ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI

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1 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES NOME: N O : blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1

2 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de funções: - O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido; - A área de um quadrado é função da medida do seu lado; - O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores, da velocidade. Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em comum: - A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável dependente; - Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da variável dependente. As relações que têm essas características são chamadas de funções. Exemplos: 1) Nos itens abaixo, estão descritas algumas relações entre variáveis. Em cada caso, identifique a variável independente e a dependente. a) O número de refrigerante que uma pessoa compra e a quantia a ser paga. b) A duração de uma chamada telefônica e o custo da chamada. 2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa de R$ 6,00, denominada bandeirada mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado. Determine: a) A função que representa o preço P de uma corrida em função de x quilômetros rodados. b) O preço de uma corrida de 12 km. c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 2

3 DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função quando cada elemento x do conjunto A está associado a um, e somente um, elemento y do conjunto B. Indica-se por: f: A B Quando estas condições descritas na definição não forem satisfeitas, existirá apenas uma relação (R). Daí, concluímos que toda função é uma relação mas, nem toda relação e uma função. Observe os exemplos com diagramas: As figuras 1, 2 e 3 representam funções. Note que cada elemento do conjunto domínio A tem uma única chegada no conjunto contradomínio B. Chamamos de conjunto imagem (Im) aos elementos de B que se relacionaram com os elementos de A. No conjunto contradomínio pode sobrar elemento. A letra f acima do diagrama indica que a relação especial é uma função. fig.1 fig.2 fig.3 As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relações. Note que na fig. 4 alguns elementos de A têm duas chegadas em B, na fig. 5 sobrou um elemento de A sem relacionar-se com B e, finalmente, na fig. 6 um único elemento de A têm várias chegadas em B. A letra R acima do diagrama indica ser apenas uma relação. Exemplos fig.4 fig.5 fig.6 1) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relação expressa pela fórmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B. a) Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B. b) Se for uma função de A em B, determine o domínio, a imagem e o contra-domínio de f. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 3

4 2) Seja a função f: definida por f(x) = x 2-7x + 9. Determine: a) O valor de f(-1) b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1. 3) Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x 2 + a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o valor de a. 4) Dada a função f: definida por f(x) = ax + b, com a e b R. Determine a e b, sabendo que f(1) = 3 e f(2) = 5. DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL Quando trabalhamos com uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente. Em muitos casos, o domínio e o contradomínio não vêm explicitados, devemos, então, considerar como domínio o conjunto de todos os números reais que podem ser colocados no lugar da variável independente na fórmula da função, obtendo, após os cálculos, um número real, já, o contradomínio será os números reais. Exemplos 1) Encontrar o domínio das funções: a) f(x) = 3x 2-4x + 2 3x 5 b) f(x) = 2x 4 x 5 c) f(x) = 4x 4 d) f(x) = + x + 2 3x 3 x 4 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 4

5 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. O sistema de coordenadas ortogonais é composto por: - Duas reta perpendiculares entre si, onde a reta horizontal é o eixo x (abscissas) e a reta vertical o eixo y (ordenadas). - O cruzamento das duas retas é a origem do sistema. - As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes. O gráfico é conjunto de todos os pontos (x;y) do plano cartesiano, com x D e y Im. Para isso, consideremos os valores do domínio da função o eixo x e as respectivas imagens no eixo y. Exemplos: 1) Construir o gráfico das funções: a) f :A B, definida por f(x) = x + 2, sendo A = { -1; 0; 1; 2 } e B = { 1; 2; 3; 4; 5 } b) f: definida por f(x) = x + 2 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 5

6 ANALISANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes sobre o comportamento dessa função, como: - O domínio e a imagem. - Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados. - Os intervalos para os quais a função é crescente, decrescente ou constante. - Os intervalos para os quais a o valor da função é positivo e negativo. - O valor máximo ou mínimo que a função atinge. - O (s) valor (es) da(s) raiz( (es) da função. Como reconhecer quando um gráfico representa uma função Como para cada valor de x do domínio devemos ter em correspondência um único y do contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçadaa por pontos do domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto. Como determinar o domínio e a imagem da função - O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo x (abscissas) - A imagem de uma função é obtida pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo y (ordenadas) Exemplo D(f) = { x R/1 x 6} Im(f) = { y R / 2 y 5 } blog.portalpositivo.com.br/capitcar 6

7 Como determinar as raízes ou os zeros de uma função Graficamente a(s) raiz(es) de uma função é(são) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) onde o gráfico encontra o eixo x (abscissas). Exemplo Logo, os números 2 e 5 são as raízes ou os zeros da função Como determinar o intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante - Se aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da imagem, temos função crescente. - Se aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da imagem, temos função decrescente. Se aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da imagem, temos função constante. y constante crescente decrescente o x Valor máximo e Valor mínimo de uma função y máximo f(x 2) mínimo Valor máximo f(x 2 ) Valor mínimo f(x 1 ) f(x 1) o X 1 X 2 x blog.portalpositivo.com.br/capitcar 7

