1. GENERALIDADES. binária fechada em S que satisfaz

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1 1. GENERALIDADES Neste capítulo, apresentamos os conceitos e resultados que entendemos serem necessários à compreensão dos restantes capítulos desta dissertação. Optamos por não apresentar as demonstrações dos resultados, pois podem ser encontradas em qualquer livro básico da Teoria de Semigrupos, tais como [5] e [6]. 1.1 Semigrupos. Definições Básicas Definição 1.1. Um semigrupo é um par (S, ) onde S é um conjunto não vazio e é uma operação binária associativa em S, i.e., é uma operação binária fechada em S que satisfaz x (y z) = (x y) z x, y, z S À operação costumamos chamar operação de multiplicação. Caso não haja ambiguidades relativamente à multiplicação com que estamos a operar, podemos omitir o seu símbolo e, em vez de escrever x y, podemos simplesmente escrever xy. Na mesma situação de não ambiguidade, referimo-nos ao semigrupo S em vez de (S, ). De seguida, apresentamos alguns exemplos de semigrupos. Exemplo 1.1. O conjunto dos números naturais, quando algebrizado pela adição usual, é um semigrupo. O mesmo acontece com os conjuntos dos inteiros, dos inteiros relativos, dos racionais, dos reais e dos complexos. Exemplo 1.2. O conjunto dos inteiros N 0, algebrizado com a multiplicação a, b N 0 a b = [a + b],

2 2 1. Generalidades onde [ ] representa a característica de um número, é um semigrupo. De facto, este semigrupo não é mais do que o semigrupo apresentado no exemplo anterior. No entanto, se considerarmos esta mesma operação binária no conjunto dos números racionais, não obtemos um semigrupo, pois (1 0, 99) 0, 01 = [[1 + 0, 99] + [0, 01]] = 1 2 = [[1] + [0, , 01]] = 1 (0, 99 0, 01). Exemplo 1.3. Sejam S = {e, a, f, b} e definida pela tabela e a f b e e a f b a a e b f. f f b f b b b f b f Então, (S, ) é um semigrupo, uma vez que a operação binária é associativa, pois e(ee) = ee = e e (ee)e = ee = e e(ea) = ea = a e (ee)a = ea = a e(ef) = ef = f e (ee)f = ef = f e(eb) = eb = b e (ee)b = eb = b e(ae) = ea = a e (ea)e = ae = a e(aa) = ee = e e (ea)a = aa = e e(af) = eb = b e (ea)f = af = b e(ab) = ef = f e (ea)b = ab = f e(fe) = ef = f e (ef)e = fe = f e(fa) = eb = b e (ef)a = fa = b e(ff) = ef = f e (ef)f = ff = f e(fb) = eb = b e (ef)b = fb = b

3 1.1. Semigrupos. Definições Básicas 3 e(be) = eb = b e (eb)e = be = b e(ba) = ef = f e (eb)a = ba = f e(bf) = eb = b e (eb)f = bf = b e(bb) = ef = f e (eb)b = bb = f Do mesmo modo, se verificam as restantes 48 hipóteses: a(ee) = (ae)e a(ea) = (ae)a a(ef) = (ae)f b(ba) = (bb)a b(bf) = (bb)f b(bb) = (bb)b. Definição 1.2. Um semigrupo S diz-se comutativo se xy = yx x, y S. Exemplo 1.4. Todos os semigrupos apresentados no exemplo 1.1 são comutativos. Definição 1.3. Seja S um semigrupo. Se existe em S um elemento 1 tal que 1x = x1 = x x S, esse elemento 1 diz-se identidade de S e S diz-se um semigrupo com identidade ou monóide. Exemplo 1.5. O semigrupo (N, +) não admite elemento identidade, mas o semigrupo (N, ) admite 1 como elemento identidade.

4 4 1. Generalidades Definição 1.4. Seja S um semigrupo sem elemento identidade. Dado 1 / S, definimos, no conjunto S {1}, a operação por x y = xy se x, y S, x 1 = 1 x = x se x S, 1 1 = 1. Proposição 1.1. Sejam S um semigrupo e 1 S. Então, S {1}, com a operação definida anteriormente, é um semigrupo. Na sequência da proposição anterior, apresentamos a seguinte definição. Definição 1.5. Dado um semigrupo S, define-se S se S tem identidade S 1 = S {1} se S não tem identidade. A este semigrupo chama-se monóide obtido de S juntando a identidade se necessário. Exemplo 1.6. Quando consideramos o semigrupo (N, +), temos que N 0 = N 1. Definição 1.6. Seja S um semigrupo. Se S tem um elemento 0 tal que x0 = 0x = 0 x S, então 0 diz-se zero de S e S diz-se um semigrupo com zero. Exemplo 1.7. O conjunto N 0, quando algebrizado com a multiplicação usual de inteiros, é um semigrupo com zero. Definição 1.7. Seja S um semigrupo sem elemento zero e 0 S. Definimos em S {0}, a operação por x y = xy se x, y S x 0 = 0 x = 0 0 = 0 se x S.

5 1.1. Semigrupos. Definições Básicas 5 Proposição 1.2. Seja S um semigrupo sem elemento zero. Então, (S {0}, ), onde é a operação definida anteriormente, é um semigrupo com zero. Definição 1.8. Dado um semigrupo S, definimos S se S tem zero S 0 = S {0} se S não tem zero A este semigrupo chamamos semigrupo obtido de S juntando o elemento zero se necessário. Exemplo 1.8. Considerando o semigrupo (N, ), temos que N 0 = N 0. Proposição 1.3. Se um semigrupo S tem identidade, então ela é única. Proposição 1.4. Se um semigrupo S admite um zero, então ele é único. Definição 1.9. Se e S tal que e 2 = e, então e diz-se idempotente. Nem todos os elementos de um semigrupo S são idempotentes. Representase por E(S) ou E o conjunto dos idempotentes de S. Exemplo 1.9. Se considerarmos o semigrupo (N 0, +), temos que E(N 0 ) = {0}. Exemplo O conjunto dos idempotentes de (S, ), em que S = {e, a, f, b} e é a operação definida no exemplo 1.3, é E = {e, f}. Definição Sejam S e T semigrupos. Uma aplicação φ : S T diz-se: 1. um morfismo de semigrupos se φ(xy) = φ(x)φ(y); 2. um isomorfismo de semigrupos se φ é um morfismo e uma bijecção.

6 6 1. Generalidades 1.2 Subsemigrupos Definição Seja S um semigrupo. Um subconjunto não vazio T de S diz-se um subsemigrupo de S se x, y T xy T. Exemplo Seja S = {e, a, f, b} o semigrupo apresentado no exemplo 1.3. Então, T = {e, a} é um subsemigrupo de S. Existem algumas caracterizações de um subsemigrupo de um semigrupo. Uma delas resulta imediatamente da definição de subsemigrupo: um subsemigrupo de um semigrupo não é mais do que um semigrupo contido no semigrupo, tendo estes dois semigrupos, obviamente, neles definida a mesma operação. Outra das caracterizações envolve o seguinte conceito. Definição Sejam S um semigrupo e A, B subconjuntos não vazios de S. Chama-se produto dos subconjuntos A e B de S, e representa-se por AB, ao subconjunto de S definido por AB = {ab : a A, b B}. Se A = {a}, representamos AB por ab e BA por Ba. Neste contexto podemos afirmar que um subconjunto não vazio T de um semigrupo S é um subsemigrupo se e só se T T T. Definição Seja S um semigrupo. Um subconjunto não vazio I de S diz-se 1. Um ideal à esquerda de S se SI I; 2. Um ideal à direita de S se IS I; 3. Um ideal de S se SI I e IS I.

