DO MITO DA GEOMETRIA EUCLIDIANA AO ENSINO DAS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS - A EXPERIÊNCIA NO IFFLUMINENSE CAMPUS CAMPOS-CENTRO
|
|
- Suzana Beppler Taveira
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 DO MITO DA GEOMETRIA EUCLIDIANA AO ENSINO DAS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS - A EXPERIÊNCIA NO IFFLUMINENSE CAMPUS CAMPOS-CENTRO Mylane dos Santos Barreto Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Cajazeiras - FAFIC Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense Campus Campos-Centro mylanebarreto@yahoo.com.br Salvador Tavares Universidade Santa Úrsula - USU Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense Campus Campos-Centro saltavares@terra.com.br Resumo: Das tentativas frustradas de provar que o quinto postulado de Euclides era um teorema, surgiram as Geometrias Não Euclidianas. Com os quatro primeiros postulados de Euclides e a negação do quinto, surgiram outras geometrias cujos postulados são possíveis em modelos planos que são tão consistentes quanto o da Geometria Euclidiana. Neste trabalho são apresentados os modelos e postulados da Geometria Elíptica e da Geometria Hiperbólica. Além disso, é discutido o ensino dessas geometrias. Palavras-chave: Geometria Euclidiana; Quinto postulado de Euclides; Ensino e Aprendizagem de Geometrias Não Euclidianas. ENSINO DE GEOMETRIAS Um dos tópicos de discussão da atualidade é a reformulação do ensino no Brasil. As Geometrias Não Euclidianas formam um ramo da matemática importante do ponto de vista histórico e educacional. Se os menos otimistas acreditam que não é possível a inclusão do ensino das Geometrias Não Euclidianas na Educação Básica, pelo menos ela deveria ser apresentada a todos os professores em formação. Porém, isso não ocorre na realidade. Usiskin (1994, p. 25) já alertava que muitos professores novos nunca estudaram geometria tridimensional, talvez nunca tenham tomado conhecimento de uma Geometria Não Euclidiana nem lidado com transformações ou vetores. Uma pesquisa foi elaborada no ano de 2005, como parte integrante da monografia de conclusão do curso de Licenciatura em Matemática do CEFET Campos intitulada Do Mito da Geometria Euclidiana ao Ensino das Geometrias Não Euclidianas (BARRETO, 2005). 1
2 A pesquisa foi realizada em sites de diversas Instituições de Ensino Superior brasileiras, a fim de verificar o estado da arte do ensino das Geometrias Não Euclidianas nos cursos de Licenciatura em Matemática. De 43 Instituições pesquisadas, somente 5 abordavam conceitos de Geometrias Não Euclidianas nas suas matrizes curriculares, aproximadamente 12%. Tal pesquisa foi refeita em fevereiro de Das 227 Instituições pesquisadas, 61 não disponibilizavam, no site oficial, a grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática. Das 166 Instituições restantes apenas 12 apresentavam, na matriz curricular, alguma disciplina cujo título evidencia o estudo de Geometrias Não Euclidianas, 06 com disciplinas obrigatórias e 06 com disciplinas optativas ou eletivas. Aproximadamente 7% das 166 Instituições formam professores que sabem da existência de outras geometrias além da euclidiana. Os dados sugerem a omissão de disciplinas que abordem tópicos de Geometrias Não Euclidianas em Cursos de Licenciatura em Matemática. COMO SURGIRAM AS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS As Geometrias Não Euclidianas surgiram das tentativas frustradas de provar que o quinto postulado de Euclides era um teorema demonstrado a partir dos quatro postulados anteriores, e não um postulado. Euclides viveu, provavelmente, de a.c., nasceu na Síria, estudou na escola platônica de Atenas e ensinou matemática no Museu de Alexandria. Foi um dos primeiros geômetras e é reconhecido como um dos matemáticos mais importantes de todos os tempos. A obra de Euclides, denominada Elementos, é um conjunto de 13 livros escritos entre os anos de 330 e 320 a.c. sendo considerada padrão para a matemática durante mais de 2000 anos e só superada, em número de publicações, pela Bíblia. Poucos dos teoremas demonstrados lá são obra sua, se é que existe algum. O verdadeiro mérito de Euclides está na proposta de ordenação da Geometria de seu tempo em um sistema dedutivo. Para estabelecer uma afirmação num sistema dedutivo deve-se mostrar que essa afirmação é uma conseqüência lógica necessária de algumas afirmações previamente 2
3 estabelecidas. Assim, as primeiras afirmações são aceitas sem demonstração e chamadas, nos dias atuais, de postulados ou axiomas. Desses axiomas decorrem as demais afirmações. Euclides definiu como axiomas as afirmações aceitas em todas as ciências e como postulados as afirmações de natureza geométrica. As dez afirmações classificadas como postulados e axiomas são os pilares para a obra de Euclides, pois as 465 proposições apresentadas nos Elementos são baseadas nestas afirmações. AXIOMAS A1 - Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si. A2 - Se iguais são somados a iguais, então os todos são iguais. A3 - Se iguais são subtraídos a iguais, então os restos são iguais. A4 - Coisas que coincidem entre si são iguais entre si. A5 - O todo é maior do que a parte. POSTULADOS P1 - Pode-se traçar uma linha reta de um ponto a outro ponto qualquer. P2 - Pode-se prolongar uma linha reta indefinidamente a partir de uma reta finita. P3 - Pode-se traçar um círculo com centro e raio dados. P4 - Todos os ângulos retos são iguais. P5 - Se uma linha reta encontra duas outras retas e com elas formam, de um mesmo lado, ângulos internos em que a soma é menor que dois ângulos retos, então, essas duas retas encontrar-se-ão no lado em que formam ângulos cuja soma é menor que dois ângulos retos. O quinto postulado, chamado de postulado das paralelas, foi o ponto culminante do surgimento das Geometrias Não Euclidianas. Por esse postulado não ser tão evidente como os quatro anteriores e por se referir a um ponto de intersecção que pode estar a quilômetros de distância, alguns afirmavam que ele podia ser demonstrado, portanto não seria um postulado e sim um teorema. Segundo Boyer (1974, p. 397), em 1829, em uma espécie de jornal chamado Mensageiro de Kazan, Nicolai Ivanovich Lobatschewsky publicou um artigo chamado 3
