5-Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula): Geometria Euclidiana

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1 PLANO DE AULA Dados de identificação 1-E.E.B.NORMÉLIO CUNHA Município: Sombrio- SC Disciplina: Matemática Série : 3º ano Nível: Ensino Médio Turma: única Professora: Zilmara Raupp de Quadros de Oliveira Tempo previsto: 4 h.a. 2-Tema: Geometria Subtemas: Geometria não Euclidiana 3-Justificativa: Durante muitas anos se desenvolveu a ideia de que o mundo tivesse a forma de um grande plano, por conta desta ideia se desenvolveram os conceitos da geometria euclidiana. Esta forma de pensar a geometria acompanhou por muitos séculos o pensamento geométrico. A descoberta da existência de outras geometrias partirem exatamente da geometria euclidiana na tentativa de provar justamente o quinto postulado de Euclides levou a descoberta de geometrias cujos conceitos não se configuram sobre o plano de Euclides. Surge então uma nova concepção da Matemática geométrica em que se pode olhar o mundo não apenas como um imenso plano. A descoberta das geometrias não euclidianas apesentou ferramentas que proporcionam resoluções de situações que em rotas de embarcações, aviões sobre a superfície terrestre, e assim podemos, por exemplo, visualizar e calcular as distâncias entre cidades, estados no globo terrestre. 4-Objetivos: - Visualizar as diferenças das figuras nas diferentes geometrias (Euclidiana e Não Euclidiana); - Identificar os diferentes planos referentes às diferentes geometrias; - Definir geometria não Euclidiana; - Construir figuras geométricas na geometria não Euclidiana; - Visualizar os ângulos formados pelas figuras geométricas dentro da Geometria não Euclidiana; - Relacionar os espaços da geometria não euclidiana aos planos de voos e navegação. 5-Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula): Geometria Euclidiana 6-Estratégias: 6.1- recursos: Quadro, pincel, material impresso disponível em sala de aula, materiais manipulativos para representar os diferentes planos, software geogebra.

2 6.2- técnicas: Aula expositiva e dialogada, atividades com exemplos do conteúdo em sala de aula. 7-Procedimentos: 7.1- Problematização: A prática de atividades, exercícios é fundamental para uma vida saudável. Então se imagine como um ótimo ciclista que é, partindo de um certo ponto da terra. Você percorre de bicicleta 100 km sobre a superfície da terra ao sul, 100 km para leste e 100 km para o norte. Podemos afirmar que você voltou ao ponto de partida? Represente na forma desenho seu percurso. Solução: à primeira vista, podemos pensar que o problema não tem solução e, portanto, o caçador não voltaria ao ponto de partida, como mostra o seguinte esquema: curva. No entanto, não podemos esquecer de que a terra não é uma superfície plana, mas Assim a solução esta à vista: andando 100 km segundo aquelas três direções perpendiculares, o ciclista só voltara ao ponto de partida se visualizar seu percurso na superfície da terra, na superfície que possui a forma de uma esfera. Concluindo assim que nem sempre o que é verdade numa é verdade na outra.

3 Toda a dificuldade em solucionar este problema passa pelo fato de pensarmos na Geometria sobre um plano reta. Desde o século passado, com o aparecimento da Geometria Não Euclidiana, surge uma nova solução para este problema Historicização O quinto postulado, do livro I, é o mais famoso dos postulados de Euclides e aquele que apresentou mais discussões aos matemáticos. Equivalente ao axioma das paralelas, de acordo com o qual, Por um ponto exterior a uma reta, passa apenas uma, e somente uma reta paralela à dada. Desde cedo que este postulado foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os restantes. O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposição a partir de outros axiomas da geometria. Mas sempre em vão. Esta impossibilidade foi durante séculos o escândalo da geometria e o desespero dos geômetras. De acordo com Aleksandrov (p.125) a tarefa atraiu muitos geômetras: Proclo (século V a.c), Nasiradin (século XIII), Wallis ( ), Saccheri ( ), Lambert ( ), Legendre ( ), e muitos outros. O padre jesuíta G. Saccheri foi, talvez, o primeiro a ensaiar uma abordagem inteiramente nova. Aleksandrov (p.126) afirma que ele tentou utilizar a técnica de redução ao absurdo, admitindo a negação do postulado do paralelismo de Euclides com vista a obter algum absurdo ou contradição. Lambert demonstrou ser um pensador mais profundo que Saccheri e seus predecessores. Empreendendo o mesmo caminho, não encontrou contradição lógica nem caiu, nos mesmos erros, tampouco proclamou ter provado o Quinto Postulado. Outros grandes matemáticos, como Karl Gauss ( ), o príncipe dos matemáticos, redescobriu e desenvolveu a geometria em bases semelhantes às de Saccheri (negando o quinto postulado), sem nunca chegar a uma contradição. Outros, mais ousados, não recuaram perante o estranho mundo novo que se abria a seus olhos. O jovem húngaro Bolyai ( ) admite a negação do postulado do paralelismo de Euclides como hipótese não absurda, isto é, como um novo postulado, a juntar aos postulados habituais da geometria absoluta. Pela mesma época, e trabalhando independentemente, o jovem

