Leitura gráfica: domínio e image

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1 LEITURA GRÁFICA O que queremos com a LEITURA DE UM GRÁFICO? O nosso objetivo, quando temos o gráfico de uma função, é ver se é possível encontrar: domínio, imagem, pontos do domínio onde f (x) > a ou f (x) < b ou f (x) = c, imagem de um subconjunto do seu domínio através da função f e outras informações. Os exemplos a seguir, mostrarão através de gráficos, uma forma de encontrar essas informações. Mas fique tranquilo, uma vez compreendido esse processo, não será preciso repetir todos os passos quando for pedido que vocês façam um exercício desse tipo. LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM Leitura gráfica: domínio e image Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f? O número real a pertence ao domínio de uma função f se a reta vertical x = a corta o gráfico de f em um ponto (único). Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f? O número real b pertence à imagem de uma função f se a reta horizontal y = b corta o gráfico de f em pelo menos um ponto. 1 de 14

2 Assim, (a, b) = (a, f(a)) se a reta vertical x = a e a reta horizontal y = b se cruzam num ponto sobre o gráfico da função y = f(x) e assim, a Dom(f) e b Im(f) DOMÍNIO: Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no eixo x. Nos exemplos a seguir damos o gráfico de uma função e buscamos através dele o domínio dessa função. (1) Gráfico da função y = f(x) Projetando o gráfico da função no eixo x, vemos que o domínio da função f é o intervalo no eixo x indicado na figura em vermelho. Seu domínio é o intervalo fechado [ 1, 4]. Dom(f) = [ 1, 4] (2) Gráfico da função y = g(x) 2 de 14

3 Preste atenção na convenção: só não fazem parte de um gráfico os pontos indicados com "bolinha vazia. Projetando o gráfico da função no eixo x, vemos que o domínio da função g é o conjunto no eixo x indicado na figura em vermelho. Seu domínio é a seguinte união de intervalos disjuntos [ 7 2, 1) (1, 5]. Dom(g) = [ 7 2, 1) (1, 5] (3) Gráfico da função y = h(x) Projetando o gráfico da função no eixo x, vemos que o domínio da função h é o conjunto no eixo x indicado na figura em vermelho. Seu domínio é a seguinte união de intervalos disjuntos [ 7 2, 1) (2, 6]. Dom(h) = [ 7 2, 1) (2, 6]. IMAGEM: Dado um gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no eixo y. Nos exemplos a seguir damos o gráfico de uma função e buscamos através dele a imagem dessa função. 3 de 14

4 (1) Gráfico da função y = f(x) Projetando o gráfico da função no eixo y, vemos que a imagem da função f é o intervalo fechado no eixo y indicado na figura em vermelho. Sua imagem é o intervalo fechado [ 9 4, ]. Im(f) = [ 9 4, ] (2) Gráfico da função y = g(x) Projetando o gráfico da função no eixo y, vemos que a imagem da função g é o intervalo no eixo y indicado na figura em vermelho. Sua imagem é o intervalo ( 2, 5, 25]. Im(g) = ( 2, 5, 25] de 14

5 (3) Gráfico da função y = h(x) Projetando o gráfico da função no eixo y, vemos que a imagem da função h é o intervalo no eixo y indicado na figura em vermelho. Sua imagem é o intervalo ( 2, 5, 25]. Im(h) = ( 2, 5, 25]. OBSERVE que as funções y = g(x) e y = h(x) têm domínios diferentes, mas têm a mesma imagem. Dom(g) = [ 7 2, 1) (1, 5] Dom(h) = [ 7 2, 1) (2, 6] Im(g) = ( 2, 5, 25] Im(h) = ( 2, 5, 25]. Seria interessante voltar aos gráficos e observar porque isso acontece. Qual é o domínio e a imagem da função g cujo gráfico é dado ao lado? Como nesse exemplo não temos informações completas sobre a função g, não podemos responder qual é o domínio e a imagem dessa função. 5 de 14

6 COMO ENCONTRAR OS SEGUINTES CONJUNTOS: (a) A = {x Dom(f) f(x) < b } e B = {x Dom(f) f(x) b } Uma forma de encontrar o conjunto A é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está abaixo da reta horizontal y = b, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo x. Uma forma de encontrar o conjunto B é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está abaixo e sobre a reta horizontal y = b, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo x. (b) A = {x Dom(f) f(x) > a } e B = {x Dom(f) f(x) a } Uma forma de encontrar o conjunto A é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está acima da reta horizontal y = a, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo x. Uma forma de encontrar o conjunto B é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está acima e sobre a reta horizontal y = a, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo x. (c) A = {x Dom(f) a < f(x) < b } e B = {x Dom(f) a f(x) b } Uma forma de encontrar o conjunto A é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está entre as retas horizontais y = a e y = b, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo x. Uma forma de encontrar o conjunto B é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está entre e sobre as retas horizontais y = a e y = b, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo x. EXEMPLOS: (1) Dado o gráfico da função y = f(x), encontre o conjunto {x Dom(f) f(x) > 0 } Abaixo esboçamos a parte do gráfico da função y = f(x), que está acima da reta horizontal y = 0, eixo x. Em vermelho está a projeção no eixox da parte do gráfico que está acima da reta horizontal y = 0, eixo x. Logo, {x Dom(f) f(x) > 0 } = [ 1, 0) (0, 1,6) (3,7, 4] de 14

