( r, s) S r s r s sendo S plano euclidiano. RELAÇÕES

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1 RELAÇÕES 1. Produto cartesiano Sejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todo os pares ordenados ( xy, ) com x A e y B. Notação: A B ( x, y) x A e y B. Relação binária Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto de A B. Se ( xy, ) indicamos por x y e ( xy, ) indicamos por x y.. Domínio e imagem Seja uma relação binária de A em B. Denomina-se domínio de o subconjunto de A, dos elementos de x A para os quais existe algum y em B com x y. Denomina-se imagem de o subconjunto de B, dos elementos de y B para os quais existe algum x em A com x y. Im y B x A: x y 4. Propriedades das relações Seja A B. i) Reflexiva Dizemos que é reflexiva se x ( x A x x ) ou x ( x A ( x, x ) ) Exemplo 1: Mostremos que as relações dadas são reflexivas. a) Seja ( a, a),( b, b),( c, c),( a, c),( b, a ) sobre A a, b, c. é reflexiva, pois a a, b b ec c. b) Seja c) Seja ( x, y) x y é reflexiva, pois para x, x x ( r, s) S r s r s sendo S plano euclidiano. é reflexiva, pois para r S, r r 1

2 ii) Simétrica Dizemos que é simétrica se, e somente se x, y A ( x y y x ). Exemplo : Mostremos que as relações dadas são simétricas. a) Seja ( a, a),( b, b),( a, b),( b, a) sobre A a, b. é simétrica, pois a b b a. b) Seja a relação de perpendicularidade definida por: (, ) r s S r s r s sendo S plano euclidiano. é simétrica, pois r s s r. Dizemos que é transitiva se, e somente se ( x, y, z)(( x y e y z) x z ). Exemplo : Mostremos que a relação ( a, a),( a, b),( b, c),( a, c ) sobre A a, b, c é transitiva. iv) Anti-simétrica é transitiva pois, ( a b e b c) a c. Dizemos que é anti-simétrica se, e somente se x, y A (( x y e y x) x y ) ou equivalente x, y A ( x y ( x y ou y x )). Exemplo 4: Mostremos que a relação ( a, a),( b, b),( a, b),( a, c) sobre A a, b, c é antisimétrica. A sentença ( a b e b a) a b é verdadeira, pois F F é verdadeira. Exemplo : A relação ( a, a),( b, b),( a, b),( b, a),( c, c) sobre A a, b, c não é anti-simétrica. Não é anti-simétrica pois, a b ( a b e b a ). Observação: Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades por meio dos diagramas.

3 Reflexiva: Em cada ponto do diagrama deve ter um laço. Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas. a b a b c c d Transitiva: Todo par de flechas consecutivas deve existir uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda. Anti-simétrica: Não há flechas com duas pontas. a b a b c d c d. Relação de equivalência Uma relação sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e somente se, for reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 6: A relação ( a, a),( b, b),( c, c),( c, a),( a, c) sobre A a, b, c é de equivalência pois, valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 7: Seja A. A relação definida por x y x y, x, y é de equivalência. A relação é reflexiva pois, ( x)( x x x ) A relação é simétrica pois, ( x, y )( x y y x )

4 A relação é transitiva pois, ( x, y, z )( x y e y z) x z ) Exemplo 8: A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim ( r, s S)( r s r s ) A relação é reflexiva pois, ( r)( r S r r ) A relação é simétrica pois, ( r, s S)( r s s r ) A relação é transitiva pois, ( r, s, t S)( r s e s t) r t ). Exercícios de Aplicação 1: Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir. 1) ( a, a),( b, b),( c, c),( c, a) sobre A a, b, c iv) Anti-simétrica ) ( a, a),( a, b) sobre A a, b iv) Anti-simétrica 4

5 ) ( a, a),( b, b),( b, a) sobre A a, b iv) Anti-simétrica 4) ( a, a),( b, b),( c, c),( a, b),( b, a ) sobre A a, b, c iv) Anti-simétrica ) Seja ( x, y) x y 1, quais propriedades são válidas para as relação. iv) Anti-simétrica 6. Classe de equivalência Seja uma relação de equivalência sobre A. Dado a A, denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A formado dos elementos x tal que x a. Simbolicamente a x A x a