7 1.2. Subsemigrupos 7 Definição Sejam S um semigrupo. próprio de S se I é tal que Um ideal I de S diz-se ideal 1. {0} I S se 0 S; 2. I S se 0 / S. Proposição 1.5. Sejam S um semigrupo e I um ideal à esquerda (respectivamente, ideal à direita, ideal) de S. Então, I é um subsemigrupo de S. O recíproco desta proposição nem sempre é verdadeiro. A ilustar esta afirmação apresentamos o seguinte exemplo: Exemplo Consideremos o semigrupo (Z, +). O subconjunto N é um subsemigrupo de Z, mas não um seu ideal, já que, por exemplo, 2 N, 4 Z e 2 + ( 4) = ( 4) + 2 N. Proposição 1.6. A intersecção de dois ideais de um semigrupo ou é vazia ou é um ideal. Na sequência da definição de S 1, usamos as seguintes notações: S 1 a = Sa {a} as 1 = as {a} S 1 as 1 = asa as Sa {a} Proposição 1.7. Sejam S um semigrupo e a S. Então, 1. S 1 a é o menor ideal à esquerda de S que contém a; 2. as 1 é o menor ideal à direita de S que contém a; 3. S 1 as 1 é o menor ideal de S que contém a. Exemplo Considere-se o semigrupo apresentado no exemplo 1.3. Neste semigrupo, o menor ideal que contém o elemento e é o próprio S, já que S 1 e = S. No que diz respeito ao elemento f, o menor ideal à esquerda que contém f é {f, b}.

8 8 1. Generalidades 1.3 Relações de equivalência. Relações de Green Dado X φ um conjunto qualquer, representa-se por β(x) o conjunto das relações binárias de X, i.e., o conjunto de todos os subconjuntos de X X. Definição Uma relação binária ρ β(x) diz-se : 1. reflexiva se x S xρx; 2. simétrica se 3. anti-simétrica se x, y S xρy yρx; x, y S xρy e yρx x = y; 4. transitiva se x, y, z S xρy e yρz xρz. Definição Uma relação binária ρ β(x) diz-se uma equivalência se for reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo Dado um conjunto qualquer X, a relação identidade de X, 1 X = {(x, x) : x X}, é uma relação de equivalência. Exemplo Dado um conjunto qualquer X, a relação universal de X, ω X = X X, é uma relação de equivalência. Definição Seja S um semigrupo. Uma relação binária ρ de S diz-se: 1. compatível à esquerda se x, y, a S, (x, y) ρ (ax, ay) ρ; 2. compatível à direita se x, y, a S, (x, y) ρ (xa, ya) ρ;

9 1.3. Relações de equivalência. Relações de Green 9 3. compatível se x, y, a, b S, (x, y), (a, b) ρ (xa, yb) ρ. Definição Uma relação de equivalência num semigrupo S, diz-se uma 1. congruência à esquerda se for compatível à esquerda; 2. congruência à direita se for compatível à direita; 3. congruência se for compatível. Exemplo Dado um semigrupo S, a relação identidade 1 S é uma congruência. Exemplo Dado um semigrupo S, a relação universal ω S é uma congruência. Proposição 1.8. Uma relação de equivalência num semigrupo é uma congruência se e só se for uma congruência à direita e uma congruência à esquerda. Terminámos a secção anterior a falar dos menores ideais que contêm um determinado elemento de um semigrupo. Estes ideais, também apelidados de ideais gerados por esse elemento, permitem definir, no semigrupo, algumas relações de equivalência. Essas relações foram introduzidas por J.A. Green, pelo que ficaram conhecidas por relações de Green. Embora as relações de Green sejam cinco no total, aqui iremos apresentar apenas duas, a relação L e a relação R, pois são estas que iremos usar mais tarde. Sejam S um semigrupo. Definimos a relação de Green L em S por, dados a, b S, alb a e b geram o mesmo ideal à esquerda S 1 a = S 1 b.

10 10 1. Generalidades Exemplo Consideremos o semigrupo (S, ), com S = {e, a, f, b} e definida no exemplo 1.3. Neste semigrupo, L = {(e, a), (a, e), (f, b), (b, f)} 1 S, uma vez que S 1 = S S 1 e = S S 1 a = S S 1 f = {f, b} S 1 b = {f, b}. Proposição 1.9. A relação L num semigrupo S é uma equivalência compatível à direita. Estamos em condições de falar em classes de equivalência. Representamos por L a a L-classe do elemento a S. Definimos a relação de Green R em S por, dados a, b S, arb a e b geram o mesmo ideal à direita as 1 = bs 1. Exemplo Consideremos novamente o semigrupo (S, ) apresentado no Exemplo 1.3. Neste semigrupo, R = {(e, a), (a, e), (f, b), (b, f)} 1 S, uma vez que S 1 = S es 1 = S as 1 = S fs 1 = {f, b} bs 1 = {f, b}

11 1.4. Relações de ordem. Semigrupos ordenados 11 Proposição A relação R é uma equivalência compatível à esquerda. De modo análogo, representamos por R a a R-classe do elemento a S No resultado seguinte apresentamos uma caracterização das duas relações de Green. Proposição Sejam S um semigrupo e a, b S. Então, 1. alb x, y S 1 : xa = b e yb = a; 2. arb u, v S 1 : au = b e bv = a. 1.4 Relações de ordem. Semigrupos ordenados Definição Seja X um conjunto não vazio. Uma relação ρ β(x) diz- -se uma ordem parcial em X se for simultaneamente uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Exemplo A relação identidade 1 X, definida num conjunto não vazio X por a 1 X b a = b (a, b X), é uma relação de ordem parcial. A relação universal ω X, definida num conjunto não vazio X por ( a, b X) a ω X b é uma ordem parcial em X se e só se X for singular. Se ρ é uma relação de ordem parcial e, dados x, y X, escrevemos x y ou y x se (x, y) ρ e dizemos que x é menor ou igual que y ou que y é maior ou igual que x. Mais ainda, usamos a notação x < y ou y > x sempre que x y mas x y. Neste caso, dizemos que x é menor que y ou que y é maior que x. Escrevemos x y, e dizemos que x precede y, se x < y e x z y = z = x ou z = y (z X),

12 12 1. Generalidades i.e., não existe z X tal que x < z < y. Por último, escrevemos a b se a b e b a e dizemos que a e b não são comparáveis. Podemos representar um conjunto finito X no qual está definido uma ordem por um diagrama do seguinte modo: cada elemento de X é representado por um ponto no plano; para x, y X, se x y então o ponto que representa y está acima (em termos de coordenadas cartesianas do plano) do ponto que representa x e unem-se estes dois pontos por um segmento de recta. A este diagrama dá-se o nome de diagrama de Hasse. É comum utilizar este conceito na representação de conjuntos parcialmente ordenados infinitos, quando a relação de ordem pode ser subentendida a partir da representação da relação existente entre um número finito de elementos. Sejam X um conjunto não vazio no qual está definida uma ordem e Y X. Um elemento x X diz-se majorante de Y se minorante de Y se ( y Y ) y x; ( y Y ) x y; supremo de Y se é o menor dos majorantes de Y ; ínfimo de Y se é o maior dos minorantes de Y ; máximo de Y se x Y e é supremo de Y ; mínimo de Y se x Y e é ínfimo de Y ; um elemento maximal de Y se x Y e ( y Y ) x y y = x;

13 1.5. Semigrupos regulares 13 um elemento minimal de Y se x Y e ( y Y ) y x y = x. Definição Uma ordem definida num semigrupo S diz-se compatível com a multiplicação se x y, z w xz yw x, y, z, w S. Se é compatível em S, S diz-se um semigrupo ordenado. Um semigrupo ordenado S munido com a relação de ordem parcial pode ser representado por (S, ). Exemplo O semigrupo (Z, +) é ordenado quando pensamos na ordem usual de números inteiros. Se tivermos em consideração esta ordem, podemos afirmar que o semigrupo (Z, ) não é um semigrupo ordenado. Sejam S um semigrupo e E(S) o conjunto dos seus idempotentes. relação definida em E por A e f e = ef = fe, (e, f E(S)) é uma relação de ordem em E, a qual se chama ordem parcial natural em E(S). Assim, faz sentido a seguinte definição. Definição Um semigrupo ordenado (S, ) diz-se um semigrupo naturalmente ordenado se estende a ordem natural em E(S), i.e., e f e f. 1.5 Semigrupos regulares Definição Seja S um semigrupo. Um elemento a S diz-se regular se existe x S tal que axa = a. Ao elemento x chama-se associado de a e representamos por A(a) o conjunto dos associados do elemento a.