4 Sobre os Princípios de Geometria. Esse ano ficou marcado como o do surgimento das Geometrias Não Euclidianas. Aproximadamente em 1829, Janos Bolyai chegou à mesma conclusão a que Lobatschewsky chegara. Em 1851, na sua aula inaugural para admissão como professor-adjunto na Universidade de Göttingen, Georg Riemann apontou possibilidades para outras geometrias. Segundo Boyer (1974, p. 401) o matemático alemão Félix Klein chamou a Geometria de Lobatschewsky de Geometria Hiperbólica e a Geometria de Riemann de Geometria Elíptica. Essas são as duas principais Geometrias Não Euclidianas. Daí, Lobatschewsky, Bolyai e Riemann demonstraram que o quinto postulado de Euclides se trata de um axioma independente dos outros quatro, supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas. Foi demonstrado que, se alguma das Geometrias Não Euclidianas apresentar uma contradição, a própria Geometria Euclidiana será contraditória. Essas novas geometrias permitiram às ciências uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein, provando que, ao contrário do que muitos afirmavam, essas teorias tinham aplicações teóricas. PLANOS E RETAS DAS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS Na Geometria Elíptica o modelo plano é uma superfície esférica e as retas são geodésicas dessa superfície (Figura 1). As geodésicas da superfície esférica são circunferências cujo centro coincide com o centro da superfície. Na Geometria Hiperbólica o modelo plano é uma superfície chamada de pseudo-esfera (Figura 2). Essa superfície é gerada por meio da revolução de uma curva chamada tratriz em torno do seu eixo horizontal. As retas da Geometria Hiperbólica são geodésicas da pseudo-esfera. Figura 1: Plano e retas elípticos Fonte: Autores Figura 2: Pseudo-esfera Fonte: Autores 4
5 QUINTO POSTULADO DAS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS As Geometrias Elíptica e Hiperbólica admitem os quatro primeiros postulados de Euclides e substituem o quinto por outras afirmações que são válidas nos seus modelos planos. Quinto postulado da Geometria Elíptica: Por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a essa reta (Figura 3). Todas as retas traçadas irão intersectar-se em dois pontos distintos, logo não existem retas paralelas. Comparando a superfície esférica com a superfície terrestre, as retas seriam os meridianos que se intersectam nos pólos. Quinto postulado da Geometria Hiperbólica: Por um ponto exterior a uma reta podemos traçar uma infinidade de paralelas a essa reta (Figura 4). Sobre a reta r traçamos um segmento MP e FT perpendicular a r, sendo M e F pontos da reta r. Com a distância MF e centro em P traçamos um arco que Figura 3: retas não paralelas Fonte: Autores P M r T S 1 S 2 a F b Figura 4: retas paralelas Fonte: Autores intersectará o segmento FT nos pontos S 1 e S 2. Daí, os pontos P e S 1 determinam a reta a e os pontos P e S 2 determinam a reta b. ENSINO DE GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS NA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DO IFFLUMINENSE A seguir faremos um relato da experiência da disciplina Introdução às Geometrias Não Euclidianas no curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense - IFFluminense. 5
6 A disciplina em questão foi incluída na matriz curricular do curso de Licenciatura em Matemática do IFF no primeiro semestre de 2008 a partir do trabalho dos autores, sendo a necessidade dessa inclusão reconhecida pelo Colegiado do curso. A carga horária da disciplina é de 3 horas semanais, ministrada durante um semestre, perfazendo um total de 60 horas. O objetivo principal é despertar no professor em formação a descoberta e desenvolvimento das Geometrias Não Euclidianas, bem como apresentar seus conceitos e postulados. As Geometrias Não Euclidianas abordadas nas aulas são as duas mais conhecidas, a Geometria Hiperbólica e a Geometria Elíptica. As Geometrias Não Euclidianas adotam os quatro primeiros postulados de Euclides e seu surgimento tem ligação direta com a contestação do quinto postulado de Euclides. Por isso, nas aulas iniciais os professores em formação são apresentados a um mundo cheio de histórias e indagações. É importante que conheçam a localização histórica e temporal dos acontecimentos para compreender as ações que levaram ao surgimento das Geometrias Não Euclidianas. Assim, cada professor em formação recebe uma apostila que contém um relato da origem da Geometria Euclidiana, o plano da obra de Euclides, os axiomas e postulados de Euclides, proposições equivalentes ao quinto postulado, a contribuição de Saccheri, as tentativas de demonstração do quinto postulado e a história da origem das Geometrias Não Euclidianas. A Geometria Elíptica tem como modelo plano a superfície de uma esfera e a Geometria Hiperbólica a superfície de uma pseudo-esfera. Por considerar que o modelo plano da Geometria Elíptica tem uma relação mais próxima com os professores em formação pelo fato de a Terra ter o formato aproximado de uma esfera e por a pseudoesfera ser um sólido pouco conhecido a Geometria Elíptica é a primeira Geometria Não Euclidiana a ser estudada na disciplina. Durante as aulas são usados materiais concretos para representar os modelos planos das duas Geometrias Não Euclidianas abordadas, isso facilita a visualização de propriedades e características. Para representar o modelo plano da Geometria Esférica são usadas bolas de isopor. As retas dessas geometrias são representadas na bola de isopor por linhas, borrachas ou traçadas com caneta hidrocor. 6
