Concluimos dai que o centro da circunferência é C = (6, 4) e o raio é

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1 QUESTÕES-AULA A equação x 2 + y 2 12x + 8y + 0 = 0 representa uma circunferência de centro C = (a, b) e de raio R. Determinar o valor de a + b + R. Solução Completamos quadrados na expressão dada. Temos que x 2 +y 2 12x+8y+0 = 0 (x 2 12x+36)+(y 2 +8y+16) = = 12 Ou seja x 2 + y 2 12x + 8y + 0 = 0 (x 6) 2 + (y + ) 2 = (2 3) 2 Concluimos dai que o centro da circunferência é C = (6, ) e o raio é R = 2 3. Assim a + b + R = = = 2(1 + 3). 2. Determine a equação da circunferência C tal que A = (, 3) e B = ( 2, 7) são pontos diametralmente opostos. Solução O centro C da circunferência da qual AB é o diámetro é, C = ( 2 2, ) = (1, 2) 2 1

2 O raio da R circunferência é, R = d(c, A) = (1 ) 2 + (2 + 3) 2 = 3 Assim, a equação da circunferência é C : (x 1) 2 + (y 2) 2 = 3 3. Considere a reta r de equação x + 2y = 1 e a circunfêrencia C : x 2 + y 2 + 2x + 3 = 0. (a) Determine a equação da reta s que passa pelo centro de C e é perpendicular à reta r. (b) Determine a àrea determinada pelas retas r e s e o eixo y. Solução Completamos quadrados na equação de C para determinar seu centro e raio. Temos que x 2 + y 2 + 2x + 3 = 0 x2 + 2x y 2 = 1 3 = 1 Assim, C é a circunferência de centro C = ( 1, 0) e de raio R = 1 2. (a) A reta s é perperdicular à reta r (logo sua inclinação é 2) e passa pelo ponto C = ( 1, 0). Então sua equação é y 0 = 2(x + 1) ou seja s : 2x y = 2 2

3 (b) O ponto P, interseção das retas r e s, é obtido resolvendo o sistema, { x + 2y = 1 Resulta que P = ( 3 5, 5). A área do triangulo é 2x y = 2 S = = Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto P = (1, ) e é tangente à circunferência de equação C 1 : x 2 + y 2 + 6x + 2y + 5 = 0 no ponto A = ( 2, 1). Solução Determinemos, inicialmente o centro e o raio da circunferência C 1. Completando quadrados, temos que, x 2 +y 2 +6x+2y +5 = 0 C 1 : x 2 +6x+9+y 2 +2y +1 = = 5 ou seja, C 1 : (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = ( 5) 2 3

4 Assim o centro de C 1 é ( 3, 1) e o raio é 5. A equação da reta L que passa pelos pontos ( 3, 1) e ( 2, 1) é, L : y ( 1) = 1 ( 1) (x ( 3)) ou seja L : 2x y = 5 2 ( 3) Determinemos agora a equação da circunferência C 2 : (x h) 2 + (y k) 2 = R 2 Temos que, C 2 passa pelo ponto P. Então (1 h) 2 + ( k) 2 = R 2...(1) C 2 passa pelo ponto A. Então ( 2 h) 2 + (1 k) 2 = R 2...(2) O centro de C 2 está sobre a reta L. Então 2h k = 5...(3). Das duas primeiras equações resulta, (1 h) 2 + ( k) 2 = ( 2 h) 2 + (1 k) 2, isto é, h + k = 2 Resolvendo o sistema { h + k = 2 2h k = 5 resulta h = 1 e k = 3 também R 2 = (1 ( 1)) 2 + ( 3) 2 = 5. Finalmente, C 2 : (x + 1) 2 + (y 3) 2 = 5 5. Uma circunferência tem seu centro no ponto C = (0, 2) e é tangente à reta L : 5x 12y + 2 = 0. determine sua equação. Solução O raio da circunferência é, R = d(c, L) = 5(0) 12( 2) = = 2 Portanto a equação da circunferência é, C : (x 0) 2 + (y ( 2)) 2 = 2 2 ou seja x 2 + y 2 + y = 0 O gráfico de C e L são dados na seguinte figura,

5 6. Na figura seguinte, o diámetro da circunferência é o segmento BC. Mostrar que o ângulo  é reto. Solução Consideramos a circunferência centrada na origem e cujo raio é r > 0. Então, os vértices do triângulo ABC são, A = (x 0, y 0 ), B = ( r, 0) e C = (r, 0) As inclinações dos lados AB e AC são respectivamente, m AB = y 0 0 x 0 + r ; m AC = y 0 0 x 0 r 5

6 Para mostrar que o ângulo  é reto devemos verificar que, Com efeito, m AB m AC = 1 m AB m AC = y 0 y 0 x 0 + r x 0 r = y2 0 x 2 0 r 2 Como A = (x 0, y 0 ) é ponto da circunferência, Substituindo, concluimos que x y 2 0 = r 2 ou seja x 2 0 r 2 = y 2 0 m AB m AC = y2 0 y 2 0 = 1 7. Encontre a equação da reta tangente ao círculo C : x 2 + y 2 = 180 que tem inclinação 2. Solução Consideremos t : y = mx + k a equação da reta tangente procurada. Sendo 2 a inclinação desta reta temos t : y = 2x + k Seja Q = (a, b) o ponto de tangência (único ponto de interseção entre C e t). 6