14 14 1. Generalidades Exemplo No semigrupo (Z, +), todos os elementos são regulares pois, para todo x Z, temos que x = x + ( x) + x. Além disso, x é o único associado de x, para cada x S. Exemplo No semigrupo S apresentado no exemplo 1.3, temos que A(e) = {e}, A(a) = {a}, A(f) = {e, f} e A(b) = {a, b}. Exemplo No semigrupo (N, +) não existe qualquer elemento regular e no semigrupo (N 0, +) o único elemento que é regular é o elemento 0, com A(0) = {0}. Definição Um semigrupo diz-se regular se todos os seus elementos forem regulares. Exemplo Na sequência dos exemplos anteriores, podemos afirmar que os semigrupos (Z, +) e (S, ) apresentado no exemplo 1.3 são regulares. Observe-se que, num semigrupo regular, existem sempre idempotentes. De facto, se x S e x A(x), então, xx e x x são idempotentes de S. Assim, num semigrupo regular, podemos sempre ter em conta o seu subconjunto não vazio E. No entanto, este subconjunto não é, como já vimos, necessariamente um subsemigrupo de S. Faz então sentido o seguinte conceito. Definição Um semigrupo regular S diz-se ortodoxo se o produto de dois quaisquer idempotentes é ainda um idempotente. Exemplo O semigrupo S apresentado no Exemplo 1.3 é ortodoxo, uma vez que E(S) = {e, f} é um subsemigrupo de S.

15 1.5. Semigrupos regulares 15 De entre os associados de um elemento de um semigrupo, há alguns que se destacam, satisfazendo a seguinte definição. Definição Sejam S um semigrupo e a S. Um elemento x S diz-se um inverso de a se axa = a e xax = x. Representamos por V (a) o conjunto dos inversos de a. Resulta da definição que, num semigrupo, um elemento a é inverso de um elemento b se e só se a é associado de b e vice-versa, pelo que, a é inverso de b se e só se b é inverso de a. Exemplo No semigrupo (Z, ), os únicos elementos que admitem inverso são o 1 e -1, sendo os inversos eles próprios. Exemplo No semigrupo S apresentado no Exemplo 1.3, qualquer elemento admite inverso. Muitas são as propriedades que se podem enunciar e demonstrar para semigrupos regulares. Destacamos aqui o próximo resultado, que data de 1972 e é atribuído a Fitz-Gerald. Proposição Seja n N. Se E é o conjunto de idempotentes de um semigrupo regular S, então V (E n ) = E n+1. Definição Um semigrupo diz-se inverso se todo o elemento de S admite um e um só inverso. Dado x S, representamos o único inverso de x em S por x 1. Resulta da definição que um semigrupo inverso é um semigrupo regular, mas o recíproco não é verdadeiro. Exemplo O semigrupo (S, ) apresentado no exemplo 1.3 é inverso. Exemplo O semigrupo (Z, +) é inverso. Exemplo O semigrupo (N, +) não é regular, pelo que não é inverso.

16 16 1. Generalidades O resultado apresentado de seguida estabelece as condições em que um semigrupo regular é um semigrupo inverso. Proposição Seja S um semigrupo regular. Então, S é inverso se e só se E(S) é um subsemigrupo de S comutativo. Esta proposição leva-nos de imediato ao seguinte resultado. Proposição Um semigrupo inverso é um semigrupo ortodoxo. Um semigrupo inverso pode também ser caracterizado usando as relações de Green. Proposição Seja S um semigrupo regular. Então, S é inverso se e só se todas as L-classes e as R-classes têm exactamente um idempotente. Dado um semigrupo S e e E(S), o subconjunto ese de S é claramente um subsemigrupo de S. Mais ainda, se S é regular, ese é também regular, pois para x ese e x A(x), temos que x = xx x = (xe)x (ex) = x(ex e)x, pelo que ex e A(x) ese. Na sequência desta observação, faz sentido apresentar o seguinte conceito. Definição Um semigrupo S diz-se localmente inverso se ese é um semigrupo inverso, para todo e E. Exemplo Um semigrupo inverso é obviamente um semigrupo localmente inverso. Proposição Seja S um semigrupo regular naturalmente ordenado. Então, S é localmente inverso.

17 1.6. Semigrupos completamente simples e completamente 0-simples 17 Um semigrupo localmente inverso pode ser caracterizado usando um subconjunto do conjunto dos idempotentes desse semigrupo. Este resultado é devido a McAlister. Definição Sejam S um semigrupo regular e e, f E(S). Chamamos conjunto sanduíche de e e f ao conjunto S(e, f) = {g V (ef) E : ge = fg = g}. Prova-se que, num semigrupo regular, o conjunto sanduíche de dois quaisquer idempotentes é não vazio e que S(e, f) = {g E(S) : g = ge = fg, egf = ef} é uma caracterização alternativa deste subconjunto de idempotentes. Proposição Sejam S um semigrupo regular e E o seu conjunto de idempotentes. Então, S é localmente inverso se e só se o conjunto sanduíche de dois quaisquer idempotentes de S é singular. Quando o conjunto sanduíche é singular, identificamos, por abuso de linguagem, o conjunto com o seu elemento. 1.6 Semigrupos completamente simples e completamente 0-simples Definição Um semigrupo S diz-se simples se não tem ideais próprios. Definição Um semigrupo S com zero diz-se 0-simples se 1. {0} e S são os únicos ideais de S; 2. S 2 {0}.

18 18 1. Generalidades Considerando a ordem natural no conjunto dos idempotentes de um semigrupo com zero S, concluímos imediatamente que o elemento zero é o idempotente mínimo de S. De facto, 0 E(S) e, para todo e E(S), 0 = 0e = e0, pelo que 0 e. Os idempotentes que são elementos minimais de E\{0} dizem-se primitivos. Assim, um idempotente primitivo e é tal que ef = fe = e 0 e = f. Definição Um semigrupo simples S diz-se completamente simples se admite um idempotente primitivo. A proposição seguinte caracteriza estes semigrupos. Proposição Seja S um semigrupo sem elemento zero. Então, as seguintes condições são equivalentes: S é completamente simples; S é regular e satisfaz a lei do cancelamento fraco, i.e., para todo a, b, c S, [ca = cb e ac = bc] a = b. S é regular e todos os seus idempotentes são primitivos. S é regular e a relação de ordem natural reduz-se à relação identidade. Definição Um semigrupo 0-simples S diz-se completamente 0-simples se admite um idempotente primitivo. Rees estabeleceu uma caracterização destes semigrupos que de seguida apresentamos. Teorema 1.1. Sejam G um grupo e I, Λ conjuntos não vazios. Seja P = (p λi ) uma matriz do tipo Λ I com entradas em G {0} tal que nenhuma

19 1.6. Semigrupos completamente simples e completamente 0-simples 19 linha ou coluna é toda nula. No conjunto S = (I G Λ) {0} defina-se a operação binária (i, ap λj b, µ) se p λj 0 (i, a, λ)(j, b, µ) = 0 se p λj = 0 (i, a, λ)0 = 0(i, a, λ) = 0 0 = 0 Então, S é um semigrupo completamente 0-simples. Reciprocamente, qualquer semigrupo completamente 0-simples é isomorfo a um semigrupo construído deste modo. O semigrupo S representa-se por M 0 [G; I, Λ; P ] e é chamado o semigrupo de matrizes de Rees sobre o grupo G com a matriz sanduíche P.

20 20 1. Generalidades

21 2. SEMIGRUPOS REGULARES PRINCIPALMENTE ORDENADOS Neste capítulo, estudamos uma subclasse da classe dos semigrupos regulares ordenados: os semigrupos regulares principalmente ordenados. Começamos por apresentar a definição deste tipo de semigrupos e seguimos com algumas propriedades. Definição 2.1. Um semigrupo ordenado diz-se principalmente ordenado se, para todo x S, existe x = max {y S : xyx x}. Representamos por S o conjunto {x : x S}. Proposição 2.1. Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e V (x) o conjunto dos inversos de x S. Então, x V (x) x x. Demonstração: Comecemos por observar que x V (x) xx x = x. Assim, podemos concluir que x S : xx x x, pelo que x x = max {y S : xyx x}.

