Introdução às Funções

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Introdução às Funções Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Introdução às Funções 1.Conceito de função 2.Definição 3.Notação das funções 4.Domínio e imagem

3 1. Conceito de função Exemplos iniciais Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias de A em B: {(, ) / 1} 2 2 (, ) / R = x y A x B y = x + { } {(, ) / } 2 {(, ) / ( 1) 1} {(, ) / 2} S = x y A x B y = x T = x y A x B y = x V = x y A x B y = x W = x y A x B y = 3

4 1. Conceito de função Analisando cada uma das relações, temos: a) R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)} Para cada elemento x A, com exceção do 3, existe um só elemento y B tal que (x, y) R. Para o elemento 3 A, não existe y B tal que (3, y) R. 4

5 1. Conceito de função R A B 5

6 1. Conceito de função b) S = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (3, 3)} Para cada elemento x A, com exceção do 1, existe um só elemento y B tal que (x, y) S. Para o elemento 1 A, existem dois elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, 1) S e (1, -1) S. 6

7 1. Conceito de função S A B 7

8 1. Conceito de função c) T = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} Para todo elemento x A, sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x, y) T. 8

9 1. Conceito de função T A B 9

10 1. Conceito de função d) V = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)} Para todo elemento x A, sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x, y) V. 10

11 1. Conceito de função V A B 11

12 1. Conceito de função e) W = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)} Para todo elemento x A, sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x, y) W. 12

13 1. Conceito de função W A B 13

14 1. Conceito de função As relações T, V, W, que apresentam a particularidade: para todo x A existe um só y B tal que (x, y) pertence à relação, recebem o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B. 14

15 2. Definição Dados dois conjuntos A e B (*), não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x A existe um só y B tal que (x, y) f. ( x A y B x y f ) f é aplicação de A em B, / (, ) (*) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos15 formados de números reais, isto é, A e B contidos em. R

16 2. Definição Esquema de flechas Vejamos agora, com o auxílio do esquema das flechas, que condições deve satisfazer uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função). 16

17 2. Definição 1º) É necessário que todo elemento x A participe de pelo menos um par (x, y) f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha. 2º) É necessário que cada elemento x A participe de apenas um único par (x, y) f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha. Uma relação f não é aplicação (ou função) se não satisfizer uma das condições acima, isto é: 17

18 2. Definição 1º) se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou A f não é função B

19 2. Definição 2º) se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas. A f não é função B 19

20 2. Definição Gráfico cartesiano Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x, 0), em que x A, encontra sempre o gráfico de f em um só ponto. 20

21 2. Definição Exemplos R 1º) A relação f de A em, com { R } A = x / 1 x 3, representada a seguir, é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x A encontra sempre o gráfico de f num só ponto. 21

22 2. Definição y -1 3 x

23 2. Definição Exemplos R 2º) A relação f de A em, representada a seguir, em que { R } A = x / 2 x 2, não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos. 23

24 2. Definição y -2 2 x 24

25 2. Definição Exemplos R 3º) A relação f de A em, representada a seguir, em que { R } A = x / 0 x 4, R não é função de A em, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (1, 0) não encontra o gráfico de f. Observemos que f é função de B em em que: { R } B = x / 2 x 4, R 25

26 2. Definição y x 26

27 3. Notação das funções Toda função é uma relação binária de A em B; portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados. Geralmente, existe uma sentença aberta y = f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x A, determina-se y B tal que (x, y) f, então {( ) } f = x, y / x A, y B e y = f ( x). Isso significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de correspondência y = f(x). 27

28 3. Notação das funções Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B segundo a lei de correspondência y = f(x), usaremos uma das seguintes notações: f f : A B A B f : A B x f ( x) x f ( x) y = f ( x) 28

29 3. Notação das funções Exemplos f : A B y = 2x 1º) tal que é uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y = 2x. f : R R 2º) tal que é uma função que leva a cada x derum y der tal 2 que y = x. f : 3º) tal que + y = x R R y x é uma função que leva a cada x R um y Rtal que y = x. 2 = + 29

30 3. Notação das funções Imagem de um elemento Se (a, b) f, como já dissemos anteriormente, o elemento b é chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a, e indicamos: f(a) = b que se lê: f de a é igual a b. 30

31 3. Notação das funções Exemplo Seja a função f : R R x 2x + 1, então: a) a imagem de 0 pela aplicação f é 1, isto é: f (0) = = 1 b) a imagem de -2 pela aplicação f é -3, isto é: f ( 2) = 2 ( 2) + 1= 3 31

32 3. Notação das funções c) analogamente f f 1 1 = = ( ) 2 = f (0,7) = 2 0,7 + 1= 2,4 32

33 3. Notação das funções , ,4 x 2x + 1 R R 33

34 3. Notação das funções Exercício 1: Qual é a notação das seguintes funções de em? R R a) f associa cada número real ao seu oposto; b) g associa cada número real ao seu cubo; c) h associa cada número real ao seu quadrado menos um; d) k associa cada número real ao número 2.