7 De posse da apostila que contém a definição do modelo plano, de reta e ponto, os postulados, conceito de distância entre dois pontos, retas perpendiculares, quadrilátero de Saccheri, quadrilátero de Lambert, soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo na Geometria Elíptica os alunos acompanham a explicação de todos esses conceitos através de projeções com os principais trechos da apostila usando um projetor multimídia. O software Calques3D, desenvolvido pelo professor Nicolas Van Labeke da Universidade de Edinburgh na Inglaterra, é um software de geometria dinâmica espacial gratuito. As construções feitas com o Calques 3D são dinâmicas e interativas. O usuário pode deslocar as construções feitas no software sem alterar as suas propriedades, além de usufruir de vários ângulos de visualização, permitindo assim que o usuário tenha uma melhor percepção tridimensional. O software Calques3D é usado no momento da abordagem do conceito de geodésica para exemplificar circunferências máximas e para deduzir que o comprimento de arcos de circunferências máximas será a menor distância entre dois pontos da superfície esférica. O software Winplot, desenvolvido Professor Richard Parris, da Philips Exeter Academy, é um software que permite ao usuário a plotagem de gráficos. Tal software apresenta plataforma bidimensional e tridimensional. O software Winplot é usado para apresentar modelos de circunferências que não são consideradas retas na Geometria Elíptica e abrir uma discussão sobre a inconsistência da Geometria Euclidiana na superfície terrestre. É definido o conceito de polo de uma reta elíptica e retas perpendiculares. Uma bola de isopor é usada para recriar, no plano elíptico, a demonstração que prova que os ângulos do topo do quadrilátero de Saccheri são congruentes e obtusos. A demonstração de que a soma dos ângulos internos de um triângulo elíptico é maior do que 180º apresentada na apostila e auxiliada com a construção do triângulo na plataforma do software Calques3D. Uma destas construções apresenta dois pontos C e D sobre uma superfície esférica e uma geodésica que passa por esses dois pontos com polos nos pontos A e A. São traçadas outras duas geodésicas, uma que passa pelos pontos A e C e outra por A e D. Por passarem pelos polos da reta CD essas duas últimas retas são 7
8 perpendiculares a ela. Assim, é formado um triângulo elíptico ACD com dois ângulos retos e o terceiro ângulo podendo variar entre 0º e 360º. É demonstrado que a menor distância entre dois pontos sobre uma superfície esférica é dada pelo comprimento do menor arco de uma geodésica que passa por tais pontos. São resolvidos exercícios de aplicação que envolvem distância entre cidades, funcionamento do Sistema de Posicionamento Global (GPS), coordenadas geográficas e coordenadas cartesianas. O modelo plano da Geometria Hiperbólica é a superfície de uma pseudo-esfera, que é gerada pela revolução de uma curva chamada tratriz em torno do seu eixo horizontal. Utilizando o software Winplot é possível traçar uma tratriz e obter uma pseudoesfera. Além disso, uma pseudo-esfera feita de cerâmica é usada nas aulas para facilitar a visualização de propriedades e do traçado das geodésicas. Segundo Coutinho (2001, p. 41), existem dois modelos para representação dos conceitos da Geometria Hiperbólica no plano euclidiano: um formulado por Henri Poincaré e outro por Félix Klein. Nestes modelos as retas são semicircunferência euclidianas ou cordas de uma circunferência euclidiana. No modelo de Poincaré da Geometria Hiperbólica uma reta horizontal u divide o plano euclidiano em duas partes: um semiplano superior e um semiplano inferior. A reta u não pertence a nenhum dos semiplanos. Os pontos do plano hiperbólico são pontos do semiplano euclidiano superior determinados por u. As retas do plano hiperbólico são as semicircunferências abertas euclidianas com centros em u e situadas no semiplano superior de u juntas com as semirretas superiores perpendiculares a u. O modelo de Klein do plano hiperbólico é um círculo da Geometria Euclidiana, excluindo a circunferência. As retas deste plano são as cordas do círculo, excluindo suas extremidades. Utilizando o software Cabri Géometrè os professores em formação esboçam tais representações, traçam retas definidas por dois pontos e traçam as possíveis retas paralelas a uma reta dada. 8
9 Os professores observam que o ângulo de paralelismo é agudo e não é fixo e que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180º. É definido ponto ideal, ultra-ideal e hiperbólico, triângulo ordinário e ômega. É demonstrado que os ângulos do topo de um quadrilátero de Saccheri são congruentes e agudos. CONSIDERAÇÕES FINAIS É indiscutível a necessidade de se ensinar Geometrias Não Euclidianas, principalmente nos cursos de Licenciatura em Matemática. Seria possível um professor de matemática não saber que existem outras geometrias além da elaborada por Euclides? Uma sugestão de atividade que pode ser desenvolvida no Ensino Fundamental é relatada a seguir. Considerando que a noção de plano da Geometria Euclidiana é construída sobre a superfície da Terra, que tem a forma de uma esfera achatada nos polos, ao construirmos duas retas paralelas sobre a superfície de uma laranja, que tem a forma aproximadamente idêntica à da Terra, teremos a seguinte situação: Figura 6: Retas euclidianas paralelas na superfície da Terra Fonte: Autores Como mostra a sequência de figuras, as retas que são consideradas paralelas na Geometria Euclidiana, quando construídas numa superfície esférica, encontram-se em dois pontos distintos e a distância entre elas não é constante em qualquer ponto. Daí, a Geometria Euclidiana ser inconsistente para esse modelo de superfície. Os modelos planos são superfícies onde os postulados de dada geometria são verdadeiros. O modelo plano da Geometria Euclidiana é uma superfície plana, da Geometria Elíptica é uma superfície esférica e da Geometria Hiperbólica é uma pseudoesfera. A existência desses modelos mostra a independência do quinto postulado de Euclides, pois neles são válidos os quatro primeiros postulados de Euclides e a negação do 9