22 22 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados Proposição 2.2. Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, x = xx x. Demonstração: Seja x S. Por um lado, da proposição anterior, se x V (x), então x = xx x xx x. Por outro lado, x S é tal que xx x x. Estamos então em condições de concluir que x = xx x. Proposição 2.3. Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, x xx é o maior inverso de x. Demonstração: De facto, pela proposição anterior, temos que x xx V (x), uma vez que x x xx x = xx x x x = x x x (pela Proposição 2.2) = x (pela Proposição 2.2) Se x V (x), então x = x xx x xx (pela Proposição 2.1). Logo, x = x xx é o maior inverso de x. Dada a importância deste inverso máximo neste trabalho, para cada x S, representamos x xx por x. Proposição 2.4. Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, xx = xx é o maior idempotente em R x. Demonstração: Seja x S. Então, xx = xx x x xx (pelas Proposições 2.2 e 2.3) = xx xx x x = xx x x (pela Proposição 2.2) = xx x x = xx (pela Proposição 2.2)

23 23 Também pela Proposição 2.2, x e xx são R relacionados pois x = (xx )x. Se e é um idempotente que é R relacionado com x, então temos que e = xy e x = ez para algum y, z S. Segue-se que, xyx = xy x = e x = e ez = e 2 z = ez = x. Em particular, xyx x, x S e, portanto, y x. Logo, e = xy xx, pelo que xx é o maior idempotente em R x. O dual do resultado que acabámos de enunciar e demonstrar pode ser também enunciado e demonstrado para a relação de Green L. Proposição 2.5. Sejam S um semigrupo regular e x S. Então, x x = x x é o maior idempotente em L x. De seguida, apresentamos e provamos mais algumas propriedades. Proposição 2.6. Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, x = x. Demonstração: Seja x S. Observe-se que, y x x yx x (por definição de x ) x xx y x xx x xx (pela Proposição 2.3) x x xx y x xx x x x xx x xx x x yx xx x xx x x x x x yx x x x x (pela Proposição 2.2) x x yx x x (pela Proposição 2.2) x yx x (por definição de x ) y x (por definição de x )

24 24 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados Proposição 2.7. Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, x x e x x. Demonstração: Seja x S. Pela Proposição 2.3, x xx = x é o maior inverso de x e, pela Proposição 2.1, x V (x) x x. Então, x xx x, isto é, x x (por definição de x ). Ainda pela Proposição 2.3, x xx = x é o maior inverso de x pelo que x é inverso de x. Então, x é menor que o maior inverso de x, i.e., x x. Proposição 2.8. Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, x = x. Demonstração: Seja x S. Por um lado, pela Proposição 2.7, temos que x (x ) = x. Por outro lado, dado y S, xyx x x.xyx.x x.x.x x.xyx.x x (pela Proposição 2.2) x.x xyxx.x x.x.x xx x.y.xx x xx x xyx x (pela Proposição 2.2). Logo, xyx x xyx x. Como, pela Proposição 2.7, x x, temos que xyx x xyx x. Então, xyx x xyx x. ( )

25 25 Novamente pela Proposição 2.7, x x e, pela Proposição 2.2, x = xx x, donde xx x x x x = x. Assim, como xx x x, por ( ), temos que xx x x. Logo, por definição de, x x. Estamos então em condições de concluir que x = x. Proposição 2.9. Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, x = x. Demonstração: Para x S temos que x = (x ) = x x x (pela Proposição 2.3) = x x x (pela Proposição 2.8) = x (pela Proposição 2.2). Proposição Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, x x. Demonstração: O resultado vem do facto de, para x S, termos que x = (x ) = x x x (pela Proposição 2.3) = x x x (pela Proposição 2.6) x x x (pelas Proposições 2.3 e 2.1) = x x x (pela Proposição 2.8) = x (pela Proposição 2.2).

26 26 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados A última propriedade que apresentamos vai revelar-se de grande importância e utilidade no futuro. Proposição Sejam S um semigrupo regular principalmente ordenado e x S. Então, x = x. Demonstração: Seja x S. Então, x = x xx (pela Proposição 2.3) = x x x xx x x (pela Proposição 2.2) = x x x xx x x (pela Proposição 2.6) = x x x x x (pela Proposição 2.3) = x x x (pela Proposição 2.3) = x x x (pela Proposição 2.8) = x x x (pela Proposição 2.6) = x x x (pela Proposição 2.6) = (x ) (pela Proposição 2.2) = x. De seguida apresentamos alguns exemplos de semigrupos regulares principalmente ordenados. Exemplo 2.1. No conjunto ordenado cartesiano S = { (x, y, z) Z 3 : 0 y x } define-se uma multiplicação por (x, y, z) (a, b, c) = (sup {x, a}, y, z + c) ((x, y, z), (a, b, c) S)

27 27 O conjunto S, quando algebrizado por esta multiplicação, é um semigrupo, uma vez que a multiplicação definida em S é associativa. De facto, [(x 1, y 1, z 1 ) (x 2, y 2, z 2 )] (x 3, y 3, z 3 ) = (sup {x 1, x 2 }, y 1, z 1 + z 2 ) (x 3, y 3, z 3 ) = (sup {sup {x 1, x 2 }, x 3 }, y 1, (z 1 + z 2 ) + z 3 ) = (sup {x 1, x 2, x 3 }, y 1, z 1 + z 2 + z 3 ) e (x 1, y 1, z 1 ) [(x 2, y 2, z 2 ) (x 3, y 3, z 3 )] = (x 1, y 1, z 1 ) (sup {x 2, x 3 }, y 2, z 2 + z 3 ) = (sup {x 1, sup {x 2, x 3 }}, y 1, z 1 + (z 2 + z 3 )) = (sup {x 1, x 2, x 3 }, y 1, z 1 + z 2 + z 3 ) Mais ainda, S é um semigrupo ordenado. De facto, se (a 1, a 2, a 3 ), (b 1, b 2, b 3 ) S são tais (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ), temos, para qualquer (c 1, c 2, c 3 ) S, que (a 1, a 2, a 3 ) (c 1, c 2, c 3 ) = (sup {a 1, c 1 }, a 2, a 3 + c 3 ) (sup {b 1, c 1 }, b 2, b 3 + c 3 ) (por hipótese) = (b 1, b 2, b 3 ) (c 1, c 2, c 3 ) e (c 1, c 2, c 3 ) (a 1, a 2, a 3 ) = (sup {c 1, a 1 }, c 2, c 3 + a 3 ) (sup {c 1, b 1 }, c 2, c 3 + b 3 ) (por hipótese) = (c 1, c 2, c 3 ) (b 1, b 2, b 3 ). Continuando a estudar as propriedades de S, concluímos que S é um semigrupo regular, porque, para (x, y, z) S, temos que (x, y, z) (x, x, z) (x, y, z) = (sup {x, x}, y, z z) (x, y, z) = (x, y, 0) (x, y, z) = (sup {x, x}, y, 0 + z) = (x, y, z).

28 28 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados Os idempotentes de S são da forma (x, y, 0), pois (x, y, z) (x, y, z) = (x, y, z) (sup {x, x}, y, z + z) = (x, y, z) (x, y, 2z) = (x, y, z) (x, y, z) = (x, y, 0) Além disso, o conjunto dos idempotentes de S, E(S), é um subsemigrupo de S, já que (x, y, 0), (a, b, 0) E(S) (x, y, 0)(a, b, 0) = (sup{x, a}, y, 0 + 0) (x, y, 0)(a, b, 0) = (sup{x, a}, y, 0) (x, y, 0)(a, b, 0) E(S). Podemos então concluir que S é ortodoxo. Por último, temos também que S é um semigrupo principalmente ordenado, visto que (x, y, z) (a, b, c) (x, y, z) (x, y, z) (sup {x, a}, y, z + c) (x, y, z) (x, y, z) (sup {x, a, x}, y, z + c + z) (x, y, z) (sup {x, a}, y, 2z + c) (x, y, z) a x e 2z + c z a x e c z 2z a x e c z (a, b, c) (x, x, z) Logo, para todo (x, y, z) S, (x, y, z) = (x, x, z) S. Mais ainda, prova-se facilmente que, em S, (x, y, z) = (x, y, z), isto é, (x, y, z) (x, y, z)(x, y, z) = (x, y, z), para qualquer (x, y, z) S. De facto,

29 29 (x, y, z) (x, y, z)(x, y, z) = (x, x, z)(x, y, z)(x, x, z) = (sup {x, x}, x, z + z)(x, x, z) = (x, x, 0)(x, x, z) = (sup {x, x}, x, 0 z) = (x, x, z) = (x, x, z), (x 1, x 2, x 3 ) S Exemplo 2.2. Sejam G um grupo ordenado com elemento neutro 1 e x G tal que 1 < x. Seja M = M (G; I, Λ; P ) o semigrupo regular de matrizes de Rees sobre G com I = Λ = {1, 2} e a matriz sanduíche P = x A multiplicação em M é definida por. (i, a, λ) (j, b, µ) = (i, ap λj b, µ). O conjunto dos idempotentes de M é E = {e, f, g, h} onde visto que e = (1, x, 1), f = (2, 1, 2), g = (2, 1, 1), h = (1, 1, 2), (i, a, λ)(i, a, λ) = (i, a, λ) (i, ap λi a, λ) = (i, a, λ) ap λi a = a p λi = a 1.

