É um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. Origem. Continua

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1 RELAÇÕES

2 É um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. Origem Continua

3 Continuação O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Assim, o ponto (a,b), indicado na figura, tem abscissa a e ordenada b.

4 Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto A B(lê-se A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B ), cujos elementos são todos os pares ordenados ( xy, ), onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo, a B. A B= ( xy, ) x Aey B { } A = B = A B Observação: Se ou, então =.

5 1) A A= A 2 2) O produto cartesiano não é comutativo, isto é, se A B, então A B B A. ( ) 3) Se # A n e # B m, então # A B = nm. = ( ) = ( )

6 Considere o ponto P(a,b) no 1 o quadrante. Temos que o simétrico a P com relação: 1) ao eixo x é (a, b); 2) ao eixo y é ( a,b); 3) à origem é ( a, b); 4) à reta bissetriz do 1 o e 3 o quadrantes é (b,a).

7 Sejam os conjuntos A={1,2,3,4} e B={2,4,6,8}. A B= {( 1,2,1,4,1,6,1,8,2,2,2,4,2,6,2,8, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3,2,3,4,3,6,3,8,4,2,4,4,4,6,4,8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

8 Vamos considerar, agora, alguns subconjuntos desse produto cartesiano: R1 = ( xy, ) A B y = 2x { } Continua

9 Continuação R2 = ( xy, ) A B y= x { }

10 Exemplo Dados os conjuntos A = 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4 B = 0, 2, 4,6,8 { } { } determinar as seguintes relações de A em B: R R R = ( xy, ) A B y= 2x { } = ( xy, ) A B y= 2x+ 1 { } { 2 ( xy, ) A B y x} = = R = ( xy, ) A B y= x { }

11 Sejam os conjuntos A=[1,4] e B=[2,8]. A B ={(x, y) 1 x 4,2 y 8} R 1 ={(x, y) A B y = 2x} R 1

12 Definição: Seja R uma relação de A em B. ( ) Dom R Chama-se domínio de R o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é, x Dom R y B xy, R. ( ) ( ) ( ) Denomina-se imagem de R o conjunto Im R de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é, x Im R x A xy, R. ( ) ( )

13 Definição: Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto: { ( ) } 1 R = yx B A xy R (, ),. R B A 1 Como é subconjunto de, temos que é uma relação binária de B em A. Essa relação será denominada relação inversa de R.

14 Encontrar o domínio, a imagem e a relação inversa do Exemplo do Slide 14

15 FUNÇÕES

16 Sejam os conjuntos A={a,b,c,d} e B={e,f,g,h,i} e as relações binárias R 1, R 2, R 3, R 4 e R 5, representadas pelos conjuntos a seguir: Continua

17 Continuação a) b) c) Analisemos cada uma das relações: ( R 1 ) = { abc,, } Dom ( ),! B, tal que (, ) Dom A. x R y xy R! "significa um único" ( ) Dom R = A ( 2 ) ( ) 2, ica, pois (, ) e(, ) x Dom R, y B, tal que xy, R mas não é imagem ún ( ) Dom R = A. 3 ( ) ( ) x Dom R, y B, tal que xy, R 3 3 be R bg R 2 2 Continua

18 Continuação d) e) ( ) Dom R = A. 4 ( ) ( ) x Dom R,! y B, tal que xy, R 4 4 ( R 5 ) = ( ) ( ) Dom A. x Dom R,! y B, tal que xy, R 5 5 As relações R 3, R 4 e R 5 apresentam a particularidade de, para todo elemento de A, associar um único elemento de B. Essas relações recebem o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B ou, simplesmente, função de A em B.

19 Definição: Dados dois conjuntos AA, BB R, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B ou, simplesmente, função de A em B se, e somente se, para todo elemento x de A existir um único elemento y em B, tal que (xx, yy) ff. ( ) fé função de A em B x A,! y B, tal q ue xy, f

20 Exemplo: Vamos considerar, os conjuntos AA = 0,1,2,3 e BB = 1,0,1,2,3 e as seguintes relações binárias de AA em BB: RR = (xx, yy) AA BB yy = xx + 1 SS = (xx, yy) AA BB yy 2 = xx 2 TT = (xx, yy) AA BB yy = xx VV = (xx, yy) AA BB yy = xx WW = (xx, yy) AA BB yy = 2 Analise cada uma das relações.

21 Como toda função é uma relação binária de AA em BB, existe, geralmente, uma sentença aberta yy = ff(xx) que expressa a lei de correspondência entre os elementos dos dois conjuntos. Para indicar uma função ff, definida em AA com imagens em BB, segundo a lei de correspondência yy = ff(xx), usaremos a notação: f : A B x y = f( x) Por motivo de simplificação, muitas vezes usaremos somente a lei de correspondência, yy = ff(xx), para indicar a função, ficando claro que xx AA R e y BB R, sendo f uma função de A em B.

22 Seja f : A B uma função. x y = f( x) Definimos DD ff = DDDDDD ff = AA como o domínio; CCCC ff = BB o contradomínio e IIII ff CCCC ff = BB o conjunto imagem da função f. Como a função é uma relação, esse conceito é uma extensão do anterior. Para determinar o domínio (leia-se o maior domínio ) de uma função procuramos qual o maior conjunto possível AA R que satisfaça a lei de correspondência definida (lembremo-nos de que, para termos uma função, todos os elementos do conjunto A têm de estar associados a um elemento em B).

23 Se (aa, bb) ff, o elemento bb é chamado imagem de aa pela aplicação ff ou valor de ff no elemento aa, e indicamos ff aa = bb que se lê ff de aa é igual a bb. Zero de uma função é todo xx cuja imagem é nula; isto é, ff xx = 0. xx é zero de yy = ff(xx) ff xx = 0