Revisão de Pré-Cálculo NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES

Transcrição

1 Revisão de Pré-Cálculo NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016 Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.

2 OBJETIVOS Manipular corretamente expressões algébricas. Relembrar as regras da aritmética. Relembrar alguns produtos notáveis, expansões e fatorações. Destacar o papel das potências com expoentes fracionários e negativos na representação de radicais e inverso multiplicativo de potências.

3 Aritmética Sejam a, b e c números reais, variáveis ou expressões algébricas. 1. Comutativa Adição: a + b = b + a Multiplicação: a.b = b.a 2. Associativa Adição: (a + b) + c = a + (b + c) Multiplicação : (a.b).c = a.(b.c) 4. Elemento Inverso Adição: a + ( a ) = 0 Multiplicação: a. (1/a) = 1, a 0 6. Distributiva Multiplicação com relação à adição: a.(b + c) = a.b + a.c 3. Elemento Neutro Adição: a + 0 = a Multiplicação: a.1 = a JRRZ & ISMJ 3

4 Aritmética Subtração é a adição com o oposto (inverso aditivo) a b = a + (- b) Divisão é a multiplicação pelo inverso multiplicativo (b 0) a b = a. (1/b) Assim, a subtração e a divisão são casos particulares da adição e da multiplicação, não sendo portanto novas operações. 4

5 PRODUTOS NOTÁVEIS Quadrado da soma de dois termos: (x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + 2.x.y + y² Produto da soma pela diferença de dois termos (x + y).(x y) = x² y² Cubo da soma de dois termos: (x + y)³ = (x+y).(x+y)² = x³ + 3.x².y + 3.x.y² + y³ Quadrado da diferença de dois termos: (x y)² = (x y).(x y) = x² 2.x.y + y² Cubo da diferença de dois termos: (x y)³ = (x y).(x y).(x y) = x³ 3.x².y + 3.x.y² y³ JRRZ & ISMJ 5

6 PRODUTOS NOTAVEIS 1) A expansão para (x y) 2 pode ser obtida da expansão para (x+ y) 2 substituindo y por y. 2) Expansão do binômio (x+ y) n n = k=0 ( n k). x n k. y k ( n k) = n! (n k )!. k! coeficientes binomiais 6

7 PRODUTOS NOTAVEIS - ÁLGEBRA GEOMÉTRICA (x + y)² = x² + 2.x.y + y² JRRZ & ISMJ 7

8 Fatoração k.a + k.b = k.(a + b) k.a + k.b + m.a + m.b = (k + m).(a + b) a² + 2ab + b² = (a + b)² a² b² = (a b).(a + b) a³ b³ = (a b).(a² + ab + b²) 8

9 ÁLGEBRA - EXEMPLOS Simplifique as expressões abaixo (fatore ou expanda) 1) 2) 3) 4) x 2 + b.x + b 2 /4 x 3 7.x (x+h) 3 x 3 (x+ y) 4 JRRZ & ISMJ 9

10 10 Frações 10 v w z u w z v u z w v u z v u w z w v u z v v w z u z w v u v w u v w v u.. / Sejam u, v, w e z números reais, variáveis ou expressões algébricas. Todos os denominadores são considerado como diferentes de zero.

11 1 x 2 + ÁLGEBRA - EXEMPLOS Simplifique as expressões abaixo 1) (x+h) 2 x 2 h x x+3 2) (coloque sob o mesmo denominador ) 3) (idem) 1 + 2x+3 x 1 x ² a² x ² 4) (separe as frações) JRRZ & ISMJ 11

12 Potenciação Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas. Considere m e n números inteiros positivos. u n = u.u...u Definição (produto de n fatores iguais a u) Produto de potências na mesma base u n.u m = u n+m Distributiva (u.v) n = u n. v n Potência de uma potência (u n ) m = u n.m Observação (u n ) m u (nm ) (observe a posição dos parênteses) 12

13 Potenciação - Exercícios 1) Prove as propriedades da potenciação a partir da definição. 2) Expanda a seguinte expressão (1 + 2 x 2 + x 4 )² 3) Escreva a expressão abaixo como uma soma de potências em x x (2 + x + x 3 ) JRRZ & ISMJ 13

14 Potenciação Expoentes Negativos Expoente Zero u 0 = 1 Expoente Negativo u n = 1/u n Divisão na mesma base u n u m = un m Distributiva ( u v )n = un v n JRRZ & ISMJ 14

15 Radicais Sejam u >= 0, v >= 0 e n um inteiro positivo Definição y = n u se y n = u Operações inversas Distributiva Raiz de uma Raiz ( n u) n = n u n = u n u.v = n u. n v n m u = n.m u Raiz de uma potência n u m = ( n u) m Consideração n u > 0 para u>0 15

16 Radicais argumento negativo Se u < 0 então n u existe (nos reais) apenas para n ímpar. Definição é a mesma e as propriedades continuam válidas. Observe que se u < 0 e n é par então u n >0 e n u n existe. Neste caso n u n = u = u Se u < 0 e v < 0 então u.v > 0 e n u.v positivo mas a distributiva só é válida para n ímpar. existe para todo n inteiro 16

17 Radicais e Potenciação Expoentes Fracionários Sejam m e n inteiros e considere que a raiz enésima de u exista Notação u 1/ n = n u u m/ n = (u m ) 1/n = n u m u m/ n = (u 1/n ) m = ( n u) m Deste modo, as propriedades dos radicais são equivalentes as propriedades das potências. JRRZ & ISMJ 17

18 Radicais e Potenciação Exemplos Nos exercícios 1 e 2 use a notação de potências fracionárias para reescrever as expressões com raízes. 1) Verifique a x = a x/2 2) Simplifique (4 x 2 ) 4 x ² 1 3 (4 x ²)3/2 3) Elimine as raízes do denominador Dica: multiplique e divida por a + b 2.a.b a b 18

19 Radicais e Potenciação Exemplos 4 e 5) Faça as substituições indicadas e reescreva as expressões em termos da variável u 4) x. x 3 substitua u = x 3. 5) x. x 2 +1 substitua u = x^ ) Considere u > 0. Mostre que Dica: use as propriedades dos radicais e das potências para desenvolver o lado direito. n u. m u = n.m u n+m JRRZ & ISMJ 19

20 Softwares para Computação Científica Disponíveis online (gratuitos) Wolfram Alpha Geogebra Capacidades algébrica e gráfica Comandos do tipo Expanda, Fatore, Simplifique, Resolva,... 20

21 Expand (x + y)^3 Wolfram Alpha Expand (a + b)*(a - b) Simplify 1 + x^2/(a^2 x^2) Simplify (4 x^2)*sqrt(4 x^2) 1/3 (4 x^2)^(3/2) Factor x^2 + 2x