10 quinto. Assim o quinto postulado é totalmente independente dos quatro primeiros e não pode ser considerado um teorema. Não podemos considerar uma geometria. Todas são consistentes e válidas nos seus modelos planos. Devemos conhecê-las para poder utilizar no momento adequado. REFERÊNCIAS BARRETO, Mylane dos Santos. Do mito da Geometria Euclidiana ao ensino das Geometrias Não Euclidianas. Trabalho de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática do CEFET-Campos. Campos dos Goytacazes - RJ BOYER, Carl Bernjamin. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Universidade de São Paulo, COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias Não Euclidianas. Rio de Janeiro: Interciência, USISKIN, Zalman. Resolvendo os dilemas permanentes da geometria escolar. Aprendendo e Ensinando Geometria. Organizadores Mary Montgomery Lindquist, Albert P. Shulte. Tradução: Higino H. Domingues. São Paulo: Atual,
Do mito da Geometria Euclidiana ao ensino das Geometrias Não Euclidianas
Do mito da Geometria Euclidiana ao ensino das Geometrias Não Euclidianas From the myth of Euclidean Geometry to the teaching of Non-Euclidean Geometry MC3 Mylane dos Santos Barreto * Salvador Tavares **
Leia maisIntrodução às Geometrias Não Euclidianas na educação básica. Introduction to Nom-Euclidean Geometry in primary education
Introdução às Geometrias Não Euclidianas na educação básica Mylane dos Santos Barreto *, Salvador Tavares ** mylanebarreto@yahoo.com.br, saltavares@terra.com.br Resumo Das tentativas frustradas de provar
Leia maisUTILIZANDO O GEOGEBRA PARA CONSTRUÇÃO E EXPLORAÇÃO DE UM MODELO PLANO PARA A GEOMETRIA ELÍPTICA
UTILIZANDO O GEOGEBRA PARA CONSTRUÇÃO E EXPLORAÇÃO DE UM MODELO PLANO PARA A GEOMETRIA ELÍPTICA Valdeni Soliani Franco Luana Paula Goulart de Menezes vsfranco@uem.br ra61976@uem.br Universidade Estadual
Leia maisProfa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1
Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1 Aula 18: Euclides e Os Elementos 11/05/2015 2 Euclides século III a.c. Pouco se sabe sobre a personalidade de Euclides. Viveu provavelmente
Leia maisGeometria (euclidiana)
Geometria (euclidiana) Professor: jair.donadelli@ufabc.edu.br página da disciplina na web: http://professor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/geometria Professor: jair.donadelli@ufabc.edu.br MA13 Geometria
Leia maisMAT Geometria Euclidiana Plana. Um pouco de história
Geometria Euclidiana Plana Um pouco de história Prof a. Introdução Estudo axiomático da geometria estudada no ensino fundamental e médio, a Geometria Euclidiana Plana. Método axiomático (dedutivo): utilizado
Leia maisGeometria. Roberta Godoi Wik Atique
Geometria Roberta Godoi Wik Atique 1 Introdução A Geometria é uma ciência muito antiga. Conhecimentos geométricos não triviais já eram dominados no Egito antigo, na Babilônia e na Grécia. Na forma como
Leia maisUm pouco de história. Ariane Piovezan Entringer. Geometria Euclidiana Plana - Introdução
Geometria Euclidiana Plana - Um pouco de história Prof a. Introdução Daremos início ao estudo axiomático da geometria estudada no ensino fundamental e médio, a Geometria Euclidiana Plana. Faremos uso do
Leia maisA FORMA das coisas. Anne Rooney Por Margarete Farias Medeiros Geometria Plana/2017 IFC- Campus Avançado Sombrio
A FORMA das coisas Anne Rooney Por Margarete Farias Medeiros Geometria Plana/2017 IFC- Campus Avançado Sombrio A Geometria A Geometria - trabalhar com distâncias, áreas e volumes no mundo real foi uma
Leia maisA GEOMETRIA DO GLOBO TERRESTRE
Sumário A GEOMETRIA DO GLOBO TERRESTRE Grupo de Pesquisa em Matemática para o Ensino Médio GPMatEM Prof Luciana Martino: lulismartino@gmail.com Prof Marcos: profmarcosjose@gmail.com Prof Maria Helena:
Leia maisGeometrias Não Euclidianas. Zilmara Raupp de Quadros de Oliveira
Geometrias Não Euclidianas Zilmara Raupp de Quadros de Oliveira a) Quais os triângulos que vocês conhecem? Triângulo equilátero, o qual possui os três lados iguais; Triângulos isósceles, o qual possui
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS MAT GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I
LISTA DE EXERCÍCIOS MAT 230 - GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I 1. Numa geometria de incidência, o plano tem 5 pontos. Quantas retas tem este plano? A resposta é única? 2. Exibir um plano de incidência
Leia maisResolução de sistemas lineares com três equações e três incógnitas usando o software Calques3D
Resolução de sistemas lineares com três equações e três incógnitas usando o software Calques3D Resolution of linear systems with three equations and three unknowns using the software Calques3D CC2 Diego
Leia maisUTILIZANDO O GEOGEBRA PARA CONSTRUÇÃO DE MODELOS PLANOS PARA A GEOMETRIA HIPERBÓLICA
UTILIZANDO O GEOGEBRA PARA CONSTRUÇÃO DE MODELOS PLANOS PARA A GEOMETRIA HIPERBÓLICA Karla Aparecida Lovis Valdeni Soliani Franco karlalovis@gmail.com vsfranco@uem.br Universidade Estadual de Maringá -
Leia maisAxiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das paralelas Axiomas de Continuidade
1 GEOMETRIA PLANA Atualizado em 04/08/2008 www.mat.ufmg.br/~jorge Bibliografia 1. Pogorélov, A.V. Geometria Elemental Editora Mir. 2. Dolce, Osvaldo e Nicolau, Pompeu Geometria Plana Volume 9 da Coleção
Leia maisUma breve história da Geometria Diferencial (até meados do s
Uma breve história da Geometria Diferencial (até meados do século XIX) 29 de novembro de 2006 Os postulados de Euclides ( 300 a.c.) Os postulados de Euclides ( 300 a.c.) 1- Dois pontos distintos determinam
Leia maisDa Geometria Euclidiana à Teoria da Relatividade Geral
Da Geometria Euclidiana à Teoria da Relatividade Geral Euclides (séc. III a.c.) Nascido no século III antes de Jesus Cristo, Euclides deixou nos uma obra que já perdura à mais de dois milénios. Esta obra
Leia maisA matemática atrás da arte de M. C. Escher
A matemática atrás da arte de M. C. Escher Katrin Gelfert (IM-UFRJ) Oktobermat, PUC-Rio, 2015 (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 1 / 20 (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática
Leia maisO V postulado de Euclides Romildo da Silva Pina - IME - UFG
O V postulado de Euclides Romildo da Silva Pina - IME - UFG Resumo: Apresentamos neste trabalho algumas versões equivalentes ao quinto postulado de Euclides, que surgiram ao longo dos anos, na tentativa
Leia maisEscola Básica e Secundária da Graciosa. Matemática 9.º Ano Axiomatização das Teorias Matemáticas
Escola Básica e Secundária da Graciosa Matemática 9.º Ano Axiomatização das Teorias Matemáticas Proposição Expressão que traduz uma afirmação e à qual se pode associar um e um só dos valores verdadeiro
Leia maisDOS FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA À GEOMETRIA HIPERBÓLICA PLANA: UM ESTUDO A PARTIR DE SUA HISTÓRIA E APOIADO EM UM SOFTWARE
na Contemporaneidade: desafios e possibilidades DOS FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA À GEOMETRIA HIPERBÓLICA PLANA: UM ESTUDO A PARTIR DE SUA HISTÓRIA E APOIADO EM UM SOFTWARE Mariana de Avelar Galvino Lima Universidade
Leia maisLógica Proposicional Parte 3
Lógica Proposicional Parte 3 Nesta aula, vamos mostrar como usar os conhecimentos sobre regras de inferência para descobrir (ou inferir) novas proposições a partir de proposições dadas. Ilustraremos esse
Leia maisFigura 1 Disco de Poincaré
9 Geometria hiperbólica no software NonEuclid Introdução Karolina Barone Ribeiro da Silva Universidade Estadual do Centro - Oeste UNICENTRO As Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná
Leia maisA Geometria do Planeta Terra
A Geometria do Planeta Terra No âmbito da iniciativa Matemática do Planeta Terra 2013, a Associação Atractor e o Núcleo do Porto da Associação de Professores de Matemática propõem a realização de um conjunto
Leia maisUMA COMPARAÇÃO CRÍTICA ENTRE A GEOMETRIA EUCLIDIANA E AS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS: PERSPECTIVA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA
UMA COMPARAÇÃO CRÍTICA ENTRE A GEOMETRIA EUCLIDIANA E AS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS: PERSPECTIVA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA Resumo Autor: Willian José da Cruz 1 Instituição: Uniban E-mail: Lukinha@barbacena.com.br
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (9º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS ... 1º PERÍODO. Medidas de localização
ANO LETIVO 2017/2018... 1º PERÍODO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (9º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS Metas Curriculares Conteúdos Aulas Previstas Medidas de localização
Leia maisA Geometria Euclidiana
A Geometria Euclidiana Euclides foi um dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Não se sabe com certeza a data do seu nascimento, talvez tenha sido por volta do ano 35 antes de Cristo. Sabe-se que
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA:
ANO LETIVO 2016/2017 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (9º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º PERÍODO - (15 de setembro a 16 de dezembro) Metas Curriculares Conteúdos Aulas
Leia maisGeometria Descritiva 28/08/2012. Elementos Primitivos da Geometria
Geometria Descritiva Prof. Luiz Antonio do Nascimento ladnascimento@gmail.com www.lnascimento.com.br A Geometria, como qualquer outra ciência, fundamenta-se em observações e experiências para estabelecer
Leia maisGEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA
GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO; PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS; POSIÇOES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA POSIÇÕES RELATIVAS DE PONTO E PLANO POSIÇÕES
Leia maisO USO DO GEOGEBRA NA INVESTIGAÇÃO DA GEOMETRIA ELÍPTICA. Celina A. A. P. Abar Pontifícia Universidade Católica de São Paulo- Brasil
O USO DO GEOGEBRA NA INVESTIGAÇÃO DA GEOMETRIA ELÍPTICA Celina A. A. P. Abar abarcaap@pucsp.br Pontifícia Universidade Católica de São Paulo- Brasil Tema: Uso de tecnologías. Modalidad: Taller (TA) Nivel
Leia maisGeometria Descritiva. Geometria Descritiva. Geometria Descritiva 14/08/2012. Definição:
Prof. Luiz Antonio do Nascimento ladnascimento@gmail.com www.lnascimento.com.br Origem: Criada para fins militares (projeto de fortes militares) para Napoleão Bonaparte pelo matemático francês Gaspar Monge.
Leia maisMetas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Competências/Conceitos Número de Aulas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática ANO: 9.º Planificação (Conteúdos)... Período Letivo: 1.º Metas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Competências/Conceitos Número de Aulas Números
Leia maisPLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 9.º ANO
DE MATEMÁTICA 9.º ANO Ano Letivo 2015 2016 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de reconhecer propriedades da relação de ordem em, definir intervalos de números reais
Leia mais5-Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula): Geometria Euclidiana
PLANO DE AULA Dados de identificação 1-E.E.B.NORMÉLIO CUNHA Município: Sombrio- SC Disciplina: Matemática Série : 3º ano Nível: Ensino Médio Turma: única Professora: Zilmara Raupp de Quadros de Oliveira
Leia maisGeometria Espacial de Posição
Geometria Espacial de Posição Prof.: Paulo Cesar Costa www.pcdamatematica.com Noções primitivas POSTULADOS Postulados da existência Numa reta e fora dela existem infinitos pontos. Num plano e fora dele
Leia maisMetas Curriculares do Ensino Básico Matemática 3.º Ciclo. António Bivar Carlos Grosso Filipe Oliveira Maria Clementina Timóteo
Metas Curriculares do Ensino Básico Matemática 3.º Ciclo António Bivar Carlos Grosso Filipe Oliveira Maria Clementina Timóteo Geometria e Medida 3.º ciclo Grandes temas: 1. Continuação do estudo dos polígonos
Leia maisAgrupamento de Escolas Eugénio de Castro Escola Básica de Eugénio de Castro Planificação Anual
CONHECIMENTO DE FACTOS E DE PROCEDIMENTOS. RACIOCÍNIO MATEMÁTICO. COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Reconhecer propriedades da relação de ordem em IR. Definir intervalos de números reais.
