Geometria Métrica na Babilônia, Egito, Grécia.

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1 Geometria Métrica na Babilônia, Egito, Grécia. Autor: Christian Fernando Cordeiro Pinheiro Disciplina de História da Matemática Universidade Federal de Alfenas Professora: Andréa Cardoso

2 Introdução Geometria Métrica antiga: Mesopotâmia; Egito; Grécia antiga; Geometria Métrica medieval: Japão

3 Geometria Geometria do grego "geo" (terra) e "métron" (medida), é o estudo que relaciona medidas com áreas e volumes. As primeiras utilização de Geometria Métricas foram com intuito de medir terrenos a fim de limitar espaços para as populações da Mesopotâmia. Atualmente a geometria é bastante utilizada em plantas de casas, calculo de áreas de terrenos, capacidade de recipientes, noções de objetos no espaço, dentre diversas aplicações na física, química e demais áreas.

4 Geometria Babilônica

5 Conhecimentos Adquiridos em Geometria Sistema Numeral Sexagesimal. Áreas: Retângulo, triângulo retângulo e triângulo isósceles e trapézio retângulo. Volume: Paralelepípedo retoretângulo, prisma reto de base trapezoidal, tronco de cone e o tronco de pirâmide quadrangular regular.

6 YBC 7302 Se A é a área do circulo de circunferência S e raio r, então: I) Área Circulo: A = π r² II) Comprimento da Circunferência: S = 2π r De (II) temos que r=s/2π Substituindo (II) em (I), temos: A=π (S/2π)² = π (S²/4π²)= S²/4π. Adotavam π=3,00 ou 3+(1/8).

7 Volumes Tronco de Cilindro Problema: Dado diâmetro 0,05 de um tronco de cilindro, calcule seu volume. Triplique a linha divisória 0,05 tal que 0,15 aparecerá. A circunferência do tronco é 0,15. Combine (faça o quadrado) de 0,15 tal que 0,03;45 aparecerá. Multiplique 0,03;45 por 0,05 e terás 0,00;18;45, á área, aparecerá.

8 Geometria Egípcia

9 Conhecimentos Adquiridos Sistema numeral decimal. Cálculos de áreas de: Retângulo, triângulo retângulo e triângulo isósceles e circulo. Cálculos de volume de: Paralelepípedo reto e Cilindro reto. Adotavam π=3,00.

10 Área triângulo Problema: Qual a área de um triangulo de base 4 e lado 10. Resposta: Retire ½ de 4, a fim de obter seu retângulo. Multiplique 10 vezes 2; isso é a área.

11 E a Pirâmides?

12 Conhecimentos sobre Pirâmides Papiro Rhind: Inclinação dos lados, Volume do tronco da pirâmide, Volume de uma pirâmide.

13 Matemática Pratica x Matemática Racional Egípcios e Mesopotâmios utilizavam a matemática pratica. Gregos utilizavam a matemática racional preocupando com as explicações.

14 Geometria Grega

15 História Textos originais gregos não preservado. As referências: manuscritos bizantinos e traduções árabes. Ensino: Através da fala, sem escritas. Escolas restritas.

16 Motivação para Geometria I. A duplicação do volume do cubo. II. A trissecção do ângulo. III. A quadratura do círculo.

17 Método de Exaustão -Euclides Para entender o Método de Exaustão iremos definir e demonstrar o seguinte lema: Dados duas grandezas qualquer sendo uma fixa e outra tamanho n, podemos diminuir minha grandeza de tamanho n de modo a ficar menor que minha grandeza fixa.

18 Método de Exaustão -Euclides Demonstração - Lema: Sejam a e b medidas de duas grandezas respectivamente AB e CD. Se tirarmos uma parte maior ou igual a sua metade, e assim sucessivamente, então após certo numero m de repetições iremos obter uma grandeza menor que CD.

