Geometria Plana - Aula 08

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Glória Lombardi Raminhos
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1 Geometria Plana - Aula 08 Elaine Pimentel Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática Geometria Plana Especialização p. 1

2 Esquema da aula Círculos, raios e cordas. Tangentes. Ângulos centrais e arcos. Ângulos inscritos. Ângulos secantes. Segmentos tangentes. Cordas e segmentos secantes. Geometria Plana Especialização p. 2

3 Círculos, raios e cordas. Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos no plano que estão a uma certa distância (raio r) de um dado ponto no plano (centro O). Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Algumas cordas têm comprimentos especiais, como as que contém o centro da circunferência. À medida desta corda damos o nome de diâmetro d. d = 2r. O C B A D Geometria Plana Especialização p. 3

4 Círculos, raios e cordas. Teorema. Se uma reta que passa pelo centro de uma circunferência é perpendicular a uma corda, ela também a bissecta. Teorema. Se uma reta que passa pelo centro de uma circunferência bissecta uma corda que não é o diâmetro, ela também é perpendicular à corda. Teorema. Uma reta que é perpendicular a uma corda e a bissecta passa pelo centro da circunferência.. OD AB AC CB. AC CB OD AB Geometria Plana Especialização p. 4

5 Tangentes Uma tangente à circunferência é uma reta no plano da circunferência que a intercepta em somente um ponto. Teorema. Se uma reta é tangente a uma circunferência, ela é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de interseção. Prova: Suponha AB OA. Seja C AB tal que AB OC (por que existe?). Seja D AB tal que CD = CA. Então, pelo critério LAL, OCA OCD e portanto OA = OD, ou seja, D pertence à circunferência. ABSURDO (por que?). Teorema. Se uma reta é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de interseção, ela é tangente à circunferência. Prova: Suponha que a reta não é tangente à circunferência e seja U o segundo ponto de interseção. O triângulo V JU é isósceles e reto na base. Absurdo! Geometria Plana Especialização p. 5

6 Desenho O J U A C D B V Geometria Plana Especialização p. 6

7 Ângulos centrais e Arcos Um ângulo central de uma circunferência é um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Um arco menor de uma circunferência é o conjunto de pontos da circunferência que está dentro do ângulo central. Um arco maior de uma circunferência é o conjunto de pontos da circunferência que está fora do ângulo central. Um semi-círculo é o conjunto de pontos da circunferência determinados pelo diâmetro. Um arco pode ser medido pelo ângulo central associado a ele: a medida em graus do arco menor é a medida do ângulo central relacionado a ele; do arco maior é 360 o menos a medida do ângulo central relacionado a ele; do semi-círculo é 180 o. Geometria Plana Especialização p. 7

8 Ângulos centrais e Arcos Observe que ÂB + mĉb = mâcb no desenho abaixo. Mas não podemos dizer que C está entre A e B porque os três pontos não são colineares. Desta forma, temos o seguinte postulado: Postulado. Se C está no arco AB, então ÂB + mĉb = mâcb. Teorema. Em uma circunferência, duas cordas são iguais se e somente se seus arcos menores são iguais. A B C Geometria Plana Especialização p. 8

9 Ângulos inscritos Se você já assistiu a um filme sentado perto da tela, sabe que é quase impossível ver tudo o que está na tela ao mesmo tempo. Isso se dá porque o ângulo que os lados da tela fazem com os nossos olhos é muito grande. Se sentarmos no fundo da sala, o ângulo será bem menor. No diagrama abaixo, se LH representa a tela do cinema e o ponto P representa uma poltrona na última fila do cinema. Pergunta: onde mais no cinema uma pessoa pode sentar de modo a ver o filme com o mesmo ângulo que em P? L H P Geometria Plana Especialização p. 9

10 Ângulo inscrito Um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice está na circunferência e cada um dos outros lados intercepta a circunferência em outros pontos. Teorema. Um ângulo inscrito possui medida igual à metade da medida do seu arco menor. Corolário. Ângulos inscritos que interceptam arcos iguais são iguais. Corolário. Um ângulo inscrito em um semi-círculo é reto. B A O1 C O2 O3 Geometria Plana Especialização p. 10

11 Ângulo inscrito Prova: B A O C Como AOB e isosceles, o angulo A e congruente ao angulo B. Pelo teorema do angulo externo, o angulo BOC vale 2A. Ou seja, o angulo inscrito A mede a metade do arco menor BC. Geometria Plana Especialização p. 11

12 Ângulos secantes Sabemos agora a relação entre ângulos centrais e inscritos. E outros ângulos, como os mostrados abaixo (secantes)? Geometria Plana Especialização p. 12

13 Ângulos secantes Teorema. Um ângulo secante cujo vértice está dentro de uma circunferência é igual em medida à metade da soma dos arcos interceptados. Teorema. Um ângulo secante cujo vértice está fora de uma circunferência é igual em medida à metade da diferença dos arcos interceptados. T U P I N R Pelo teorema do angulo externo, TIU = PUR + TRU. Por outro lado, TRU = 1/2 mtu e PUR = 1/2 mpr. Logo, TIU = 1/2 (mtu + mpr). Geometria Plana Especialização p. 13

14 Segmentos tangentes Teorema. Os segmentos tangentes a uma circunferência passando por um mesmo ponto externo têm o mesmo comprimento. A P O PA = PB B Geometria Plana Especialização p. 14

15 Cordas e segmentos secantes O único ponto que é eqüidistante de todos os pontos da circunferência é o seu centro. Desta forma, AO + OB = CO + OD. Se pegarmos um ponto P que não o centro, temos que, para pontos diametrais A e B tais que P está entre A e B e quaisquer pontos C, D tais que P está entre C e D, AP + PB > CP + PD. Mas será que existe um ponto para o qual o produto dos comprimentos dos dois segmentos é sempre o mesmo? Ou seja, existe um P tal que AP.PB = CP.PD? Em particular, sabemos que para o centro O, AO.OB = CO.OD = r 2. Geometria Plana Especialização p. 15

16 Cordas e segmentos secantes Teorema. Se duas cordas se interceptam em uma circunferência, o produto dos comprimentos dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra. C P B D A BAD = BCD pois sao angulos internos que interceptam o mesmo arco. Logo os triangulos APD e CPB sao semelhantes. Desta forma, AP/CP = PD/PB. Ou seja, AP.PB=CP.PD Geometria Plana Especialização p. 16

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