Leia maisO despreparo dos docentes deve-se, em muito, ao fato de a Geometria não estar contemplada adequadamente nos programas de formação de professores.
1 INTRODUÇÃO O ensino de Matemática vem sendo alvo de críticas e classificado como deficiente pelos órgãos governamentais, constatado nos exames nacionais de Cursos em todos os níveis no Brasil. O país
Leia maisPlano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso Licenciatura em Matemática. Ênfase. Disciplina A - Geometria Plana
Curso 1503 - Licenciatura em Matemática Ênfase Identificação Disciplina 0007203A - Geometria Plana Docente(s) Luiz Henrique da Cruz Silvestrini Unidade Faculdade de Ciências Departamento Departamento de
Leia maisGEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL
GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL .. PARALELEPÍPEDOS RETÂNGULOS Um paralelepípedo retângulo é um prisma reto cujas bases são retângulos. AB CD A' B' C' D' a BC AD B' C' A' D' b COMPRIMENTO LARGURA AA' BB' CC'
Leia maisGEOMETRIA DO TAXI: ALGUMAS DISCUSSÕES COM VISTAS À FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 1. Fernando Gasparin Fabrin 2.
GEOMETRIA DO TAXI: ALGUMAS DISCUSSÕES COM VISTAS À FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 1 Fernando Gasparin Fabrin 2. 1 Trabalho de pesquisa em sala de aula 2 Sou aluno do curso de Licenciatura em Matemática,
Leia mais9.º Ano. Planificação Matemática 16/17. Escola Básica Integrada de Fragoso 9.º Ano
9.º Ano Planificação Matemática 1/17 Escola Básica Integrada de Fragoso 9.º Ano Funções, sequências e sucessões Álgebra Organização e tratamento de dados Domínio Subdomínio Conteúdos Objetivos gerais /
Leia maisPLANIFICAÇÃO ANUAL Programa e Metas de Aprendizagem, apoiado pelas novas Orientações de Gestão para o Ensino Básico S- DGE/2016/3351 DSDC
Matemática /9º ano Página 1 de 9 Documentos Orientadores: PLANIFICAÇÃO ANUAL Programa e Metas de Aprendizagem, apoiado pelas novas Orientações de Gestão para o Ensino Básico S- DGE/2016/3351 DSDC Números
Leia maisU. E. PROF. EDGAR TITO - Turma: 2º ano A Prof. Ranildo Lopes Obrigado pela preferência de nossa ESCOLA!
1 U. E. PROF. EDGAR TITO - Turma: 2º ano A Prof. Ranildo Lopes Obrigado pela preferência de nossa ESCOLA! http://ueedgartito.wordpress.com RESUMO DE GEOMETRIA ESPACIAL São conceitos primitivos ( e, portanto,
Leia maisAGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL. Documento(s) Orientador(es): Programa e Metas Curriculares
AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL Documento(s) Orientador(es): Programa e Metas Curriculares 3º CICLO MATEMÁTICA 9ºANO TEMAS/DOMÍNIOS CONTEÚDOS OBJETIVOS
Leia maisMATEMÁTICA. Geometria Espacial
MATEMÁTICA Geometria Espacial Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Geometria Espacial Conceitos primitivos São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os
Leia maisAGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2017/2018 PLANIFICAÇÃO ANUAL. Documento(s) Orientador(es): Programa e Metas Curriculares
AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 017/018 PLANIFICAÇÃO ANUAL Documento(s) Orientador(es): Programa e Metas Curriculares TEMAS/DOMÍNIOS CONTEÚDOS OBJETIVOS TEMPO (45 ) 3º CICLO MATEMÁTICA
Leia maisMAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios
MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios Prof. Paulo F. Leite agosto de 2009 1 Problemas de Geometria 1. Num triângulo isósceles a mediana, a bissetriz e a altura relativas à base coincidem. 2. Sejam A e
Leia maisGEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS: O QUE DIZEM AS PESQUISAS REALIZADAS?
GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS: O QUE DIZEM AS PESQUISAS REALIZADAS? G2 Tecnologias da Informação e Comunicação Nierge Maria Costa da Silva (MA) niergecosta@yahoo.com.br Prof. Dra. Celina A. A. P. Abar abarcaap@pucsp.br
Leia maisCONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 2 1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 1.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras
Leia maisAinda Sobre o Teorema de Euler para Poliedro Convexos
1 Introdução Ainda Sobre o Teorema de Euler para Poliedro Convexos Elon Lages Lima Instituto de M atemática Pura e Aplicada Estr. D. Castorina, 110 22460 Rio de Janeiro RJ O número 3 da RPM traz um artigo
Leia maisGEOMETRIA DE POSIÇÃO
GEOMETRIA DE POSIÇÃO 1- Conceitos primitivos 1.1- Ponto Não possui dimensão. Representado por letras maiúsculas. A B C 1.2 - Reta É unidimensional, possuindo comprimento infinito. Não possui largura ou
Leia maisCírculos ou circunferências
Círculos ou circunferências O terceiro postulado de Euclides diz que é possível traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. Com os nossos axiomas, este postulado é simplesmente uma consequência.
