediatriz é um reta que divide a distância entre dois pontos em partes iguais e está na perpendicular com a ela. 1. Ponta seca do compasso em A, raio maior que a metade de AB, traça-se um arco 2. Ponta seca do compasso em B, raio maior que a metade de AB, traça-se um arco 3. Nos pontos de encontro dos arcos (pontos C e D) traça-se a reta (mediatriz). 14

15 Bissetriz é uma semi-reta que divide o ângulo em partes iguais. 1. Ponta seca do compasso em V, traça-se um arco, definindo 1 e Ponta seca do compasso em 1, raio maior que a metade, traça-se um arco 3. Ponta seca do compasso em 2, raio maior que a metade, traça-se um arco e define o ponto Traça-se uma semi-reta V3 (bissetriz) Simbologia Símbolo Descrição Perpendicular Portanto Paralela Proporcional Coincidente E Aproximado Ou Infinito União Para todos Intersecção Existe Está contido Não existe Não está contido Pertence Contém Não pertence Não contém 15