30 30 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados Consideremos, agora, o semigrupo E gerado por este conjunto de quatro idempotentes. Convencionando x 0 = 1, temos E = {(i, x n, λ) : i, λ {1, 2}, n Z}. Pela Proposição 1.12, o conjunto V (E n ) dos inversos de elementos de E n é E n+1. Estamos então em condições de concluir que E é regular. Consideremos agora em E a relação definida por: n = m, i i, λ λ (i, x n, λ) (i, x m, λ ) ou n + 1 = m, i i ou n + 1 = m, λ λ ou n + 1 < m A relação é uma ordem parcial em E. De facto, a relação é: (i) reflexiva. Para (i, x n, λ) E n, temos que n = n, i i, λ λ, pelo que (i, x n, λ) (i, x n, λ); (ii) anti-simétrica. Sejam (i, x n, λ), (i, x m, λ ) E n tais que (i, x n, λ) (i, x m, λ ) e isto é, (i, x m, λ ) (i, x n, λ), n = m, i i, λ λ ou n + 1 = m, i i ou n + 1 = m, λ λ ou n + 1 < m

31 31 e m = n, i i, λ λ ou m + 1 = n, i i ou m + 1 = n, λ λ ou m + 1 < n Se n + 1 = m então m n, m + 1 = n + 2 n e m + 1 = n + 2 n Se n + 1 < m então m n e m + 1 > n + 2 > n. Logo, n = m, i i, λ λ e i i, λ λ, isto é, n = m, i = i, λ = λ ; (iii) transitiva. Sejam (i, x n, λ), (i, x m, λ ), (i, x p, λ ) E n tais que e (i, x n, λ) (i, x m, λ ) (i, x m, λ ) (i, x p, λ ) n = m, i i, λ λ ou n + 1 = m, i i ou n + 1 = m, λ λ ou n + 1 < m m = p, i i, λ λ ou m + 1 = p, i i ou m + 1 = p, λ λ ou m + 1 < p Se n = m, i i, λ λ e m = p, i i, λ λ então n = p, i i, λ λ. Se n = m, i i, λ λ e m + 1 = p, i i então n + 1 = p, i i. Se n = m, i i, λ λ e m + 1 = p, λ λ então n + 1 = p, λ λ. Se n = m, i i, λ λ e m + 1 < p então n + 1 < p. Se n + 1 = m, i i e p = m, i i, λ λ, então n + 1 = p, i i. Se n + 1 = m, i i e m + 1 = p, i i, então n + 1 = m < m + 1 = p, isto é, n + 1 < p.

32 32 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados Se n + 1 = m, i i e m + 1 = p, λ λ, então n + 1 = m < m + 1 = p, isto é, n + 1 < p. Se n + 1 = m, i i e m + 1 < p, então n + 1 = m < m + 1 = p. Se n + 1 = m, λ λ e p = m, i i, λ λ, então n + 1 = p, λ λ. Se n + 1 = m, λ λ e m + 1 = p, i i, então n + 1 = m < m + 1 = p, isto é, n + 1 < p. Se n+1 = m, λ λ e m+1 = p, λ λ, então n+1 = m < m+1 = p, isto é, n + 1 < p. Se n + 1 = m, λ λ e m + 1 < p, então n + 1 = m < m + 1 = p. Se n + 1 < m e m = p, i i, λ λ, então n + 1 < p. Se n + 1 < m e m + 1 = p, i i, então n + 1 < m < m + 1 < p. Se n + 1 < m e m + 1 = p, λ λ, então n + 1 < m < m + 1 < p. Se n + 1 < m e m + 1 < p, então n + 1 < m < m + 1 < p. Estamos em condições de concluir que n = p, i i, λ λ ou n + 1 = p, i i, ou n + 1 = p, λ λ ou n + 1 < p isto é, (i, x n, λ) (i, x p, λ ). Para representarmos esta ordem num diagrama de Hasse, precisamos de estudar a relação entre os elementos e(= eg = he), f(= f h = gf), h(= eh = hf), g(= ge = fg), fe, ef, fef, efe, fefe, efef, etc., gh, hg, ghg, hgh, ghgh, hghg, etc.: Comparemos e = (1, x, 1) e f = (2, 1, 2). Temos que i = 2 > 1 = i, λ = 2 > 1 = λ e n = 1 > 0 = m, ou seja, m + 1 = n. Mas i i e λ λ. Logo, e f. Comparemos f = (2, 1, 2) e g = (2, 1, 1).

33 33 Temos que i = 2 = i, m = n = 0 e λ = 2 > 1 = λ, pelo que g < f. Comparemos e = (1, x, 1) e g = (2, 1, 1). Como i = 1 2 = i, λ = 1 = λ e n = 1 > m = 0, temos que m + 1 = n e λ λ e, portanto, g < e. Comparemos e = (1, x, 1) e h = (1, 1, 2). Temos que i = 1 = i, λ = 1 < 2 = λ e n = 1 > m = 0. m + 1 = n e i i, pelo que h < e. Assim, Comparemos h = (1, 1, 2) e g = (2, 1, 1). Como i = 1 < 2 = i, λ = 2 > 1 = λ, então n = m e i i, mas, λ λ, portanto h e g não são comparáveis. Comparemos f = (2, 1, 2) e h = (1, 1, 2). Temos que i = 2 > 1 = i, λ = 2 = λ e m = n = 0. Então, n = m, i i e λ λ, pelo que h < f. Estamos então em condições de concluir que o diagrama de Hasse que representa os quatro idempotentes de E e a sua relação de ordem é e = (1, x, 1) f = (2, 1, 2) h = ((1, 1, 2) g = (2, 1, 1) Para prosseguir, calculemos todos os produtos com dois factores de dois dos quatro idempotentes: ef = (1, x, 1)(2, 1, 2) = (1, xp 12 1, 2) = (1, x 1 1, 2) = (1, x, 2) eg = (1, x, 1)(2, 1, 1) = (1, xp 12 1, 1) = (1, x 1 1, 1) = (1, x, 1) = e eh = (1, x, 1)(1, 1, 2) = (1, xp 11 1, 2) = (1, x.x 1 1, 2) = (1, 1, 2) = h fe = (2, 1, 2)(1, x, 1) = (2, 1p 21 x, 1) = (2, 1 1 x, 1) = (2, x, 1) fg = (2, 1, 2)(2, 1, 1) = (2, 1p 22 1, 1) = (2, 1 1 1, 1) = (2, 1, 1) = g

34 34 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados fh = (2, 1, 2)(1, 1, 2) = (2, 1p 21 1, 2) = (2, 1 1 1, 2) = (2, 1, 2) = f ge = (2, 1, 1)(1, x, 1) = (2, 1p 11 x, 1) = (2, 1 x 1 x, 1) = (2, 1, 1) = g gf = (2, 1, 1)(2, 1, 2) = (2, 1p 12 1, 2) = (2, 1 1 1, 2) = (2, 1, 2) = f gh = (2, 1, 1)(1, 1, 2) = (2, 1p 11 1, 2) = (2, 1 x 1 1, 2) = (2, x 1, 2) he = (1, 1, 2)(1, x, 1) = (1, 1p 21 x, 1) = (1, 1 1 x, 1) = (1, x, 1) = e hf = (1, 1, 2)(2, 1, 2) = (1, 1p 22 1, 2) = (1, 1 1 1, 2) = (1, 1, 2) = h hg = (1, 1, 2)(2, 1, 1) = (1, 1p 22 1, 1) = (1, 1 1 1, 1) = (1, 1, 1) Comparemos ef = (1, x, 2) e e = (1, x, 1) Como i = 1 = i, λ = 2 > 1 = λ e m = n = 1, concluímos que n = m, i i e λ λ e, portanto, e < ef. Comparemos ef = (1, x, 2) e f = (2, 1, 2). Temos que i = 1 < 2 = i, λ = 2 = λ e n = m + 1. Assim, m + 1 = n e λ λ, pelo que f < ef. Comparemos fe = (2, x, 1) e e = (1, x, 1). Para estes elementos, temos que i = 2 > 1 = i, λ = 1 = λ e m = n. Então, m = n, i i e, portanto, e < fe. Comparemos fe = (2, x, 1) e f = (2, 1, 2). Como i = 2 = i, λ = 1 < 2 = λ e n = m + 1, temos que m + 1 = n, i i e λ λ. Logo, f < fe. Comparemos fe = (2, x, 1) e ef = (1, x, 2). Temos que i = 2 > 1 = i, λ = 1 < 2 = λ, e m = n. Então, m = n, i i. Mas, λ λ. Logo, fe ef. Comparemos hg = (1, 1, 1) e h = (1, 1, 2). Como i = 1 = i, λ = 1 < 2 = λ e m = n, temos que m = n, λ λ e i i e, portanto, hg < h. Comparemos hg = (1, 1, 1) e g = (2, 1, 1). Temos que i = 1 < 2 = i, λ = 1 = λ e m = n, pelo que m = n, λ λ e