8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) (Unesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas. resp: 156 2,5n b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso. resp: 15 semanas 2) (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: C = 5(F - 32)/9,onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. resp: 95 b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? resp: 160 3) (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: resp: b a) f(x) = x 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x 4) (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por: a) C(n) = ,50 resp: c b) C(n) = n c) C(n) = n/ d) C(n) = ,50n e) C(n) = ( n)/2 5) (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso: resp: a a) T = 12,50 (12 - x) b) T = 12,50x c) T = 12,50x -12 d) T = 12,50 (x + 12) e) T = 12,50x ) (Puccamp) Durante um percurso de x km, um veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. Se a velocidade média desse veículo em movimento é de 60 km/h, a expressão que permite calcular o tempo, em horas, que ele leva para percorrer os x km é: resp: b a) (6x + 5)/6 b) (x + 50)/60 c) (6x + 5)/120 d) (x/60) + 50 e) x + (50/6) blog.portalpositivo.com.br/capitcar 8

9 7) Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. resp: a) R 1 é uma função dee A em B, D = A, Im = {0; 4; 16} b) não é função 8) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2} e B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, façaa o diagrama das relações abaixo, e diga, qual delas é uma função A em B. resp: b a) R 1 = {(x;y) AxB/ y = x 2 2 } b) R 1 = {(x;y) AxB/ y = 2x + 1 } 9) Dado o conjunto A = { -2; -1; 0; 1}, determine o conjunto imagemm da função f: A R definida por f( (x) = 1 x 2. resp: Im = { -3; 0; 1} 10) Seja a função f: R R a) f(4) resp: ) Dadas as funções f(x)= = x + 1 e g(x) = x 2-1, calcule f(6)+g(-2). resp: ) São dadas as funçõess f(x)= 3x+1 e g(x)= x + a. Sabendo qu ue f(1)-g(1)=, 5 3 calcule o valor de a. resp: 38/15 definida por f(x)= x 2-10x+8. Calcular: b) Os valores de x de modo que f(x)=-1. resp: 1 e 9 13) Dada a função f: R RR definida por f(x)= ax + b, com a, b R, calcule: a) a e b sabendo que f(1)=44 e f(-1)= -2; resp: a=3 e b=1 b) f(4). resp: 13 14) Dada a função f: R RR definida por f(x)= x 2 -x-12, determine a de modo f(a+1)=0. resp: -4 ou 3 15)Encontrar o domínio dass funções: a) y=3x+4 resp: D=R b) f(x)=x 2-3x+6 resp: D=R 3x + 9 2x + 5 5x 7 c) f(x)= resp: D=R-{-4} d) f(x) = + resp: D=R-{-3;-2} x + 4 4x + 8 x + 3 x x e) f(x)= - re esp: D=R-{-9;-7;9} f) f(x) = 3x 6 resp: D={x R/ x 2} x 2 81 x x 10 g) f(x)= + resp: D={x R/ x 5} 4x + 4 x ) Construa os gráficos das funções, e dê o domínio e a imagem: a) f: A B, definida por f(x)= x 2 +1, sendo A={-1,0,1} e B={1,2,3,4} b) f: A B, definida por f(x)= 3x+1, sendo A=[-1,2] e B=[-4;8] blog.portalpositivo.com.br/capitcar 9

10 c) f: A B, definida por f(x)=-4x, sendo A=]-2,1/2] e B=[-10,5] resp: a) y b) y c) y o 1 x x x -2 D={-1,0,1} e IM={1,2} D=[-1,2] e IM=[-2,7] D= =]-2,1/2] IM=[-2,8[ 17) Os gráficos abaixo representam gráficos de funções. a) y b) y c) y x o x o x o Resp: a, b e c 18) (Ufes) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 0 t 8, e esboce o gráfico da função P. Resp: P(t) = t ( 0 t 8 ) 19) (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico, podemos afirmar que: ( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária. ( ) 20 foi o ano de maior lucro. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 10

11 ( ) 25 foi um ano deficitário. ( ) 15 foi um ano de lucro. ( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano ) (Ufmg) Observe a figura. Resp: F V F F V Nessa figura, está representado o gráfico de y = f(x). Sendo g(x) = 1 - f(x), a única alternativa FALSA sobre a função g é a) g(x) = 0 para todo x 0. b) g(1) = 1. c) g(x) g(1) para todo x. d) g(a) < g(b) se 1 < a < b. e) não existe a lr tal que g(x) g(a) para todo x real. Resp: d 21) (Ufpe) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de três anos. O nível de 40 m foi atingido quantas vezes neste período? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resp: b blog.portalpositivo.com.br/capitcar 11

12 22) (Pucmg) Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio { x R / 1 x 1} e imagem {{ y R /1 y 3}. Resp: d 8. (Uel) Seja f a função de lr em lr definida por - x + 1, se x 0 f(x) = 1, se 0 < x 1 x, se x > 1 O conjunto imagem de f é a) ]-, 0] b) [1, + [ c) ]0, 1[ d) [0, + [ e) lr Resp: b 23) (Ufrrj) No gráfico a seguir, a imagem do intervalo [-1,2[ é: a) [1/2, 1[ U ]-2, 1] b) (1/2, 1] U [-2, 1[ c) [-1/2, 1] U ]1, 2[ d) [-1, 1/2] U ]1, 2[ e) [-1, 1/2] U [1, 2]. Resp: d 24) (Uff) O gráfico da função f está representado na figura: blog.portalpositivo.com.br/capitcar 12

13 Sobre a função f é FALSO afirmar que: a) f(1) + f(2) = f(3) b) f(2) = f(7) c) f(3) = 3f(1) d) f(4) - f(3) = f(1) e) f(2) + f(3) = f(5) Resp: e Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática blog.portalpositivo.com.br/capitcar 13