19 Método Exaustão Seja AB o lado de um polígono regular de n lados inscrito em uma circunferência e C o ponto médio de AB. Seja EF tangente a circunferência no ponto C. Sabemos que AC=BC e é o polígono regular de 2n lados. Área triangulo ACB = ½ área retângulo ABEF. Área triangulo ACB < Área circular AB < área Retângulo ABEF. Fazendo então Área triangulo ACB - Área circular AB = área. Podemos fazer novamente o mesmo processo de modo que aproxime ainda mais com a área do circulo.

20 Método de Exaustão -Euclides Através do método da exaustão, podemos chegar na seguinte demonstração. Circulo estão entre si como os quadrados de seus diâmetros. Seja a e A, d e D as áreas e diâmetros respectivamente de círculos c e C então vale: a/a = d 2 /D 2

21 Quadratura do Circulo - Arquimedes Teorema: Mostre que a área do circulo é igual a área do triângulo retângulo no qual, um dos lados que formam o ângulo reto é igual ao raio e, o outro lado que forma o ângulo reto é a circunferência deste circulo.

22 Demonstração Sejam C e T área Círculo e do Triângulo, vamos inscrever polígonos regular de lados 2 n e 2 n+1. Sejam I n polígonos inscrito e C n polidos circunscritos. Sabemos que: I n <I n+1 <C ou seja I n <C. Por outro lado temos: C n >C n+1 ou seja C<C n. Com isso temos então que I n <C<C n. Vamos mostrar que C = T ou seja área circunferência = área do triangulo. 1º Caso: C > T. Se isso acontece então existe um número d = C T > 0 Lema: Área de um polígono é o produto de sua apótema por seu semi-perímetro. Apótema: Segmento de reta que liga centro da figura a uma extremidade formando ângulo reto. Sabemos que aplicando tema no Caso do polígono de 2 3 lados temos então que: a área do octógono é OI.S (S é semiperimetro). Sabemos também que semi-perimetro S = P/2 onde P perímetro. Então temos que área do octógono é (OI.P)/2. Isso lembra a área de um triângulo. Com isso, podemos afirmar que existe um triângulo de lados OI e P N conforme figura: Com isso, temos ainda que: (OI < r) e (Pn < c). Com isso concluímos então que: I n <T<C. Como área I n <C, podemos obter um número K n = C área I n. Usando método de Exaustão, podemos então concluir que ao aumentar número de lados do polígono, está quantidade pode ser menor que a quantidade dada, ou seja, para n suficiente grande podemos obter K n <d. Mas como: área(i n )<C<T, ou seja, se pegarmos d= C T < C área (I n ) = K n, o que é uma Contradição. Voltando a demonstração, isso acarreta que podemos tomar K n menor do que d no raciocino anterior. 2º Caso: T > C Análogo.

23 Curiosidades: Japão -Sangaku O círculo O '(r') toca O (r) a nível interno, e uma cadeia de círculos contacto ó i(r i ), i = 1, 2, 3, 4, é inscrito na lune formado por O (r) e O '(r'). Mostre que: 1 / r / r 3 = 3 / r / r 4.

24 Podemos concluir que os estudos sobre geometria, teve como ponto inicial a observação e através deste os mesopotâmios e egípcios estabeleceram parâmetros para resolver problemas práticos. Depois de um tempo seu uso começou a ser demonstrado inicialmente pelos gregos, que se desempenharam em buscar explicações de forma a validar os teoremas. Foram os gregos que inventaram as demonstrações e teoremas, e graças a eles que hoje temos um avanço em geometria. Conclusão

25 Referências História da Matemática na Babilônia, acessado em 05 de abril de 2015 disponível em: Matemática antiga na Grécia, acessado em 05 de abril de 2015 disponível em: Sangaku, acessado em 05 de abril de 2015 disponível em: Japanese mathematical votive tablete, acessado em 05 de abril de 2015 disponível em IFRAH, G. Os Números: A História de Uma Grande Invenção.11.ed. Globo Livros, p. ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de História da Matemática. SBM, p. BARBOSA, João Lucas. Geometria euclidiana plana. Coleçãoao Fundamentos da Matemática elementar. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.