4 russo Nicolai Lobachewski ( ), publica em 1829, a sua versão da geometria não euclidiana, na revista Universidade de Kazan. Foi necessário esperar até ao século XIX para Gauss, Bolyai, Riemann e Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efetivamente de um axioma, necessário e independente dos outros. Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas: a) Por um ponto exterior a uma reta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta reta (geometria de Lobachevski); b) Por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a esta reta (geometria de Riemann). Todos se deram então conta de que, substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduzia a nenhuma contradição. Apesar de serem dificilmente concebíveis, estas duas novas geometrias foram a pouco e pouco reconhecidas como alternativas legítimas. Chegou-se mesmo a demonstrar que, se qualquer das duas pudesse apresentar alguma contradição, a própria geometria euclidiana seria também contraditória. Desde então, encontramo-nos perante três sistemas geométricos diferentes: A) A geometria euclidiana; B) A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica; C) A geometria do Riemann, também chamada esférica ou elíptica. As duas últimas recebem o nome de geometrias Não Euclidianas. Estas novas geometrias permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein ( ). O que permitiu provar que essas teorias, ao contrário do que muitos afirmavam, tinham realmente aplicações práticas Operacionalizações da aula Será iniciada a aula com alguns questionamentos aos alunos, referente ao conhecimento que eles possuem em relação às figuras triangulares (triângulos). a) Quais os triângulos que vocês conhecem? (Pedir aos alunos que desenhem no quadro, nomeando-os). R: Triângulo equilátero, o qual possui os três lados iguais; Triângulos isósceles, o qual possui dois lados; Triângulo escaleno, o qual possui todos os lados diferentes; Triângulo retângulo, o qual possui um ângulo reto; Triângulo acutângulo, o qual possui os três lados agudos; e o Triângulo obtusângulo, o qual possui um lado obtuso.

5 b) Qual a definição de um triângulo no que diz respeito aos seus ângulos? R: A soma dos ângulos internos é igual a 180. c) Mas em que espaço, em que plano eles foram desenhados? Em que plano está o quadro? Todos os planos são assim, iguais a este? E se pensarmos no planeta em que moramos, a terra, ela é plana? R: Foram desenhados no quadro, em um plano pertencente à geometria Euclidiana, porém não são todos assim, iguais a este, a terra, o planeta em que moramos é um plano esférico, em forma de um globo e não plano. d) E se desenharmos um triângulo na superfície terrestre, na superfície esférica, o que acontece? Como será este triângulo? É o que vamos ver na aula de hoje. (Desenhar sobre uma bola de isopor). (Ver como ele se comporta e também tentar resolver a problematização, fazendo a trajetória do percurso no quadro). A partir dos questionamentos, e das repostas dos alunos, mostrar que assim como para os triângulos, surgiu na história outras geometrias que surgiram em função da tentativa de provar o quinto postulado de Euclides. Mostrando assim a historicização de como surgiu a Geometria Não Euclidiana. Cientes da existência da nova geometria Não Euclidiana vamos na aula de hoje, então ver como se comporta um triângulo nas diferentes e novas geometrias: geometria hiperbólica e geometria elíptica. Dando ênfase a geometria elíptica. (Pense no percurso de nosso colega ciclista o que vai acontecer com ele?). Como vimos pelo fim do século XVIII foram feitas novas tentativas de demonstrar o quinto postulado de Euclides por meio de demonstrações indiretas. Mas, em vez de conduzir a uma contradição, este novo conjunto de axiomas formou a base de uma teoria consistente chamada hoje de geometrias não euclidianas. GEOMETRIA ELÍPTICA OU ESFÉRICA Como vimos, foi na tentativa de provar o quinto postulado de Euclides que surgiram as Geometrias Não Euclidianas. No volume I dos Elementos são apresentados os cinco famosos postulados: 1o Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à vontade. 2o Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente. 3o Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários.

