Álgebra Moderna Profª Ana Paula OPERAÇÕES

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Inês Rocha Brezinski
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1 Álgebra Moderna Profª Ana Paula OPERAÇÕES Definição 1: Sendo E. Toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E). Notação: f : E E E fx, y x y OBS: E é um conjunto munido da operação. Símbolos para operações: : adição : multiplicação,,,,,,,: genéricos 1) f : onde fx, y x y, operação de adição sobre. ) f : onde fx, y x y, operação de potenciação sobre. 3) f : onde fx, y x y, operação de divisão sobre. 4) h : PE PE PE onde hx, Y X Y, operação de interseção sobre PE, conjunto das partes de E. 5) f : E E E, E M mxn, onde fx, y x y, operação de adição sobre M mxn. 6) : E E E, E conjunto das funções de em, f : e g : onde f, g fog, operação de composição sobre. Tábua de operação Seja E a 1, a, a 3,a n finito com n 1 e f : E E E onde a i a j a ij. a j linha fundamental a i a ij coluna fundamental Faça a tábua para as seguintes operações definidas no conjunto E dado. 1) E 1,, 3, 6 com x y mdcx, y ) E,a,b,a, b com x y X Y. 3) E 0, 1,, 3 com x y resto da divisão em de x y por 4. Exercícios do Livro: Página 16: 13, 133, 134, 135, 138, 139, 140, 14,

2 Propriedades Seja E é um conjunto munido da operação. 1) Associativa: x y z x y z, para x, y, z E. 1) Adição em,,, e. ) Multiplicação em,,, e. 3) Adição em M mxn K, onde K,,, ou. 4) Multiplicação em M n K, onde K,,, ou. 5) Composição de funções de em. Contra-exemplos: 1) f : onde fx, y x y, operação de potenciação sobre. ) f : onde fx, y x y, operação de divisão sobre. OBS: Quando a operação for associativa não precisa de parêntesis. Quando não for, é obrigatório. 105c) E e x y x y é associativa. 105a) E e x y xy não é associativa.

3 ) Comutativa:x y y x, para x, y E. 1) Adição em,,, e. ) Multiplicação em,,, e. 3) Adição em M mxn K, onde K,,, ou. Contra-exemplos: 1) Multiplicação em M n K, onde K,,, ou. ) Composição de funções de em. 3) f : onde fx, y x y, operação de potenciação sobre. 4) f : onde fx, y x y, operação de divisão sobre. 5) f : onde fx, y x y, operação de subtração sobre. 108c) E e x y x y é comutativa. 108a) E e x y xy é comutativa. Tábua de operações Uma operação é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à diagonal principal. Exemplo: E 1,, 3, 6 com x y mdcx, y é comutativa Exercícios do Livro: Página 114: Todos exceto

4 3) Elemento Neutro Elemento neutro à esquerda para : e E/e x x, x E. Elemento neutro à direita para : e E/x e x, x E. Se e é elemento neutro à direita e à esquerda para a operação, dizemos que e é o elemento neutro para essa operação. Proposição 1: Se a operação sobre E tem um elemento neutro e, então ele é único. Dem: 1) Elemento neutro das adições em,,, e é o número 0. ) Elemento neutro das multiplicações em,,, e é o número 1. 3) Elemento neutro da adição em M mxn K, onde K,,, ou é a matriz 0 mxn (matriz nula). 4) Elemento neutro da multiplicação em M n K, onde K,,, ou é a matriz I n (matriz identidade). 5) Elemento neutro da composição de funções de em é a função idêntica I. Contra-exemplos: Não tem elemento neutro 1) f : onde fx, y x y, operação de subtração sobre. ) f : onde fx, y x y, operação de divisão sobre. 111c) E e x y x y. O elemento neutro é a) E e x y xy. Não tem elemento neutro. 4