Leia maisAGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2016/2017
AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM 3º CICLO Ano Letivo 2016/2017 MATEMÁTICA 9ºANO PLANIFICAÇÃO ANUAL Documento(s) Orientador(es): Programa e Metas Curriculares, apoiado pelas novas Orientações
Leia maisMATEMÁTICA - 3o ciclo Lugares geométricos (9 o ano) Propostas de resolução
MATEMÁTICA - 3o ciclo Lugares geométricos (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como a superfície esférica tem centro no ponto V e contém o ponto A, então
Leia maisUm Texto de Geometria Hiperbólica
Um Texto de Geometria Hiperbólica Inedio Arcari Orientador: Prof. Dr. EDSON AGUSTINI Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL TUTOR: PROF.DR. DANIEL CORDEIRO DE MORAIS FILHO ANÁLISE
Leia maisRevisão de Círculos. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff
Revisão de Círculos Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff 2017.2 1 Definição Circunferência é uma figura geométrica formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixado no plano.
Leia maisAula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular
MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 Complementos Apresentamos esta aula em forma de Exercícios Resolvidos, mas são resultados importantes que foram omitidos na primeira aula que tratou de Conceitos Básicos. Exercício
Leia maisMatemática. Nesta aula iremos aprender as. 1 Ponto, reta e plano. 2 Posições relativas de duas retas
Matemática Aula 5 Geometria Plana Alexandre Alborghetti Londero Nesta aula iremos aprender as noções básicas de Geometria Plana. 1 Ponto, reta e plano Estes elementos primitivos da geometria euclidiana
Leia maisINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E tecnologia PARAÍBA. Ministério da Educação
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E tecnologia PARAÍBA Ministério da Educação Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba - Campus Cajazeiras Diretoria de Ensino / Coord. do Curso
Leia maisConceitos Primitivos: são conceitos adotados sem definição.
Geometria Plana Geometria Espacial Conceitos Primitivos: são conceitos adotados sem definição. 1. Ponto P Características: Não possui dimensão Sua representação geométrica é indicada por letra maiúscula
Leia maisCurso: Engenharia Disciplina: Desenho Técnico Prof.ª Me. Aline Ribeiro CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 1. DESENHO GEOMÉTRICO
1 Curso: Engenharia Disciplina: Desenho Técnico Prof.ª Me. Aline Ribeiro CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 1. DESENHO GEOMÉTRICO 1.1. O que é desenho geométrico Desenho Geométrico é o conjunto de técnicas utilizadas
Leia mais1-INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE - CAMPUS AVANÇADO SOMBRIO
PLANO DE AULA Dados de identificação 1-INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE - CAMPUS AVANÇADO SOMBRIO Município: Sombrio, SC. Disciplina: Matemática Série : 3º Ano Nível: Ensino Médio Turma: 303 Professora: Édna
Leia maisAS CÔNICAS DE APOLÔNIO
Sociedade na Contemporaneidade: desafios e possibilidades AS CÔNICAS DE APOLÔNIO Arianne Alves da Silva Universidade Federal de Uberlândia arianne@mat.pontal.ufu.br Mirianne Andressa Silva Santos Universidade
Leia maisPrograma Analítico de Disciplina MAT250 Geometria Espacial
Catálogo de Graduação 016 da UFV 0 Programa Analítico de Disciplina Departamento de Matemática - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Número de créditos: Teóricas Práticas Total Duração em semanas:
Leia maisAFINAL, COMO SURGIRAM AS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS?
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PPGMAT MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA LUCAS FERREIRA GOMES AFINAL, COMO SURGIRAM AS GEOMETRIAS
Leia maisESCOLA E B 2,3/S MIGUEL LEITÃO DE ANDRADA - AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE PEDRÓGÃO GRANDE DEPARTAMENTO DAS CIÊNCIAS EXATAS 2016/2017
ESCOLA E B 2,3/S MIGUEL LEITÃO DE ANDRADA - AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE PEDRÓGÃO GRANDE DEPARTAMENTO DAS CIÊNCIAS EXATAS 2016/2017 PLANIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA 9ºANO 1º Período 2º Período 3º Período Apresentação,
Leia mais3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0.
Universidade Federal de Uerlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: Superfícies, Quádricas, Curvas e Coordenadas Professor Sato 4 a Lista de exercícios. Determinar
Leia maisGEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS E SUAS MÉTRICAS
GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS E SUAS MÉTRICAS Fernando da Costa Gomes (bolsista do PIBIC/UFPI), Newton Luís Santos (Orientador, Depto. de Matemática UFPI) RESUMO Neste trabalho, exibimos os modelos clássicos,
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos
Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos Gabarito da 1 a Prova de Geometria I - Matemática - Monica 08/05/2013 1 a Questão: (3 pontos) Dê uma prova
Leia maisLugares geométricos básicos I
Lugares geométricos básicos I M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT Definição Lugar Geométrico da propriedade P é o conjunto
Leia maisHewlett-Packard. Cilindros. Aulas 01 a 02. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hewlett-Packard Cilindros Aulas 01 a 02 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Sumário Cilindros... 1 Cilindro... 1 Elementos do cilindro... 1 O cilindro possui:... 1 Classificação... 1 O cilindro
Leia maisÂNGULOS. Ângulos no círculo
ÂNGULOS Ângulos no círculo A circunferência:. Diâmetro Semicircunferên cia Diâmetro - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência passando pelo centro. Raio - é o segmento de recta que une
Leia maisAula 31.1 Conteúdo: Fundamentos da Geometria: Ponto, Reta e Plano. FORTALECENDO SABERES CONTEÚDO E HABILIDADES DINÂMICA LOCAL INTERATIVA MATEMÁTICA