6 4o Todos os ângulos retos são iguais. 5o Se uma reta secante a duas outras formam ângulos, de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado. Equivalente ao quinto postulado, de acordo com o qual, por um ponto exterior a uma reta, apenas passa outra reta paralela à dada, porém desde cedo este postulado foi objeto de polémica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os restantes. Dando surgimento as Geometrias Não Euclidianas. Em 1854, Bernhard Riemann, em uma célebre dissertação sobre as hipóteses em que se funda a Geometria, introduziu uma Geometria correspondente que substituiu o postulado das paralelas pelo seguinte enunciado: Por um ponto fora de uma reta não se pode traçar uma reta paralela à outra reta dada. Em sua geometria não havia, igualmente, nenhuma contradição: deixou de ser uma ciência natural, que descrevia verdades para converter-se em uma concepção abstrata. A aceitação da geometria que também ficou conhecida como Geometria de Riemann só aconteceu após 1870, quando a geração posterior a Riemann começou a entender o seu significado. Na Geometria Riemanniana, há um sentido restrito ondes temos que interpretar o plano como uma superfície de uma esfera e uma reta como um círculo máximo sobre essa esfera. A esfera pode ser considerada um modelo (simplificado) do planeta Terra e existe uma geometria que se dedica ao seu estudo: a Geometria Esférica. Como superfície esférica de centro O e raio r > 0 consideraremos o conjunto de pontos do espaço que estão à distância r de O. Superfície esférica de centro O e raio r. O estudo da Geometria Esférica pode permitir a resolução de problemas ligados ao planeta Terra: por exemplo, na época dos Descobrimentos, era muito importante saber qual o caminho mais curto entre dois locais do planeta e qual a rota que se deveria seguir; mesmo atualmente, em que o sistema GPS é uma ferramenta poderosa, os pilotos de avião e os navegadores têm que ter conhecimentos sobre Geometria Esférica. Como nesta geometria nosso plano é semelhante a uma esfera e iremos trabalhar nela é conveniente defini-la: chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r. pode-se dizer que a superfície de uma esfera é a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo.

7 As extremidades P e P do eixo (e) de um círculo máximo da esfera são denominadas polos da esfera. Sabe-se que a geometria de Riemann tem importante aplicação prática: a navegação marítima e a aviação. Se um plano corta uma esfera, a sua interseção com essa esfera é um círculo máximo ou círculo menor; se o plano passa pelo centro da esfera, trata-se de um círculo máximo; caso contrário, trata-se de um círculo menor. Dados dois pontos A e B sobre uma esfera, a distância entre esses pontos é a menor porção do círculo máximo que contém tais pontos. Uma circunferência, na esfera, pode ser obtida intersectando a esfera com um plano. Quando o plano contém o centro da esfera obtém-se um círculo máximo. A circunferência verde é um círculo máximo, mas a circunferência cor-de-laranja não é um círculo máximo. Na esfera, os círculos máximos assumem o papel análogo ao das retas da Geometria Euclidiana e os arcos menores de círculo máximo assumem o papel análogo ao dos segmentos de reta. Desta forma, na esfera, a distância entre dois pontos determina-se calculando o comprimento do menor arco de círculo máximo definido pelos dois pontos. Na Geometria Esférica o plano Euclidiano é substituído pela superfície esférica. E nela: Ponto: são pontos da superfície esférica, e as figuras geométricas são traçadas sobre esta superfície.

8 Retas: são chamadas de geodésicas (são os círculos máximos, os grandes círculos), obtidos pelos planos que interceptam a esfera passando pelo seu centro. Os outros círculos menores quando não passam pelo centro não é considerada uma reta. Desse modo, na superfície de uma esfera a reta pode ser chamada além de geodésica, como círculo máximo ou grande círculo e são determinadas por dois pontos como na Geometria Euclidiana. Sendo assim podemos perceber que uma reta na superfície esférica possui propriedades próprias. Ela deixa de ser infinita passando a ser ilimitada, ou seja, os círculos máximos de uma esfera (as retas ou geodésicas) são finitos (percorrendo-os sempre se volta ao ponto de partida), mas ilimitada (pode-se percorrê-los indefinidamente). Os segmentos de retas na Geometria Euclidiana aqui são os arcos das geodésicas. No caso o percurso do ciclista é um exemplo de arco geodésico. Conhecendo estas noções da geometria elíptica, vamos trabalhar um pouco nas esferas, (serão distribuídas esferas para os alunos, uma a cada dupla, ou individualmente). Primeiramente será apresentada uma problematização aos alunos e em seguida eles irão construir o que se pede. Primeira problematização: Um ciclista saiu de sua casa e pedalou 100 km ao sul. Depois virou ao oeste e pedalou mais 100 km. Então virou e pedalou novamente por mais 100 km ao norte. Ficou surpreso, pois descobriu que voltara novamente a sua casa. Construa: a) Desenhar numa folha de papel o caminho percorrido pelo ciclista. b) De acordo com a situação acima é possível que o ciclista volte ao ponto de partida? c) Desenhar na esfera o caminho percorrido pelo ciclista. d) Analisando o caminho desenhado na esfera, é possível para o ciclista voltar ao mesmo ponto de partida?