35 3. Notação das funções Exercício 2: Qual é a notação das seguintes funções? a) f é função deq emq que associa cada número racional ao seu oposto adicionado com um; b) g é a função dez emq que associa cada número inteiro à potência de base 2 desse número; * c) h é a função der emr que associa cada número real ao seu inverso.

36 3. Notação das funções Exercício 3: Seja a função der emr definida por x 2 3x + 4. Calcular: a) f(2) b) f(-1) c) f(1/2) d) f(-1/3) e) f( 3) f) f( 1 2)

37 3. Notação das funções Exercício 4: Seja a função dez emz definida por f(x) = 3x - 2. Calcular: a) f(2) b) f(0) c) f(-3) d) f(3/2)

38 3. Notação das funções Exercício 5: Seja a função de R em R assim definida a) f(3) b) f(-3/7) c) f( 2) d) f( 4) e) f( 3 1) f) f(0,75) 1 se x f ( x) = x + 1 se x Q Q

39 3. Notação das funções Exercício 6: Seja a função der emr definida por 2x 3 f ( x) =. 5 Qual é o elemento do domínio que tem -3/4 como imagem?

40 3. Notação das funções { } Exercício 7: Seja a função f der 1 emr definida por 3x + 2 f ( x) =. x 1 Qual é o elemento do domínio que tem imagem 2?

41 3. Notação das funções Exercício 8: Quais são os valores do domínio da função real definida por f(x) = x 2 5x + 9 que produzem imagem igual a 3?

42 4. Domínio e imagem Considerando que toda função f de A em B é uma relação binária, então f tem um domínio e uma imagem. 42

43 4. Domínio e imagem Domínio Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x, y) f. Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções: isto é, domínio = conjunto de partida D = A. 43

44 4. Domínio e imagem Imagem Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A tal que (x, y) f; portanto: isto é, imagem é subconjunto do contradomínio Im B. 44

45 4. Domínio e imagem A B Im domínio contradomínio 45

46 4. Domínio e imagem Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos: Domínio (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f. 46

47 4. Domínio e imagem Imagem (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f. 47

48 4. Domínio e imagem Exemplos y y x -2-1 x { R / 2 1} { y R y } D = x x Im = / 0 4 { R / 2 3} { y R y } D = x x Im = /

49 4. Domínio e imagem Exemplos y 2 1 y 2 1 x x -2 { R / 0} D = x x Im = { y R / 2 < y < 0 ou 1< y < 2} Im = 1; 2 { R / 2 2} { } D = x < x < 49

50 4. Domínio e imagem Domínio das funções numéricas As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funções numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são subconjuntos de R. As funções numéricas são também chamadas funções reais de variável real. Observemos que uma função f fica completamente definida quando são dados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondência y = f(x). 50

51 4. Domínio e imagem Quando nos referimos à função f e damos apenas a sentença aberta y = f(x) que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais x cujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é, D é formado por todos os números reais x para os quais é possível calcular f(x). x D f ( x) R 51

52 4. Domínio e imagem Exemplos Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio. 1º) notando que para todo, temos: 2º) y y = 2x = x 2 2x R 2 x R D =R x R notando que para todo, temos: D =R x R 52

53 4. Domínio e imagem 3º) y = 1 x notemos que 1 x R * D =R diferente de zero; temos, então se, e somente se, x é real e 4º) y = x x R notando que não negativo; então: se, e somente se, x é real e D =R +

54 4. Domínio e imagem 5º) y = 3 x notando que para todo, temos: 3 x D =R x R

55 4. Domínio e imagem Exercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaixo: f

56 4. Domínio e imagem Exercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaixo: g

57 4. Domínio e imagem Exercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaixo: h

58 4. Domínio e imagem Exercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaixo: k

59 4. Domínio e imagem Exercício 10: Nos gráficos cartesianos das funções a seguir representadas, determinar o conjunto imagem.

60 4. Domínio e imagem y x

66 4. Domínio e imagem Exercício 11: Considerando que os gráficos a seguir representados são gráficos de funções, estabelecer o domínio e a imagem.

73 4. Domínio e imagem Exercício 12: Dar o domínio das seguintes funções reais: x + 2 a) f ( x) = 3x + 2 f) r( x) = x b) g( x) = g) s( x) = 2x 1 x + 2 x 1 1 c) h( x) = h) t( x) = 2 3 x 4 2x + 3 d) p( x) = x 1 i) u( x) = e) q( x) = 1 x x + 2 x 3