5 Tábua de operações Uma operação tem elemento neutro desde que exista um elemento cujas linha e coluna são, respectivamente, iguais à linha e coluna fundamentais. Exemplo: E 1,, 3, 6 com x y mdcx, y. O elemento neutro é o Página 116: Todos exceto ) Elementos simetrizáveis Seja uma operação sobre E que tem elemento neutro e. Dizemos que x E é um elemento simetrizável para essa operação se x E/x x e x x. O elemento x é chamado simétrico de x para a operação. 1) Elementos simetrizáveis de x da adição em é x. ) Elementos simetrizáveis de x da multiplicação em são 1 e 1 são simetrizáveis. 3) Elementos simetrizáveis de x da multiplicação em são 1 x, x 0. 3) Elementos simetrizáveis de A M mxn K da adição em M mxn K, onde K,,, ou é A. 4) Elementos simetrizáveis de A M n K da multiplicação em M n K, onde K,,, ou, somente se deta 0, é A 1 (matriz inversa). 5) Elementos simetrizáveis de f da função composta de, se somente se f é bijetora, é f 1 (função inversa). 5

6 Tábua de operações Um elemento a i é simetrizável quando o elemento neutro figura ao menos uma vez na linha i e na coluna i da tábua, ocupando posições simétricas em relação à diagonal principal. Exemplo: E 1,, 3, 6 com x y mdcx, y. Somente 6 é simetrizável Proposição : Seja uma operação sobre E que é associativa e tem elemento neutro e. a) Se um elemento x E é simetrizável, então o simétrico de x é unico. b) Se x E é simetrizável, então o seu simétrico x também é e x x. c) Se x, y E são simetrizáveis, então x y é simetrizável e x y y x. Dem: OBS: Generalizando, por indução, Se a 1, a, a 3,a n são elementos de E simetrizáveis, então a 1 a a 3 a n a n a n1 a a 1. 6

7 Conjunto dos simetrizáveis Definição : Se é uma operação sobre E com elemento neutro e, indica U E o conjunto dos simetrizáveis de E para operação. U E x E/x E, x x e x x OBS: e U E, sempre. U U U M n U U U M n U o 116c) E e x y x y. U 116a) E e x y xy. U Página 119: 116 e 117 5) Elementos regulares Seja uma operação sobre E. Dizemos que a E é um elemento regular (ou simplificável ou cumpre a lei do cancelamento) à esquerda em relação à operação se para x, y E/a x a y x y, e à direita em relação à operação se para x, y E/x a y a x y. Se a é elemento regular à direita e à esquerda para a operação, dizemos que a é regular para essa operação. 1) 3 é regular para adição em. ) 3 é regular para multiplicação em. 3) 0 não é regular para multiplicação em. 4) é regular para adição em M. 5) não é regular para multiplicação em M. 7

8 Proposição 3: Se a operação sobre E é associativa, tem elemento neutro e e um elemento a E é simetrizável, então a é regular. Dem: Conjunto dos regulares Definição 3: Se é uma operação sobre E com elemento neutro e, indica R E o conjunto dos regulares de E para operação. OBS: 1) Se a operação tem elemento neutro e, então e R E. Portanto, R E. ) Se a operação é associativa e tem elemento neutro, então U E R E. R R R M n R R R M n R o 10c) E e x y x y. R 10a) E e x y xy R 8

9 Tábua de operações a é regular quando na linha e na coluna de a não há elementos iguais. Exemplo: E 1,, 3, 6 com x y mdcx, y Página 10 : 10, 11,1,13. 6) Distributiva Sejam e duas operações sobre E. Dizemos que é distributiva à esquerda em relação à operação se para xy z xy xz x, y, z E, e à direita em relação à operação se para y zx yx zx. Quando é distributiva à direita e à esquerda para a operação, dizemos que é distributiva em relação à operação. 1) Multiplicação em (ou ) é distributiva em relação à adição em (ou ). ) Multiplicação em M n é distributiva em relação à adição em M n. Contra-exemplos: 1) A potenciação em não é distributiva em relação à multiplicação em. ) munido da operação de adição e da operação onde ab a b. não é distributiva à direita em relação à adição. 9

10 3) Com a tábua. E 1,, 3, 4 com ab a e definida pela tábua é distributiva à direita em relação a operação. Mas não é distributiva à esquerda em relação a operação. OBS: 1) Se a operação é distributiva à esquerda em relação à operação e se é comutativa, então também é distributiva à direita em relação à operação. ) Se a operação é distributiva à direita em relação à operação e se é comutativa, então também é distributiva à esquerda em relação à operação. 3) Portanto, quando a operação é comutativa, a distributiva unilateral de em relação à operação implica a distributiva de em relação à operação. A interseção de conjuntos é distributiva em relação à união e vice-versa. Página 13: 15 e 16 Página 13: 144, 145, 147, 148, 149, 150,

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