6 7. Conjunto quociente O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por A / Exemplo 9: A relação ( a, a),( b, b),( c, c),( c, a),( a, c) sobre A a, b, c é de equivalência.determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim: a a, c,pois, a a e a c e c a b b,pois, b b c c, a,pois, c c e a c e c a, logo podemos ver que a classe a c, assim temos duas classes, e indicamos por: A/ a, b a, c, b Exemplo 10: Seja a relação de equivalência sobre A a, b, c, d, e, f ( a, a),( b, b),( a, b),( b, a),( c, c),( d, d),( d, e),( e, d),( e, e),( e, f ),( f, e),( f, f ),( f, d),( d, f ) Determinemos suas classes de equivalência. a a, b,pois, a a e a b e b a c c pois, c c d d, e, f pois, d d e d f e d e,... e escrevemos o conjunto quociente: A/ a, b, c d, e, f 8. Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A se, e somente se 1) ( r)( B ) r r s B B ou B B ) Se r s r s ) n r 1 B r A Exemplo 11: Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que A a, b, c, d, e, f e A/ a, b, c d, e, f, assim A / forma uma partição de A pois. Denominando 6

7 B a, b 1 B c B d, e, f, tem-se ( r)( B ) r r 1 B r Ae a intersecção de dois a dois é sempre vazia e Exemplo 1: Sejam A e definida por ( a, b) ( c, d) a d b c. a) Verifique se é uma relação de equivalência. b) Caso afirmativo dar a classe de (,). Deixamos a cargo do leitor a demonstração a)( a, b) ( c, d) a d b c ( c, d) ( e, f ) c f d e, adicionando membro a membro e simplificando tem-se; ( a f b e) ( a, b) ( e, f ), logo é transitiva e portanto é uma relação de equivalência. b) Classe de (,) = x, y ( x, y ) (,) = x, y x y = (,),(1,),(,4),... Exercícios de aplicação 0: * 1)Sejam A e definida por ( a, b) ( c, d) ad bc. a) Verifique se é uma relação de equivalência b) Caso afirmativo, dar a classe de (,). 7

8 ) Seja a relação de equivalência sobre definida por n m n m i i, i 1 a) Verifique se é uma relação de equivalência b) Caso afirmativo dar /. ) Seja * f :,definida por f ( x) 1 x. a) Mostre que * (, ) ( ) ( ) equivalência. a b af b bf a é de b) Caso afirmativo dar a classe. 4)Sejam A e definida por ( a, b) / a b.(lê-se divide a-b) a) Verifique se é uma relação de equivalência. b) Caso afirmativo, dar / 8

9 ) Seja A a, b, c, d, complete o quadro Relação Reflexiva Simétrica transitiva = ( a, a),( b, b),( c, c),( d, d ) = ( a, c),( c, a),( c, c),( a, d ) = ( a, a),( b, b),( a, b),( b, a),( b, d),( d, b ) 6) Seja a relação de equivalência sobre (conjunto dos números complexos)definida por ( x yi) ( z ti) x y z t, i 1 Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por i 7) Seja f :, e a relação * ( a, b) af ( b) bf ( a ) a) Mostre que é de equivalência. b)sendo f ( x) x, dar a classe. 8) Em, definimos a relação de equivalência por ( x, y) ( a, b) k x ka e y kb Descreva geometricamente 9

10 9. Relação de ordem Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relação é de ordem parcial sobre A se, e somente se, for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades: i) é reflexiva se x ( x A x x ) ii) é anti-simétrica se, e somente se x, y A (( x y e y x) x y ) iii) é transitiva se, e somente se ( x, y, z)(( x y e y z) x y ). Notação: Se a b e é uma relação de ordem parcial escrevemos a b, lê-se a precede b ou a antecede b Se a relação é de ordem parcial sobre A, então dizemos que A é parcialmente ordenado. Elementos comparáveis Se a relação é de ordem parcial sobre A. Os elementos a e b de A, se dizem comparáveis se 10. Ordem total a b ou b a. Se a relação é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é, a b ou b a, então é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente ordenado. Exemplo 1: Sejam A e a relação definida por x y x y (menor ou igual é uma relação de ordem total, denominada ordem habitual). Mostremos que é uma relação de ordem total. i) é reflexiva, pois x ( x x x ) ii) é anti-simétrica, pois x, y (( x y e y x) x y ) iii) é transitiva, pois ( x, y, z )(( x y e y z) x z ). Portanto é de ordem parcial sobre. Verifiquemos se é de ordem total; x, y (se x, y x y ou y x ),logo é de ordem total. 11. Limites superiores e inferiores Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação. Seja B um subconjunto de A. Chamamos de limite superior de B a todo elemento L A x L, x B Chamamos de limites inferior de B a todo elemento l A l x, x B 10