9 (Veja o desenho de seu colega no quadro, peça para desenhar no quadro o percurso. Depois sim solicite que desenhe sobre a esfera). Segunda problematização: Agora imagine esse mesmo ciclista deseja dar uma volta ao mundo ou andar de bike sempre na mesma direção, o que vai acontecer com a sua viagem? E faça o que se pede: a) Desenhe o caminho percorrido pelo ciclista numa folha de papel. b) De acordo com o caminho percorrido desenhado na folha de papel, é possível para o ciclista voltar no ponto de partida? c) Desenhe o caminho percorrido pelo ciclista na esfera. d) De acordo com o caminho percorrido desenhado na esfera, é possível para o ciclista voltar ao ponto de partida? (aqui podemos reforçar, e formalizar o conceito da geodésica). A partir da explicação das geodésicas, de perceber que uma reta na superfície esférica possui propriedades próprias, que ela deixa de ser infinita e torna-se ilimitada. Podemos perceber que duas geodésicas são perpendiculares se formam um ângulo reto quando se interceptam. Enquanto na Geometria Euclidianas duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si, na Geometria Esférica isto não acontece, pois as geodésicas perpendiculares a uma geodésica Z não são paralelas entre si, mas sim, concorrentes, isto é, todas as geodésicas perpendiculares a Z tem um ponto comum chamado de polo de Z. (Podemos utilizar linhas para representar esta situação, pois possibilitará a visualização, utilizando linhas de crochê colorida). A figura abaixo mostra geodésicas ACA e ADA, perpendiculares à geodésica BCDE.

10 Terceira problematização. Agora o ciclista vai pedalar em linha reta da sua casa até a pista de treinamento. a) Desenhe numa folha de papel o caminho percorrido pelo ciclista. b) Desenhe na esfera o caminho percorrido pelo ciclista e represente esse desenho na folha de papel. c) Qual é a diferença entre os dois desenhos? (Aqui podemos mostrar para os alunos que a distância entre dois pontos na superfície plana é um segmento de reta e na superfície esférica é um arco). Considerem-se dois pontos A e B não antípodas (pontos diametralmente opostos) na esfera de raio r e centro O. À distância na esfera entre A e B é dada pelo comprimento do menor arco AB do círculo máximo definido por A e B. Note-se que, se A e B são antípodas, a distância entre A e B é igual ao comprimento de um semicírculo máximo, πr (metade do comprimento, e mostre com a linha a antípoda, e mostre com a linha o comprimento do arco e solicite que eles determinem o valor calculando com a mão). Ex: Qual a medida do arco abaixo, considerando a medida do raio da esfera igual a 10m e o ângulo α medindo 60.

11 Quarta problematização Agora o ciclista vai pedalar levando o seu fiel amigo cachorro. Eles vão percorrer o trajeto paralelamente. a) Desenhe numa folha de papel o caminho percorrido pelo ciclista e pelo cachorro. b) Desenhe na esfera de isopor o caminho percorrido pelo ciclista e pelo cachorro. c) É possível traçar retas paralelas para representar o caminho percorrido pelo ciclista e pelo cachorro na folha de papel e na bola de isopor? (Aqui podemos explorar que na superfície esférica não existe retas paralelas, aqui também pode ser explorado os conceitos de paralelos, meridianos, linha do equador, trópicos). (represente novamente com a linha colorida). Podemos definir retas paralelas como sendo retas que não se intersectam. Na esfera, dados dois círculos máximos, estes intersectam-se sempre em dois pontos antípodas (pontos diametralmente opostos). Por exemplo, os meridianos terrestres intersectam-se no Pólo Norte e no Pólo Sul. Assim, ao identificarmos o conceito de reta na esfera com o de círculo máximo, concluímos que: Na Geometria Esférica não existem retas paralelas!