35 35 i i. Assim, hg < g. Comparemos gh = (2, x 1, 2) e h = (1, 1, 2). Para estes elementos, temos i = 2 > 1 = i, λ = 2 = λ e n + 1 = m. Então, n + 1 = m e λ λ. Portanto, gh < h. Comparemos gh = (2, x 1, 2) e g = (2, 1, 1). Como i = 2 = i, λ = 2 > 1 = λ e n + 1 = m, temos n + 1 = m e i i, pelo que gh < g. Comparemos gh = (2, x 1, 2) e hg = (1, 1, 1). Para estes elementos, temos que i = 2 > 1 = i, λ = 2 > 1 = λ e m + 1 n. Então, i i e λ λ. Mas, m + 1 n, pelo que gh e hg não são comparáveis. Considerando a transitividade da relação de ordem, podemos afirmar que as relações de ordem entre os elementos até agora estudados podem ser representadas pelo diagrama de Hasse ef = (1, x, 2) fe = (2, x, 1) e = (1, x, 1) f = (2, 1, 2) h = (1, 1, 2) g = (2, 1, 1) hg = (1, 1, 1) gh = (2, x 1, 2) Continuemos, calculando os produtos com três factores definidos em {e, f, g, h}: efe = (1, x, 2)(1, x, 1) = (1, x p 2 1 x, 1) = (1, x 1 x, 1) = (1, x 2, 1) fef = (2, x, 1)(2, 1, 2) = (2, x p 1 2 1, 2) = (2, x 1 1, 2) = (2, x, 2) hgh = (1, 1, 1)(1, 1, 2) = (1, 1 p 1 1 1, 2) = (1, 1 x 1 1, 2) = (1, x 1, 2) ghg = (2, x 1, 2)(2, 1, 1) = (2, x 1 p 2 2 1, 1) = (2, x 1 1 1, 1) = (2, x 1, 1) Qualquer outro produto de três idempotentes é igual a um dos produtos de dois idempotentes já apresentados. Comparemos efe = (1, x 2, 1) e ef = (1, x, 2).

36 36 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados Como i = 1 = i, λ = 1 < 2 = λ e m + 1 = n, temos que m + 1 = n e i i, pelo que ef < efe. Comparemos efe = (1, x 2, 1) e fe = (2, x, 1). Temos que i = 1 < 2 = i, λ = 1 = λ e m + 1 = n. Então, m + 1 = n e λ λ e, portanto, fe < efe. Comparemos efe = (1, x 2, 1) e fef = (2, x, 2). Como i = 1 < 2 = i, λ = 1 < 2 = λ e m + 1 = n, temos que m + 1 = n. Mas, i i nem λ λ. Logo, efe e fef não são comparáveis. Comparemos fef = (2, x, 2) e fe = (2, x, 1). Temos que i = 2 = i, λ = 2 > 1 = λ e m = n. Então m = n, i i e λ λ, pelo que fe < fef. Comparemos fef = (2, x, 2) e ef = (1, x, 2). Como i = 2 > 1 = i, λ = 2 = λ e m = n, temos que m = n, i i e λ λ e, portanto, ef < fef. Comparemos hgh = (1, x 1, 2) e hg = (1, 1, 1). Temos que i = 1 = i, λ = 2 > 1 = λ e n + 1 = m. Assim, n + 1 = m e i i, pelo que hgh < hg. Comparemos hgh = (1, x 1, 2) e gh = (2, x 1, 2). Temos que i = 1 < 2 = i, λ = 2 = λ e m = n, ou seja, m = n, i i e λ λ, pelo que hgh < gh. Comparemos hgh = (1, x 1, 2) e ghg = (2, x 1, 1). Temos que i = 1 < 2 = i, λ = 2 > 1 = λ e m = 1 = n. Então, m = n e i i. Mas, λ λ e, portanto, hgh ghg. Comparemos ghg = (2, x 1, 1) e hg = (1, 1, 1). Como i = 2 > 1 = i, λ = 1 = λ e n + 1 = m, temos que n + 1 = m e λ λ. Assim, ghg < hg. Comparemos ghg = (2, x 1, 1) e gh = (2, x 1, 2). Como i = 2 = i, λ = 1 < 2 = λ e m = n, temos que m = n, i i e

37 37 λ λ. Portanto, ghg < gh. Repetindo o raciocínio para produtos de 4, 5, etc. idempotentes, concluímos que a ordem em E é definida pelo diagrama de Hasse efef = (1, x 2, 2) fefe = (2, x 2, 1 efe = (1, x 2, 1) fef = (2, x, 2) ef = (1, x, 2) fe = (2, x, 1) e = (1, x, 1) f = (2, 1, 2) h = (1, 1, 2) g = (2, 1, 1) hg = (1, 1, 1) gh = (2, x 1, 2) hgh = (1, x 1, 2) ghg = (2, x 1, 1) hghg = (1, x 1, 1) ghgh = (2, x 2, 2) Provemos agora que E é um semigrupo ordenado. Sejam (i, x n, λ), (i, x m, λ ) E tais que (i, x n, λ) (i, x m, λ ). Pretendemos mostrar que, para qualquer (j, x k, µ) E, (i, x n, λ)(j, x k, µ) (i, x m, λ )(j, x k, µ) e (j, x k, µ)(i, x n, λ) (j, x k, µ)(i, x m, λ ). Comecemos por comparar (i, x α, µ) = (i, x n, λ)(j, x k, µ) = (i, x n p λ j x k, µ) e (i, x β, µ) = (i, x m, λ )(j, x k, µ) = (i, x m p λ jx k, µ). 1. Se m = n, i i e λ λ então x α = x n p λj x k = x m p λj x k e x β = x m p λ jx k. Se λ λ podemos ter as seguintes situações:

38 38 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados (a) λ = λ. Nestas condições, p λj = p λ j, pelo que α = β. assim, (i, x α, µ) (i, x β, µ). (b) λ = 1 e λ = 2. Neste caso, temos que x 1 se j = 1 1 se j = 1 p 1j = e p 2j = 1 se j = 2 1 se j = 2. Assim, x α = x n p λj x k = e x n x k se p λj = 1 = x n x 1 x k se p λj = x 1 x n+k se p λj = 1 x n 1+k x β = x m p λ jx k = x m 1 x k = x m x k = x m+k. Logo, temos que α = β ou β = α + 1, pelo que 2. Se n + 1 = m e i i então (i, x α, µ) (i, x β, µ). α = x n p λj x k e β = x m p λ jx k = x n+1 p λ jx k. Também neste caso, podemos ter várias situações: (a) λ = λ. Neste caso, p λj = p λ j, pelo que x α = x n p λj x k e x β = x m p λj x k = x n+1 p λj x k. Logo, α + 1 = β, pelo que (b) λ = 1 e λ = 2. Neste caso, x α = (i, x α, µ) (i, x β, µ). x n x k se p λj = 1 x n x 1 x k se p λj = x 1 = x n+k se p λj = 1 x n 1+k se p λj = x 1 se p λj = x 1