7 (2) Dado o gráfico da função y = h(x), encontre o conjunto {x Dom(f) 1 h(x) 3 } Ao lado esboçamos a parte do gráfico da função y = h(x), que está entre e sobre as retas horizontais y = 1 e y = 3. Em vermelho, está a projeção no eixox da parte do gráfico que está entre e sobre as retas horizontais y = 1 e y = 3. Logo, {x Dom(h) 1 h(x) 3 } = [ 3, 1) [2,6, 5,3] 7 de 14

8 Seja f A B uma função cujo domínio é o conjunto A R. Seja D A, um subconjunto do domínio da função f. Queremos saber: QUAL É A IMAGEM DO CONJUNTO D PELA FUNÇÃO f? O que isso quer dizer? Queremos saber qual é o seguinte conjunto: { f(x) x D Dom(f) }. Podemos denotar esse conjunto por f(d) Portanto, podemos dizer que f(d) = { f(x) x D Dom(f) } = imagem do conjunto D pela função f 8 de 14

9 EXEMPLO: (1) Dado o gráfico da função y = f(x) e o intervalo [1, 3] Dom(f), encontre a imagem de [1, 3] pela função f, ou seja encontre f([1, 3]). Em verde está o intervalo [1, 3] do eixo x contido no domínio da função f. Parte do gráfico da função restrita ao intervalo [1, 3] Dom(f), no eixo x Logo, Im ( [1, 3] ) = [ 9 4, 5 12 ] Projeção (em vermelho) no eixo y da parte do gráfico da função f restrita ao intervalo [1, 3] Dom(f) de 14

10 Seja f A B uma função cujo domínio é o conjunto A R. Seja E B, um subconjunto da imagem da função f. Queremos saber qual é o seguinte subconjunto do domínio da função f { x Dom(f) f(x) E } Dom(f). EXEMPLO: Em verde está o intervalo [ 2, 5 ] do eixo y contido na imagem da função f de 14

11 Parte do gráfico da função restrita ao Intervalo [ 2, 5 ] Im(f) no eixo y 3 12 Projeção (em vermelho) da parte do gráfico da função restrita ao intervalo [ 0, 4, 2] [3, 6, 3, 8] sobre o eixo x. Logo, { x Dom(f) f(x) [ 2 3, 5 ] Im(f) } = [ 0, 4, 2] [3, 6, 3, 8] de 14

12 E agora, aos exercícios: Exercício 1: Encontre uma lei de formação (fórmula) para cada uma das funções cujos gráficos estão abaixo. a) y = f(x) b) y = g(x) 12 de 14

13 Exercício 2: Dado o gráfico da função y f ( x) ao lado: a) Obtenha os valores de f ( 1), f (3), f (0) ; b) Estime o valor de f (2) ; OBSERVAÇÃO: estimar significa apresentar um valor aproximado ou um pequeno intervalo que contém o valor procurado. c) Encontre os valores de x para os quais f ( x) 2 ; d) Obtenha o domínio e a imagem de f. Exercício 3: Dado o gráfico das funções y f ( x), y g ( x) e y h( x) no mesmo par de eixos, faça o que se pede: a) Obtenha os valores de f (2), g (2), h (2) ; b) Para quais valores de x temos f ( x) g ( x)? c) Obtenha o domínio e a imagem de f ; d) Obtenha o domínio e a imagem de g ; e) Para quais valores de x f ( x) g ( x) ; f) Para quais valores de x h( x) f ( x) ; g) Sabendo-se que o gráfico da função h (em verde) é um segmento de reta, dê o seu domínio, a sua imagem e a sua lei de formação. Exercício 4: Dado o gráfico da função y f ( x) (em azul)e da função y g ( x) (em vermelho) no mesmo par de eixos e sabendo-se que em vermelho e em azul estão desenhados segmentos de reta, faça o que se pede: a) Dê uma lei de formação de cada função; b) Obtenha o domínio e imagem de cada função; c) Para quais valores de x temos f ( x) g ( x)? d) Para quais valores de x temos f ( x) g ( x) ; e) Para quais valores de x temos f ( x) g ( x) ; f) Encontre a solução da equação f ( x) 1 13 de 14

14 Exercício 4: Dado o gráfico da função y = f(x), encontre: (a) Domínio de f : Dom(f) (b) Imagem de f : Im(f) ; (c) D = { f(x) x [ 1, 2) (2, 4] Dom(f) } = f( [ 1, 2) (2, 4] ); (d) E = { x Dom(f) f(x) [ 3, 2) } (e) A = { x Dom(f) f(x) = 3 } ; (f) B = { x Dom(f) f(x) > 3 }. Bom trabalho! 14 de 14