11 1. Máximo e Mínimo Sejam B A e uma relação de ordem parcial. Se L B, então L é máximo. Se l B, então l é mínimo. 1. Supremo e Ínfimo Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação. Seja B um subconjunto de A. Chama-se supremo de B o mínimo do conjunto dos limites superiores de B (caso exista) Chama-se ínfimo de B o máximo do conjunto dos limites superiores de B (caso exista). 11. Boa ordem é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo Exemplo 1: Sejam, A ] 1,] e a ordem habitual. Determinar a) Limites superiores de A, LS(A)= L L b) Máximo de A, Max(A)= c) Supremo de A, Sup(A)= d) Limites inferiores de A, LI(A)= l l 1 e) Mínimo de A, não existe Min(A) f) Ínfimo de A, Inf(A)= 1 Exemplo 14: Sejam A a, b, c, d, e e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os conjuntos indicados. ( no diagrama vê-se que a c) a b c e d a) Max(A)= a b) Sup(A)= a c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe 11

12 Exemplo 1: Seja A 1,,,4,,6,7,8 e B,6,7, diagrama Em A consideremos a pré-ordem definida pelo Determinar i) a) LS(B)={7} b) Max(B)={7} c) Sup(B)= {7} d) LI(B)={,4,,8 } c) Min(B) ={} d) Inf(B)= {,4,,8} ii) B é parcialmente ordenado (justifique) a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado. b) Transitiva: Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda. c) Anti-simétrica: Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto B. ( 7 7 ) 7, F F é verdadeira. Analogamente para e 6 e 6 e 7. iii) B é totalmente ordenado (justifique) Como B é pré-ordenado, devemos verificar se todos os elementos de B são comparáveis ou (V) ou (V) ou (V), logo, é totalmente ordenado. 1

13 Exercícios de aplicação 0: 1) Seja A 1,,,4,,6,7,8,9,10 e B,, pelo diagrama Em A consideremos a pré-ordem definida 10 8 Determinar i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)={ } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( B, ) é totalmente ordenado? )Seja A 1,,,4,,6,7 e B 4,,7 diagrama. 7. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } e) Min(B) ={ } f) Inf(B)= { } ii) ( B, ) é totalmente ordenado? (justifique) iii) O que se deve fazer para ser ( B, ) parcialmente ordenado 1

14 iv) ( B, ) é bem ordenado se todos seus subconjuntos têm mínimo. Verifique se B é bem ordenado. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. )Seja A 1,,,4, e B 1,, 1 4 Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( B, ) é totalmente ordenado? (justifique) 4) Seja A 1,,,4,,6,7,8 e B 0,1,, diagrama Em A consideremos a pré-ordem definida pelo 8 4 Determine 1) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) = { } d) Inf(B)= { } ) ( B, ) é totalmente ordenado? (justifique) 14

15 Exercícios de aplicação 04: 1) Seja {( x, y) x( x 1) y( y 1)}. a) Determinar x 1, tal que x. b) Verifique se é anti-simétrica. ) Seja f :, e a relação dada por ( a, b) f ( a) f ( b) a b a) Verifique se é uma relação de equivalência b) Sendo f ( x) x 1, determinar. ) Em, definimos a relação de por ( x, y) ( x, y ) y y ( x x ) a) Verifique se é de equivalência b) Descreva geometricamente 1

16 4) Em, definimos a relação de por ( x, y) ( x, y ) y y ( x x ) a) Verifique se é de equivalência b) Determine ( k,0), k. c) Descreva geometricamente * ) Sejam A e relação de equivalência definida por ( a, b) ( c, d) a b c d. Determine os valores de k, para que (, k) ( k 1,) 16

17 Exercícios de aplicação 04: 1) Seja A 1,,,4,,6 e B,,4 A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 1 4 B. Em Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( B, ) é parcialmente ordenado? 6 iii) ( B, ) é totalmente ordenado? ) Seja A 1,,,4,,6 e B,4, A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. B. Em Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } 6 ii) ( B, ) é parcialmente ordenado? 1 4 iii) ( B, ) é totalmente ordenado? 17

18 ) Seja A 1,,,4,,6,7,8 e B,,,8. Em A consideremos a préordem definida pelo diagrama. 8 B Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } 7 ii) ( B, ) é parcialmente ordenado? iii) ( B, ) é totalmente ordenado 4) Seja A 1,,,4,,6 e B 1,,6 A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 4 6 B. Em Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( B, ) é parcialmente ordenado? 1 18

19 ) Em A { a,, c, d, e, f }, considere a préordem definida pelo diagrama que segue b c a B Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( B, ) é parcialmente ordenado? d e f B não é boa ordem, eliminando qual B passa a ser boa ordem? iii) (, ) seta (, ) Seja A 1,,,4,,6,7,8 e B,6,7,. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( B, ) é parcialmente ordenado? 19

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