CONTEÚDO E HABILIDADES FORTALECENDO SABERES DESAFIO DO DIA Aula 31.1 Conteúdo: Fundamentos da Geometria: Ponto, Reta e Plano. 2 CONTEÚDO E HABILIDADES FORTALECENDO SABERES DESAFIO DO DIA Habilidades: Identificar
Leia maisConceitos básicos de Geometria:
Conceitos básicos de Geometria: Os conceitos de ponto, reta e plano não são definidos. Compreendemos estes conceitos a partir de um entendimento comum utilizado cotidianamente dentro e fora do ambiente
Leia maisGeometria Analítica. Geometria Analítica Geometria É importante compreender a geometria, para dar resposta a questões como: 15/08/2012
Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Geometria A Geometria é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA 4 Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II 4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas 4.2 Superfícies 4.2.1 Superfícies planas 4.2.2 Superfícies
Leia maisAula 24 mtm B GEOMETRIA ESPACIAL
Aula 24 mtm B GEOMETRIA ESPACIAL Entes Geométricos Ponto A T Reta r s Plano Espaço y α z x Entes Geométricos Postulados ou Axiomas Teorema a 2 = b 2 + c 2 S i =180 Determinação de uma reta Posições relativas
Leia maisVolume e Área de Superfície, Parte II
AULA 15 15.1 Introdução Nesta última aula, que é uma sequência obteremos o volume da esfera utilizando o Princípio de Cavalieri, e trataremos de idéias de área de superfície. Finalmente abordaremos o contéudo
Leia maisCONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES nível 1
Prof. Élio Mega ONSTRUÇÕES GEOMÉTRIS E DEMONSTRÇÕES nível 1 partir do século V a, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intimamente ligada à Geometria, conhecida como onstruções
Leia maisGeometria. Uma breve introdução
Geometria Uma breve introdução Etimologia Geometria, em grego antigo γεωμετρία, geo- "terra", -metria "medida Origem (lazer ou necessidade?) Geometria Euclidiana Euclides de Alexandria, matemático grego
Leia maisIntrodução à teoria de semigrupos
Introdução à teoria de semigrupos Paloma Elisa de Souza Andreia Malacarne E-mail: palomaelisa56@hotmail.com, andreiamalacarne@hotmail.com O presente trabalho consiste na apresentação de tópicos da Teoria
Leia maisCONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES nível 2
Prof. Élio Mega ONSTRUÇÕES GEOMÉTRIS E DEMONSTRÇÕES nível 2 partir do século V a, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intimamente ligada à Geometria, conhecida como onstruções
Leia maisPLANO DE CURSO DISCIPLINA: GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA E DESENHO GEOMÉTRICO PERÍODO: 2 O. DISCIP. OBRIGATÓRIA ( X )
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA COLEGIADO DO CURSO DE MATEMÀTICA PLANO DE CURSO DISCIPLINA: GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA E DESENHO GEOMÉTRICO PERÍODO: 2 O. DISCIP. OBRIGATÓRIA
Leia maisFORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA
1 FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA Fundação Cecierj/Consórcio CEDERJ. COLÉGIO ESTADUAL ESTEFÂNIA PEREIRA PINTO MATEMÁTICA 2º ANO- 4º BIMESTRE/ 2012 PLANO DE TRABALHO ESFERAS TAREFA 2 CURSISTA: MARCIA
Leia maisMATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA
MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 13 Circunferência e Círculo Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u
Leia maisPlanificação de Matemática 9º ano. Ano letivo: 2014/15
Planificação de 9º ano Ano letivo: 01/15 Unidades Tema Total de previstas Unidade 8 (8ºano) Sólidos Geométricos 1ºP Unidade 1 Probabilidades 65 Unidade Funções Unidade 3 Equações ºP Unidade Circunferência
Leia maisMinistério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ. Câmpus Curitiba PLANO DE ENSINO. CURSO Licenciatura em Matemática MATRIZ 845
Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Curitiba PLANO DE ENSINO CURSO Licenciatura em Matemática MATRIZ 845 FUNDAMENTAÇÃO LEGAL Resolução nº. 117/10-COEPP Reconhecimento:
Leia maisPolígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1
Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono
Leia maisÂngulos entre retas Retas e Planos Perpendiculares. Walcy Santos
Ângulos entre retas Retas e Planos Perpendiculares Walcy Santos Ângulo entre duas retas A idéia do ângulo entre duas retas será adaptado do conceito que temos na Geometria Plana. Se duas retas são concorrentes
Leia maisMATEMÁTICA. A é a matriz inversa de A.
MATEMÁTICA 41 - O estado do Paraná tem uma área de aproximadamente 200.000 km 2. Atualmente, em quatro milhões de hectares do estado se planta soja, sendo que um grão de soja ocupa um volume de 1 cm 3.
Leia maisELABORAÇÃO DE UM CADERNO DE ATIVIDADES PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS
ELABORAÇÃO DE UM CADERNO DE ATIVIDADES PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS Karolina Barone Ribeiro da Silva karolinabarone@.yahoo.com.br LINHA DE PESQUISA Educação Matemática nas séries
Leia maisPERFIL DO ALUNO APRENDIZAGENS ESPECÍFICAS - 5.ºANO
EB 2.3 DE SÃO JOÃO DO ESTORIL 2016/17 MATEMÁTICA PERFIL DO ALUNO PERFIL DO ALUNO APRENDIZAGENS ESPECÍFICAS - 5.ºANO /DOMÍNIOS NUMEROS E OPERAÇÕES NO5 GEOMETRIA E MEDIDA GM5 ALG5 ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO
Leia maisSistemas Estruturais IV
Sistemas Estruturais IV Cascas 1 Parabolóide Elíptico São arcos parabólicos de vãos e flechas variáveis, de modo que aumentam do extremo para o centro. 2 Parabolóide Elíptico A parabolóide é denominada
Leia maisCURSO: Licenciatura em Matemática TURMA: LM 2011/01_1ºSEM PROFESSOR: NÍCOLAS MORO MÜLLER PLANO DE ENSINO
CURSO: Licenciatura em Matemática TURMA: LM 2011/01_1ºSEM PROFESSOR: NÍCOLAS MORO MÜLLER PLANO DE ENSINO DISCIPLINA: 030362 Geometria Espacial DURAÇÃO: Semestral CARGA HORÁRIA TOTAL: 45 horas CARGA HORÁRIA
Leia maisV = 12 A = 18 F = = 2 V=8 A=12 F= = 2
Por: Belchior, Ismaigna e Jannine Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe
Leia mais