12 Ângulo Esférico Ângulo esférico é o ângulo formado pela interseção de dois arcos de círculos máximos. Sua medida é a mesma do ângulo plano θ formado pelas retas t1 e t2 tangentes, no ponto de intersecção, aos lados do ângulo. Podemos ter na esfera polígonos com dois lados, pois na esfera os lados dos polígonos são segmentos esféricos, ou seja, arcos menores de círculo máximo; dados dois círculos máximos, estes intersectam-se sempre em dois pontos antípodas, dividindo a esfera em quatro regiões, cada uma das quais com dois lados; estas regiões designam-se por biângulos ou lúnulas. Portanto, ao contrário do que acontece na Geometria Euclidiana, na Geometria Esférica existem polígonos com dois lados, os biângulos, cujos vértices são pontos antípodas (na esfera são pares de pontos opostos) e cujos lados são semicírculos máximos. A área de um biângulo com ângulo α é dada por: 2αr 2 (α em radianos). E r o raio da esfera em questão.

13 Triângulo esférico Como na Geometria Euclidiana, podemos também obter na Geometria Esférica figuras na formas triangulares. Podemos retirar da casca de uma laranja, fruta com a aparência próxima de uma esfera, um figura triangular, para que os alunos percebam e também assim possam tatear, manusear uma figura triangular retirada de uma esfera, visualizando o seu aspecto, seus ângulos, seus lados. (explorar, pedir que meçam seus angulos). E em seguida mostrar como a figura que segue abaixo: Três pontos de uma esfera de centro O, não pertencentes a um mesmo círculo máximo, ligados dois a dois por meio de arcos de círculo máximo formam os vértices de um triângulo esférico ABC. Os lados a, b e c opostos respectivamente aos vértices A, B, e C se medidos em unidades de comprimento, dependem do raio da esfera, se medidos em unidades de arco, independem do raio da esfera. Os ângulos α, β e γ são correspondentes aos arcos a, b e c respectivamente. Logo, eles têm a mesma medida em graus. Se A, B e C são três pontos distintos e não pertencentes ao mesmo círculo máximo, a figura formada pelos arcos de círculos máximos que unem esses pontos dois a dois é denominada triângulo esférico. Todos os triângulos esféricos têm três alturas, três medianas, três mediatrizes e três bissetrizes definidos do mesmo modo que na Geometria Euclidiana, com a diferença que para aqueles triângulos fala-se em retas e, na superficie esférica, são geodésicas. Os lados dos triângulos esféricos, subentendem ângulos como vértices no centro da esfera, por isso podem ser medidos em graus ou radianos.

14 Ainda na Geometria Esférica dados três pontos, estes podem definir dois triângulos, na medida em que podem definir duas regiões limitadas na esfera. Na Geometria Euclidiana isto não acontece pois, dados três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta) e os três segmentos de reta que os unem dois a dois, estes definem apenas uma região limitada e, por isso, um único triângulo. Nestas esferas, estão representados dois triângulos diferentes (com interior verde) definidos pelos mesmos vértices. Podemos também através dessa construção verificar a congruência dos triângulos de um lado e do outro lado da esfera.(construa com a linha sobre a esfera de isopor para a visualização). Na esfera, existem ainda alguns triângulos estranhos como, por exemplo, triângulos com três vértices colineares. Pois na mesma linha sobre a esfera é torto.

15 Sexta problematizaçao Desenhe um círculo máximo numa esfera de isopor; desenhe outro círculo máximo perpendicular ao primeiro; desenhe um terceiro círculo máximo, perpendicular aos dois já construídos. a) Em quantos triângulos a esfera ficou dividida? b) Quanto mede cada ângulo desses triângulos? c) Qual a soma dos ângulos internos desses triângulos? d) Como é classificado esse triângulo esférico de acordo com seus lados e seus ângulos? A grande característica dessa geometria, como percebemos, ao fato de não existirem retas paralelas, é que a soma dos ângulos internos de um triângulo varia entre 180 e 540. Podendo ser representada pela dupla desigualdade: 180 <Â+B+C < 540. Logo, em relação à soma da medida dos lados a,b,c persiste, também, uma faixa de variação de extremos entre 180 e 360, ou seja: 180 < a+b+c<360 Sendo que nenhuma das medidas dos lados pode ser maior que 180. Ao contrário dos triângulos planos, os esféricos podem ter três ângulos retos medindo cada um 90. Na geometria da esfera os termos triângulos eqüilátero, isósceles, retângulo e obliquângulo têm o mesmo sentido do que em geometria plana. Um triângulo esférico pode ser: retângulo, quando tiver um ângulo reto; birretângulo, quando tiver dois ângulos retos; e trirretângulo, quando tiver três ângulos retos.