7 A reta t é perpendicular à reta s que passa pelo centro C = (0, 0) de C e o ponto Q. Então s : y = 1 2 x e a = 2b Para determinar as coordenadas de Q, substituimos y = 1 x na equação 2 da circunferência C. Resulta que, x 2 + x2 = 0 então x = ±12 e assim Q 1 = (12, 6) e Q 2 = ( 12, 6) Determinemos k na equação da reta t : y = 2x + k. Substituindo as coordenadas de Q 1 (respectivamente Q 2 ) nesta equação obtemos k = 30 (respectivamente k = 30). Desta forma teremos duas retas tangentes satisfazendo as condições requeridas, t 1 : y = 2x 30 e t 2 : y = 2x + 30 conforme ilustrado no seguinte gráfico, 7

8 8. Mostrar que a circunferência x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 é tangente ao eixo y se e somente se c = b 2. Solução Consideremos a circunferência C de centro C = (h, k) e de raio R. C : (x h) 2 + (y k) 2 = R 2 Observemos que C é tangente ao eixo y se e somente se d 2 (C, y) = h 2 (= R 2 ) Completando quadrados na equação dada podemos escrever, ou seja, Então, C : x 2 + ax + a2 + y2 + by + b2 a2 = c + + b2 C : (x + a 2 )2 + (y + b 2 )2 = a2 + b 2 c C é tangente ao eixo y d 2 (C, y) = ( a) 2 a 2 + b 2 c = 2 a2 = a2 + b 2 c c = b 2 9. Esboce o gráfico de seguinte subconjunto do plano D = {(x, y) R 2 : (x 2) 2 + (y 3) 2 } Solução O gráfico do conjunto C = {(x, y) R 2 : (x 2) 2 + (y 3) 2 = } é a circunferência de centro C = (2, 3) e raio 2 a qual divide o plano em duas regiões, uma interior e outra exterior à circunferência. Para determinar qual região corresponde ao conjunto D, consideramos um ponto que não esteja sobre C, digamos P = (1, 2) o qual ao ser substituído na inequação que define D da lugar a a qual é verdadeira. (1 2) 2 + (2 3) 2 = 2 8

9 Assim D está formada por C e o interior de C, conforme ilustrado no seguinte grafico, 10. Determinar a equação da circunferência cuyo centro é o ponto de interseção das retas x 2y + 13 = 0 e 2x + 7y 29 = 0 e cujo raio é a distância desse ponto à reta 3x y + = Uma corda da circunferência x 2 + y 2 = 25 está sobre a reta L : x 7y + 25 = 0 Determinar o comprimento da corda. 12. A equação de uma circunferência é x 2 + y 2 = 50. O ponto médio de uma corda desta circunferência é M = ( 2, ). Determinar a equação da reta suporte da corda. 13. As abcissas dos pontos A e B são as raizes de x 2 + 2ax b 2 = 0 e suas ordenadas são as raizes de x 2 + 2px q 2 = 0. Determinar o raio da circunferência que tenha AB como diámetro. 9

10 1. Determinar, caso existam, os pontos de interseção entre (a) A reta x + y + 5 = 0 e a circunferência x 2 + y 2 2x y = 0. (b) A reta 3x y+ = 0 e a circunferência x 2 +y 2 16x 1y+88 = 0. (c) A reta 3x+2y 12 = 0 e a circunferência x 2 +y 2 +8x+2y 35 = 0. Esboce, em cada caso os gráficos da reta e da circunferência. 15. Considere o triângulo de vértices A = ( 1, 0), B = (2, 9/) e C = (5, 0). Determinar (a) A equação da circunferência cujo centro é A e que seja tangente ao lado BC. (b) A equação da circunferência inscrita no triângulo ABC. (c) A equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. 16. Determinar a equação da circunferência cujo centro está sobre o eixo x e que passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (, 6). 17. Se P 1 = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) são os extremos de uma corda da circunferência C : x 2 + y 2 = R 2 mostrar que a reta que passa pelo ponto médio de P Q e o centro de C é perpendicular à corda dada. 18. Determinar a equação de uma circunferência que passa pelos pontos A = ( 3, 3) e B = (1, ) e cujo centro está sobre a reta 3x 2y 23 = A equação de uma circunferência é C : (x ) 2 + (y 3) 2 = 20. Determinar a equação da reta tangente à C no ponto P = (6, 7). Esboce o gráfico. 20. A equação de uma circunferência é C : (x+2) 2 +(y 3) 2 = 5. Determinar as equa ções das retas tangentes à C que passam pelo ponto P = (3, 3). Esboce o gráfico. 21. Determinar a equação de uma circunferência que passa pelo ponto A = (7, 5) e é tangente à reta x y = 0 no ponto B = (3, 1). 22. Determinar a equação de uma circunferência cujo centro está sobre a reta 6x + 7y 16 = 0 e é tangente as retas 8x + 15y + 7 = 0 e 3x y

11 23. Considere a e b números inteiros tais que 3a 2b = 0. Seja C : 36x y 2 + ax + by 23 = 0 uma circunferência de raio 1 cujo centro P está no segundo quadrante e sejam Q, R as interseções de C e o eixo y. Determinar a área do triângulo P QR. 2. Considere C uma circunferência de raio 1 tangente ao eixo x e a reta y = x. Seja C = (h, k); h > 0, k > 0 o centro de C. Determine o valor inteiro mais próximo de h. 25. Determinar a maior e a menor distancia entre um ponto da circunferência (x 2) 2 + (y 3) 2 = 1 e a origem de coordenadas. 26. Achar a equação da circunferência inscrita no quadrado x + y = Na figura, as retas r e s são tangentes comuns às circunferências x 2 + y 2 1x + 6y + 33 = 0 e x 2 + y x 2y + 1 = 0 Determinar as equações de r e s. 11