39 39 e x β = x n+1 x k = x n+1+k pois p λ j = 1. Logo, α + 1 β. Estamos então em condições de concluir que (i, x α, µ) (i, x β, µ). (c) λ = 2 e λ = 1. Nestas condições, e x β = x α = x n x k = x n+k x n+1 x k se p λ j = 1 x n+1 x 1 x k se p λ j = x 1 = Logo, α = β ou α + 1 = β e, portanto, (d) λ = 2 e λ = 2. Neste caso, (i, x α, µ) (i, x β, µ). x α = x n x k = x n+k x n+1+k se p λ j = 1. x n+k se p λ j = x 1 e x β = x n+1 x k = x n+1+k. Logo, α + 1 = β.assim, (i, x α, µ) (i, x β, µ). 3. Se n + 1 = m e λ λ então x α = x n p λj x k e x β = x m p λ jx k = x n+1 p λ jx k e podemos ter as seguintes situações:

40 40 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados (a) λ = 1 e λ = 1. Temos que p λj = p λ j e, portanto, α = x n p λj x k e β = x n+1 p λj x k. Assim, α + 1 = β. Como µ µ, (b) λ = 1 e λ = 2. Neste caso, x α = (i, x α, µ) (i, x β, µ). x n x k se p λj = 1 x n x 1 x k se p λj = x 1 = x n+k se p λj = 1 x n 1+k se p λj = x 1 e x β = x n+1 x k = x n+1+k, pois p λ j = 1. Logo, α + 1 β e, portanto, (i, x α, µ) (i, x β, µ). (c) λ = 2 e λ = 2. Aqui, p λj = p λ j = 1, pelo que x α = x n x k = x n+k e x β = x n+1 x k = x n+1+k. Logo, α + 1 = β. Assim, (i, x α, µ) (i, x β, µ). 4. Se n + 1 < m então x α = x n p λj x k e x β = x m p λ jx k e podemos ter as seguintes situações: (a) λ = 1 e λ = 1. Neste caso, p λj = p λ j, pelo que α = x n p λj x k e β = x m p λj x k e, como n + 1 < m, α + 1 β. Logo, (i, x α, µ) (i, x β, µ).

41 41 (b) λ = 1 e λ = 2. Aqui temos que e x α = x n x k se p λj = 1 x n x 1 x k se p λj = x 1 = x n+k se p λj = 1 x n 1+k x β = x m 1 x k = x m+k. se p λj = x 1 Como n+1 < m, temos que α +1 < β. Mais uma vez, concluímos que (c) λ = 2 e λ = 1. Temos que (i, x α, µ) (i, x β, µ). x α = x n x k = x n+k e x β = x m 1 x k se p λ j = 1 x m x 1 x k se p λ j = x 1 = x m+k se p λ j = 1. x m 1+k se p λ j = x 1 Se p λ j = 1 então β = m + k > n + k = α pois m > n. Se p λ j = x 1 então β = m 1 + k > n + k pois m 1 > n. Logo, (i, x α, µ) (i, x β, µ). (d) λ = 2 e λ = 2. Aqui, p λj = p λ j = 1, pelo que x α = x n 1 x k = x n+k e x β = x m 1 x k = x m+k. Assim, como n < m, α β e, portanto, (i, x α, µ) (i, x β, µ).

42 42 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados Verificámos, assim, que a multiplicação em E é compatível à direita com a ordem. Do mesmo modo, se verifica que a multiplicação é compatível com a ordem à esquerda. Comparemos (j, x γ, λ) = (j, x k, µ)(i, x n, λ) = (j, x k p µi x n, λ) e (j, x δ, λ ) = (j, x k, µ)(i, x m, λ ) = (j, x k p µi x m, λ ). 1. Se m = n, i i e λ λ então x γ = x k p µi x n e x δ = x k p µi x m = x k p µi x n. Tal como na demonstração anterior, podemos ter as seguintes situações para i i : (a) i = i. Neste caso, p µi = p µi, pelo que γ δ. Assim, (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). (b) i = 1 e i = 2. Neste caso, x γ = x k p µi x n = e x k x n se p µi = 1 x k x 1 x n se p µi = x 1 = x k+n se p µi = 1 x k 1+n x δ = x k p µi x n = x k 1 x n = x k x n = x k+n. se p µi = x 1 Logo, se p µi = 1 então γ = δ, e se p µi = x 1 então γ + 1 = δ. Logo, (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ).

43 43 2. Se n + 1 = m e λ λ então x γ = x k p µi x n e x δ = x k p µi x m = x k p µi x n+1 e podemos ter as seguintes situações: (a) i = 1 e i = 1. Neste caso, p µi = p µ i, pelo que Logo, γ + 1 = δ e, portanto, (b) i = 1 e i = 2. Aqui, x γ = e pois p µi afirmar que x γ = x k p µi x n e xδ = x k p µi x n+1. (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). x k x n se p µi = 1 = x k x 1 x n se p µi = x 1 x k+n se p µi = 1 x k 1+n x δ = x k x n+1 = x k+n+1, se p µi = x 1 = 1. Logo, γ + 1 δ. Estamos, pois, em condições de (c) i = 2 e i = 1. Neste caso, e x δ = (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). x γ = x k x n = x k+n x k x n+1 se p µi = 1 = x k x 1 x n+1 se p µi = x 1 Então, γ = δ ou γ + 1 = δ, pelo que (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). x k+n+1 se p µi = 1. x k+n se p µi = x 1

44 44 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados (d) i = 2 e i = 2. Neste caso, x γ = x k x n = x k+n e x δ = x k x n+1 = x k+n+1, pelo que γ + 1 = δ. Logo, (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). 3. Se n + 1 = m e i i então x γ = x k p µi x n e x δ = x k p µi x m = x k p µi x n+1 e podemos ter as seguintes situações: (a) i = i. Aqui, p µi = p µi, pelo que Logo, γ + 1 = δ e, portanto, (b) i = 1 e i = 2. Temos que x γ = x γ = x k p µi x n e x δ = x k p µi x n+1. (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). x k x n se p µi = 1 = x k x 1 x n se p µi = x 1 x k+n se p µi = 1 x k 1+n se p µi = x 1 e x δ = x k x n+1 = x k+n+1, pois p µi = 1. Logo, γ + 1 δ. Assim, (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ).

45 45 4. Se n + 1 < m então x γ = x k p µi x n e x δ = x k p µi x m e podemos ter as seguintes situações: (a) i = i. Nesta situação, p µi = p µi, pelo que x γ = x k p µi x n e x δ = x k p µi x m. Assim, e porque n + 1 < m, temos que γ + 1 δ. Logo, (b) i = 1 e i = 2. Temos que x γ = (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). x k 1 x n se p µi = 1 = x k x 1 x n se p µi = x 1 x k+n se p µi = 1 x k 1+n se p µi = x 1 e x δ = x k 1 x m = x k+m. Como n < n + 1 < m, concluímos que γ + 1 < δ. Logo, (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). (c) i = 2 e i = 1. Neste caso, temos que e x δ = x γ = x k x n = x k+n x k 1 x m se p µi = 1 = x k x 1 x m se p µi = x 1 x k+m se p µi = 1 x k 1+m Se p µi = 1 então γ + 1 = k + n + 1 < k + m = δ. Se p µi = x 1 então γ + 1 = k + n + 1 k + m 1 = δ. Em qualquer um dos casos, concluímos que (j, x γ, λ) (j, x δ, λ ). se p µi = x 1

46 46 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados O semigrupo ordenado regular E é principalmente ordenado. Para o provarmos, provaremos que, para todo o n Z, temos que: 1)(1, x n, 1) = (1, x n+2, 1) 2)(1, x n, 2) = (2, x n+1, 1) 3)(2, x n, 1) = (1, x n+1, 2) 4)(2, x n, 2) = (2, x n, 2) De facto, 1. (1, x n, 1)(1, x n+2, 1)(1, x n, 1) = (1, x n p 11 x n+2, 1)(1, x n, 1) = (1, x n x 1 x n+2, 1)(1, x n, 1) = (1, x n 1 n+2, 1)(1, x n, 1) = (1, x, 1)(1, x n, 1) = (1, xp 11 x n, 1) = (1, xx 1 x n, 1) = (1, x 1 1+n, 1) = (1, x n, 1) Vamos agora considerar o elemento (2, x n+1, 2) que é directamente oposto a (1, x n+2, 1) no Diagrama de Hasse. A razão pela qual escolhemos este elemento prende-se com o facto de qualquer elemento maior que (2, x n+1, 2) é também maior que (1, x n+2, 1). Assim, ao provarmos que aquele elemento não satisfaz a desigualdade com que estamos a trabalhar, estamos a provar que este elemento é o maior nestas condições. De facto, temos que