16 Convém notar que, se um triângulo esférico é triretângulo, será também triretilátero e, reciprocamente, ou seja, trata-se de um triângulo que cobre exatamente a oitava parte da superficie esférica associada. Dois triângulos esféricos podem ser: Adjacentes, se têm um lado em comum. Simétricos, se os vértices de um deles são diretamente opostos aos vértices do outro (pontos antípodas). Opostos pelo vértice se têm um vértice comum. Temos assim, algumas propriedades: I- A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo esférico é maior que 180. Ex: Seja ABC um triângulo retângulo, e suponha por absurdo, que A+B+C = 180. Traçam-se as retas CD e BE, formando com BC os ângulos X e Y congruentes, respectivamente, aos ângulos 1 e 2. De acordo com o caso ALA (Ângulo, Lado e Ângulo) de congruência, o triângulo BCI vem a ser congruente ao triãngulo ABC, obtendo um retângulo, o que seria um absurdo, pois não existe retângulo na Geometria Esférica, pelo fato de não existir retas paralelas na superfície esférica. Ou seja, não há

17 nesta superficie, um quadrilátero que tenha os quatros ângulos retos, de acordo com a definição de retângulo na Geometria Euclidiana. Portanto Â+B+C > 180. II- A soma das medidas dos ângulos de qualquer triângulo esférico é maior do que 180. Ex: Desde que qualquer triângulo possa ser dividido em dois triângulos retângulos, as somas das medidas dos ângulos destes triângulos é maior que 360 e, assim, a soma das medidas dos ângulos do triângulo primitivo é maior que 180. III- A soma das medidas de qualquer quadrilátero é maior que 360. Ex: Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Traça-se a reta AC, dividindo o quadrilátero nos dois triângulos ABC e ACD. Como a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é maior que 180, tem-se Â+B+C+D > 360 IV- A área da superficie esférica de raio unitário é 720. Ex: Sabe-se que a área da superfície esférica de raio r é ( unitário, a medida da área da esfera em graus é, então, igual a A s 4pr ). Se a esfera tem raio V- A área de um triângulo esférico ABC numa esfera de raio r é: ( 180 ) r 2 A t Se a esfera tem raio unitário, a área do triângulo esférico é então: A t ( 180 )

18 hiperbólica. Teremos agora uma breve explicação dos quadriláteros Elípticos e da geometria Quadriláteros Elípticos No quadrilátero de Saccheri podem ser observadas duas importantes propriedades: O segmento que liga os pontos médios da base e do topo é perpendicular a ambos; Os ângulos do topo são congruentes e obtusos. Quadrilátero de Saccheri no Modelo Elíptico A principal propriedade para um quadrilátero de Lambert é: O seu quarto ângulo é obtuso e os lados adjacentes a esse ângulo são maiores que os opostos correspondentes. Quadrilátero de Lambert no Modelo Elíptico Na geometria elíptica a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero sempre excede 360.

19 Geometria hiperbólica A primeira delas a geometria de Lobatchevsky, que em 1829, negou o quinto postulado de Euclides, admitindo que por um ponto fora de uma reta passam pelo menos duas retas paralelas. A história nos diz que Gauss, Bolyai e Lobachewsky desenvolveram a Geometria Hiperbólica ao mesmo tempo. No entanto, Lobachewsky foi o primeiro a publicar seus trabalhos, cabendo a ele a honra da descoberta desta geometria. Em 1832, Bolyai, independentemente, obteve os mesmos resultados. E então essa geometria passou a ser chamada de geometria hiperbólica. A geometria hiperbólica, por sua vez, deve ser representada por uma superfície com curvatura negativa. Apesar do seu nome, as melhores escolhas para isso não envolvem uma hipérbole. Uma superfície que atende esse requisito é essa, vista na figura, que parece uma sela. Dá para ver que, em qualquer ponto dessa superfície, duas curvas se cruzam com curvaturas para lados opostos. Isso faz a curvatura de Gauss ser negativa.

20 Beltrami usou outra superfície mais conveniente que a sela para representar a geometria hiperbólica. Ele chamou essa superfície de pseudoesfera, e mostrou que ela exibe as propriedades requeridas pela geometria hiperbólica de curvatura negativa. Isto é, em qualquer ponto da pseudoesfera, do mesmo modo que na sela, curvas se cruzam com curvaturas em sentidos opostos. É possível ver isso na figura abaixo que mostra um modelo da pseudoesfera. A soma dos ângulos de um triângulo desenhado sobre a superfície de uma pseudoesfera é menor que 180 graus, como esperado de uma superfície que represente a geometria hiperbólica e o caso agudo de Saccheri. Observamos que quanto maior o triângulo, menor é a soma de seus ângulos. Além disso, por um ponto P, podem passar infinitas retas paralelas a outra reta. Na figura abaixo, L 2 e L 3 são paralelas a L 1 e se cruzam em um ponto P. Todas as retas que passam por P e estão entre L 2 e L 3 também são paralelas a L 1.

