Foi o primeiro a usar o termo função em Euler ( )

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1 1) Conceito de função I) Introdução histórica O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que a introdução do método analítico na definição de função (século XVI, XVII) veio revolucionar a Matemática. Desde o tempo dos Gregos até a Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano. Foi a partir desta época que uma nova teoria, o Cálculo Infinitesimal, vai surgir e a noção de função vai ser um dos fundamentos dessa teoria. Dessa forma, a origem da noção de função confunde-se com os primórdios do Cálculo Infinitesimal. Newton ( ) Aproxima-se bastante do sentido atual de função com a utilização dos termos relatia quantias para designar variável dependente, e genita para designar uma quantidade a partir de outras por intermédio das quatro operações aritméticas fundamentais. Leibniz ( ) Foi o primeiro a usar o termo função em Johann Bernoulli ( ) Em 1718 publicou um artigo contendo a definição de função de uma certa variável como uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes. Euler ( ) Antigo aluno de Bernoulli, em 1748 deu um retoque final á esta definição, substituindo o termo quantidade por expressão analítica. Foi também Euler quem introduziu a notação f (x). A noção de função era assim identificada na prática com a expressão analítica, situação que vigorou pelos séculos XVIII e XIX quando teve seu conceito final. Fonte:

2 II) Introdução teórica No estudo científico de qualquer fato sempre procuramos identificar grandezas mensuráveis ligadas a ele e, em seguida, estabelecer as relações existentes entre essas grandezas. A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta). Os juros pagos sobre um investimento dependem do tempo que o dinheiro permanece investido, o preço pago pelo abastecimento de um carro, seja a álcool ou gasolina, depende da quantidade de litros,... Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar de y, depende do valor de outra, que podemos denominar de x, onde para cada valor x obtemos um único valor de y. Simbolicamente, temos: y = f (x) (lê-se y é igual a f de x) onde: x: variável independente, y: variável dependente e f representa a função. Muitas vezes, o valor de y é dado por uma regra ou fórmula que diz como calculá-lo a partir da variável x. Definição: Uma função f de um conjunto A em um conjunto B é uma regra que associa a cada elemento x A exatamente um único elemento y B. Notação: f: A B ( f é uma função de A em B) Em diagrama temos: A = Domínio da função (Dom f), ou seja, é o conjunto dos possíveis valores da variável independente B= Contradomínio da função (CD f), ou seja, é o conjunto dos possíveis valores da variável dependente Conjunto Imagem (Im f) : é o conjunto formado pelos valores encontrados para a variável independente No diagrama acima temos: Dom f: A CD f : B Im f: { a, b, d} Estudaremos as funções que têm como domínio um subconjunto X R cujos valores f(x) para todo x X, são números reais. Exemplo: 1.) Verificar se as relações abaixo representadas nos

3 diagramas de flechas são funções ou não. Justifique sua resposta. 2.) O diagrama de flechas ao lado representa uma função de A em B. Complete o que se pede: a) D f = b) CD f = c) Im f = d) x = 4 y = e) f(x) = 4 x = f) f(2) = g) f(3) = Representações de uma função Diagramas Lei algébrica: É a fórmula matemática que relaciona as variáveis. Exemplo: f (x) = 5x 2 3x + 2, y = 3x + Gráfico: representação geométrica no plano cartesiano Exemplo: O gráfico ao lado mostra a temperatura num dia de inverno em Campos do Jordão (SP). a) Em que intervalo a temperaturaa permaneceu negativa? b) Em que intervalo a temperaturaa permaneceu positiva? c) Em que momento a temperatura foi nula? Função crescente e decrescentee Definição: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x 1 e x 2 I, x 1 < x 2, temos f (x 1 ) f (x 2 ) Definição: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se para quaisquer x 1 e x 2 I, x1 < x 2, temos f (x 1 ) f (x 2 )

4 Se uma função é crescente ou decrescente em um intervalo, dizemos que é monótona neste intervalo. Exemplo: 1) Considere a função f (x) = 3x 1 a) Complete a tabela abaixo: x y = f (x) b) Classifique a função acima em crescente ou decrescente. 2) Considere a função cujo gráfico está abaixo: Exercícios: Classifique em (V) verdadeiro e (F) falso: a) No intervalo x [2, 7] a função é crescente. b) O valor mínimo da função ocorre para x = - 5. c) No intervalo x ]0, 7[ a função é positiva d) O gráfico da função corta o eixo y no ponto de coordenadas (-1,0) 1) Considere a função f: A B dada pelo diagrama de flechas abaixo. Complete: a) Df = b) CDf = c) Imf = d) x=5 y= e) f(5) = f) f(1) = g) f( 2) = h) y=2 x = i) f(x) = 0 x = 2) Escreva a fórmula matemática que expresse a lei de cada uma das funções abaixo: a) Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão-de- obra. Então o preço y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número de x horas de trabalho (mão-de-obra). b) Um fabricante produz objetos a um custo de R$ 12,00 a unidade, vendendo-as por R$ 20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas. c) Um triângulo tem base fixa de 6 cm e altura variável de x cm. A área y, em cm 2, é dada em função de x.

5 3) Considere g: A B a função para qual A = { 1, 3, 4}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e g(x) é o triplo de x para todo x A. a) Construa o diagrama de flechas da função. b) Determine D(g), CD(g) e Im(g) (imagem de g). c) Determine g(3). d) Determine x para o qual f(x) = 12. 7) Seja a função f: R R é dada por f (x) = x 3. Calcule: a) o valor de f ( 3 ); b) o número real x, para que f (x) = 6. Exercícios de fixação: 1) Dado o gráfico de uma função f: a. Obtenha o valor de f(-1) b. Estime o valor de f(2) c. f(x) = 2 para quais valores de x? d. Estime os valores de x para os quais f(x) =0 e. Obtenha o domínio e o conjunto imagem de f f. Em qual intervalo f é crescente? 2) Dados os gráficos de das funções f e g: a. Obtenha os valores de f(-4) e g( 3) b. f(x) = g(x) para quais valores de x? c. Estime a solução da equação f(x) = -1 d. Em qual intervalo f é decrescente? e. Dê o domínio e o conjunto imagem de f f. Dê o domínio e o conjunto imagem de g 3) O gráfico ao lado representa a função f. a. Identifique o domínio e a imagem Identifique: f(-4); f(-2); f(0); f(1); f(3) Dê o intervalo em que a função é crescente Dê o sinal de f(-3); f(-2);f(1); f(2) Dê o intervalo em que f é positiva Dê o intervalo em que f é negativa

6 b. Identifique o domínio e a imagem Identifique: f(1); f(5); f(7) Identifique x f(x) = 4 Estime f(6) Dê o intervalo em que a função é crescente Dê o sinal de f(2); f(4,5);f( 2 3 ) c. Identifique o domínio e a imagem Identifique: f(-1); f( 5 7 ); f(3); f(2 7 ) Identifique x f(x) = 6 Estime f(4) Dê o intervalo em que f é negativa 4) O gráfico ao lado representa uma função f: A B. Determine: a. Domínio e imagem de f b. f(-4) c. f(-2) d. f(0) e. f(2) f. f(4) g. f(6) h. Dê o intervalo em que a função é crescente i. Dê os intervalos em que a função é positiva 5) Determine o domínio das seguintes funções: a. f(x) =3x-4 b. f(x) = x 2 -x +1 c. f(x) = 4 x 3 d. f(x) = x 4 e. f(x) = 2x 6 x x 6 f. f(x) = x 3