47 47 (1, x n, 1)(2, x n+1, 2)(1, x n, 1) = (1, x n p 12 x n+1, 2)(1, x n, 1) = (1, x n 1 x n+1, 2)(1, x n, 1) = (1, x n n+1, 2)(1, x n, 1) = (1, x, 2)(1, x n, 1) = (1, xp 21 x n, 1) = (1, x 1 x n, 1) = (1, x 1+n, 1) > (1, x n, 1) o que permite concluir que (1, x n, 1) = (1, x n+2, 1). 2. (1, x n, 2)(2, x n+1, 1)(1, x n, 2) = (1, x n p 22 x n+1, 1)(1, x n, 2) = (1, x n 1 x n+1, 1)(1, x n, 2) = (1, x n x n+1, 1)(1, x n, 2) = (1, x n n+1, 1)(1, x n, 2) = (1, x, 1)(1, x n, 2) = (1, xp 11 x n, 2) = (1, xx 1 x n, 2) = (1, x 1 1+n, 2) = (1, x n, 2) Além disso, para o elemento (1, x n+1, 2) que é directamente oposto a (2, x n+1, 1) no Diagrama de Hasse temos:

48 48 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados (1, x n, 2)(1, x n+1, 2)(1, x n, 2) = (1, x n p 21 x n+1, 2)(1, x n, 2) = (1, x n 1 x n+1, 2)(1, x n, 2) = (1, x n n+1, 2)(1, x n, 2) = (1, x, 2)(1, x n, 2) = (1, xp 21 x n, 2) = (1, x 1 x n, 2) = (1, x n+1, 2) = (1, x n+1, 2) > (1, x n, 2) o que permite concluir que (2, x n, 1) = (2, x n+1, 1). 3. (2, x n, 1)(1, x n+1, 2)(2, x n, 1) = (2, x n p 11 x n+1, 2)(2, x n, 1) = (2, x n x 1 x n+1, 2)(2, x n, 1) = (2, x n 1 n+1, 2)(2, x n, 1) = (2, 1, 2)(2, x n, 1) = (2, 1 p 22 x n, 1) = (2, 1 x n, 1) = (2, x n, 1) Além disso, para o elemento (2, x n+1, 1) que é directamente oposto a (1, x n+1, 2) no Diagrama de Hasse temos:

49 49 (2, x n, 1)(2, x n+1, 1)(2, x n, 1) = (2, x n p 12 x n+1, 1)(2, x n, 1) = (2, x n 1 x n+1, 1)(2, x n, 1) = (2, x n n+1, 1)(2, x n, 1) = (2, x, 1)(2, x n, 1) = (2, xp 12 x n, 1) = (2, x 1 x n, 1) = (2, x 1+n, 1) > (2, x n, 1) 4. (2, x n, 2)(2, x n, 2)(2, x n, 2) = (2, x n p 22 x n, 2)(2, x n, 2) = (2, x n 1 x n, 2)(2, x n, 2) = (2, x n x n, 2)(2, x n, 2) = (2, x n n, 2)(2, x n, 2) = (2, 1, 2)(2, x n, 2) = (2, 1 p 22 x n, 2) = (2, 1 x n, 2) = (2, x n, 2) Além disso, para o elemento (1, x n+1, 1) que é directamente oposto a (2, x n, 2) no Diagrama de Hasse temos:

50 50 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados (2, x n, 2)(1, x n+1, 1)(2, x n, 2) = (2, x n p 21 x n+1, 1)(2, x n, 2) = (2, x n 1 x n+1, 1)(2, x n, 2) = (2, x n n+1, 1)(2, x n, 2) = (2, x, 1)(2, x n, 2) = (2, xp 12 x n, 2) = (2, x 1 x n, 2) = (2, x 1+n, 2) > (2, x n, 2) o que permite concluir que (2, x n, 2) = (2, x n, 2). que Repare-se que neste exemplo, temos a = a, a E. De facto, temos 1. ((1, x n, 1) ) = (1, x n+2, 1) = (1, x ( n+2)+2, 1) = (1, x n, 1); 2. ((1, x n, 2) ) = (2, x n+1, 1) = (1, x ( n+1)+1, 2) = (1, x n, 2); 3. ((2, x n, 1) ) = (1, x n+1, 2) = (2, x ( n+1)+1, 1) = (2, x n, 1) 4. ((2, x n, 2) ) = (2, x n, 2) = (2, x ( n), 2) = (2, x n, 2) Relativamente ao maior inverso de cada elemento de E, vamos mostrar que (i, x n, λ) = (i, x n, λ), isto é, que (i, x n, λ) (i, x n, λ)(i, x n, λ) = (i, x n, λ).

51 51 1. (1, x n, 1) (1, x n, 1)(1, x n, 1) = (1, x n+2, 1)(1, x n, 1)(1, x n+2, 1) = (1, x n+2.p 11.x n, 1)(1, x n+2, 1) = (1, x n+2 x 1 x n, 1)(1, x n+2, 1) = (1, x n+2 1+n, 1)(1, x n+2, 1) = (1, x, 1)(1, x n+2, 1) = (1, x.p 11. x n+2, 1) = (1, x.x 1.x n+2, 1) = (1, x 1 1 n+2, 1) = (1, x n+2, 1) = (1, x n, 1) 2. (1, x n, 2) (1, x n, 2)(1, x n, 2) = (2, x n+1, 1)(1, x n, 2)(2, x n+1, 1) = (2, x n+1.p 11.x n, 2)(2, x n+1, 1) = (2, x n+1.x 1.x n, 2)(2, x n+1, 1) = (2, x n+1 1+n, 2)(2, x n+1, 1) = (2, 1, 2)(2, x n+1, 1) = (2, 1.p 22.x n+1, 1) = (2, 1.1.x n+1, 1) = (2, x n+1, 1) = (1, x n, 2)

52 52 2. Semigrupos Regulares Principalmente Ordenados 3. (2, x n, 1) (2, x n, 1)(2, x n, 1) = (1, x n+1, 2)(2, x n, 1)(1, x n+1, 2) = (1, x n+1.p 22. x n, 1)(1, x n+1, 2) = (1, x n+1.1.x n, 1)(1, x n+1, 2) = (1, x n+1+n, 1)(1, x n+1, 2) = (1, x, 1)(1, x n+1, 2) = (1, x.p 11.x n+1, 2) = (1, x.x 1.x n+1, 2) = (1, x 1 1 n+1, 2) = (1, x n+1, 2) = (2, x n, 1) 4. (2, x n, 2) (2, x n, 2)(2, x n, 2) = (2, x n, 2)(2, x n, 2)(2, x n, 2) = (2, x n.p 22.x n, 2)(2, x n, 2) = (2, x n.1.x n, 2)(2, x n, 2) = (2, x n+n, 2)(2, x n, 2) = (2, 1, 2)(2, x n, 2) = (2, 1.p 22.x n, 2) = (2, 1.1.x n, 2) = (2, x n, 2) = (2, x n, 2) Exemplo 2.3. Consideremos o semigrupo regular N 5 = {u, e, f, a, b} descrito pelo seguinte Diagrama de Hasse e tabela de Cayley:

53 53 u e f a b u u u f f b e e e a a b f u b f b b a e b a b b b b b b b b e u a b f Facilmente se verifica que xux = x, x N 5. De facto, temos que u u u = u u = u, e u e = e e = e, f u f = u f = f, a u a = e a = a, b u b = b b = b. Assim, podemos concluir que N 5 é principalmente ordenado com x = u, para todo x N 5. Este semigrupo tem grande importância para a Teoria de Semigrupos, pois de facto, trata-se do menor semigrupo regular não ortodoxo (pois e f = a E(N 5 )) naturalmente ordenado com idempotente máximo u. Seja E como o semigrupo definido no exemplo 2.2. Defina-se a multiplicação no produto cartesiano ordenado N 5 E por (p, x)(q, y) = (pq, xy) Então, N 5 E é um semigrupo regular principalmente ordenado em que (p, x) = (p, x ) = (u, x )( )