21 A pseudoesfera de Beltrami é interessante, mas não é a melhor maneira de se visualizar a geometria hiperbólica. Dois defeitos desagradáveis da pseudoesfera são: a) as retas sobre ela nem sempre são infinitas como deveriam ser; b) existem círculos nela que não podem ser encolhidos até virarem pontos. Por sorte, existem outras formas mais convenientes de representar o plano hiperbólico que não têm esses defeitos. Um modelo para representação da geometria Hiperbólica foi criado pelo matemático Henry Poincaré. Ele inventou um mapa que é ótimo para ajudar a visualizar o plano hiperbólico. Reproduzir a superfície de uma esfera, como o globo terrestre, em um papel plano implica necessariamente em distorções (é necessário usar a imaginação). Resumidamente, o mapa de Poincaré transporta todo um plano do espaço hiperbólico para dentro de um círculo, também chamado de "disco de Poincaré". As seguintes regras são seguidas nesse mapa: 1) Todo ponto do plano hiperbólico corresponde a um, e só um, ponto dentro do disco. 2) Uma "reta" do plano hiperbólico corresponde a um segmento de círculo encerrado dentro do disco, cujas pontas se aproximam perpendicularmente da borda desse disco. Ex: No disco as retas AB e CD são retas paralelas e EF e GH são retas que se cruzam. (Pedir aos alunos que construam estas retas em um disco de Poincaré). A figura abaixo mostra infinitas retas hiperbólicas paralelas a r passando por P.

22 No disco abaixo temos um exemplo de uma infinidade de retas com um ponto em comuns e paralelas a outra reta arbitrária. Veja no disco de Poincaré a figura de um triângulo hiperbólico: Note que: A área do triângulo = ( ). Pois na geometria hiperbólica a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menos que 180. Podemos ainda utilizar dos softwares para construir figuras no plano hiperbólico. Ex: Através do geogebra Reta hiperbólica passando por A e por B:

23 Triângulos equiláteros a partir da intersecção de círculos: Medida da soma dos ângulos dos triângulos equiláteros: Triângulos isósceles e a soma de seus ângulos:

24 E muito mais, como: Quadrilátero de Saccheri: Nesse quadrilátero, conforme figura, AD é denominado lado base, BC é denominado lado topo do quadrilátero e AB e DC são os lados congruentes do quadrilátero. Os ângulos do lado base são retos e os dois ângulos do lado topo são agudos e congruentes. Quadrilátero de Lambert: No quadrilátero de Lambert somente um ângulo é agudo e os outros três ângulos são retos. E outras figuras, podendo sempre calcular seus ângulos:

25 Outro resultado sem equivalente na geometria euclidiana é que os triângulos equiláteros (3 lados iguais) não são semelhantes entre si (têm ângulos diferentes). O mesmo ocorrendo com os quadrados. Os quadrados abaixo não são semelhantes. Na geometria hiperbólica dois triângulos podem ter dois pares de ângulos congruentes sem terem o terceiro par de ângulos congruentes. O teorema dos pontos médios não é válido, pois depende do postulado das paralelas.

26 A relação a²=b²+c² conhecida como teorema de Pitágoras não é válida na geometria hiperbólica. Sendo a,b e c respectivamente as medidas da hipotenusa e dos catetos de um triângulo retângulo temos que a²>b²+c². hiperbólica. Veja também algumas figuras não muito desconhecidas que envolvem a geometria

27 Assim sendo, como afirma Henri Poincaré: Nenhuma geometria é mais correta do que qualquer outra - apenas é mais conveniente Conclusões da aula (atividades e sugestão de atividade). Verificar através das atividades, da participação se os alunos conseguiram atingir os objetivos previstos para a aula.

28 8- Avaliação A avaliação permite ao professor acompanhar se os alunos compreenderam o conteúdo, a partir da capacidade de aplicação dos mesmos em resoluções de atividades propostas pelo professor. 8.1 Instrumentos de avaliação Os alunos serão avaliados através de uma prova, contendo cinco questões, sendo uma questão de falso ou verdadeiro, uma questão de somatório, e três questões de resoluções descritivas. A prova será individual, sem consulta ao material. O peso total da prova será igual a dez, sendo que as duas primeiras questões terão peso igual a 2,5 pontos; a terceira e quarta questão peso 2 e a quinta e última questão peso 1. Avaliação de Matemática Professora: Zilmara Aluno: data: / /. 1) Considerando os conceitos referentes as Geometrias não Euclidianas, determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando as falsas. ( ) Como vimos, foi na tentativa de provar o quarto postulado de Euclides que surgiram as Geometrias Não Euclidianas. De acordo com o qual, por um ponto exterior a uma reta, apenas passa outra reta paralela à dada. ( ) Se um plano corta uma esfera, a sua interseção com essa esfera é um círculo máximo ou círculo menor; se o plano passa pelo centro da esfera, trata-se de um círculo máximo; caso contrário, trata-se de um círculo menor. ( ) Dados dois pontos A e B sobre uma esfera, a distância entre esses pontos é a maior porção do círculo máximo que contém tais pontos. ( ) Ao contrário dos triângulos planos, os esféricos podem ter três ângulos retos medindo cada um 90. ( ) Na geometria hiperbólica quanto maior o triângulo, maior é a soma de seus ângulos. 2) Determine a soma das alternativas verdadeiras. (02) Na superfície de uma esfera a reta pode ser chamada além de geodésica, como círculo máximo ou grande círculo e são determinadas por dois pontos como na Geometria Euclidiana.

29 (04)Dentre as Geometrias Não Euclidianas estão a geometria de Lobachevski, também chamada esférica e a geometria do Riemann, também chamada hiperbólica. (08)De acordo com a geometria esférica pôr um ponto fora de uma reta pode se traçar uma reta paralela à outra reta dada. (16) Se A, B e C são três pontos distintos e não pertencentes ao mesmo círculo máximo, a figura formada pelos arcos de círculos máximos que unem esses pontos dois a dois é denominada triângulo esférico. (32) Na geometria Esférica as retas são chamadas de geodésicas (são os círculos máximos, os grandes círculos), obtidos pelos planos que interceptam a esfera passando pelo seu centro. SOMA: 3) Mostre ou escreva com suas palavras, a partir de nossos estudos, que a soma das medidas dos ângulos de qualquer quadrilátero esférico é maior que 360. (Dica: faça um desenho para representar). 4) Desenhe o esboço de uma esfera, e represente na mesma uma geodésica, e um arco referente a uma antípoda. Defindo ambas ( geodésicas e antípoda). 5) Complete a frase: Na Geometria Esférica não existem retas... E a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico varia entre...e... Podendo ser representada pela dupla desigualdade:... <Â+B+C < Referências bibliográficas ABREU, Miguel. Instituto Superior Técnico e Sociedade Portuguesa de Matemática, Fevereiro de Introdução às Geometrias Não-Euclidianas. Disponível em < >. Acessado em 26 out ÁVILA, Geraldo. Várias Faces da Matemática: Tópicos para Licenciatura e Leitura Geral. 2 edição. Revista Ampliada. Blucher. São Paulo, BONGIOVANNI Vincenzo. JAHN, Ana Paula. Revista ibero-americana de educação matemática - junho de número 22 - página 37. De Euclides às geometrias não euclidianas. Disponível em < >. Acessado em 26 out CARMO< Manfredo Perdigão do. Matematica Universitária, N. 6, dezembro de 1987, Geometrias Não- Euclidianas. Disponível em <

30 >. Acessado em 26 out DANTE, Roberto Luiz. Matemática. Volume único. 3 edição. São Paulo, editora ática, DEVITO, André. FREITAS, Araone Koaerece de. PEREIRA, Kênia Cristina. Geometrias Não- Euclidianas. Disponível em < >. Acessado em 26 out Explorar geometria hiperbólica no Geogebra. 2013, número 1, volume 1. Geometria Não Euclidiana. Disponível em < >. Acessado em 26 out ARATTA, Roberto Carlos. SOUZA, Luciane de Fátima Rodrigues de. Revista Eletrônica de Educação e Ciência REEC Volume 01 Número 01 Setembro/2011 Páginas ISSN Abordagem de uma aplicação das geometrias não euclidianas. Disponível em < >. Acessado em 26 out MARQUEZE, João Pedro. As Faces dos Sólidos Platônicos na Superfície Esférica: Uma Proposta para o Ensino-Aprendizagem de Noções Básicas de Geometria Esférica. Disponível em < /Publico/dissertacao_joao_pedro_marqueze.pdf >. Acessado em 26 out Matemática do Planeta Terra, Disponível em< >. Acessado em 26 out PETIT, Jean Pierre. As Aventuras de Anselmo Curioso, Os Mistérios da Geometria. Publicações Dom Quixote. Lisboa RIBEIRO, Ricardo Silva. GRAVINA, Maria Alice. Disco de poincaré: uma proposta para WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Geometria esférica. Disponível em < >. Acessado em 26 out