ARTIGO DO WILLIAM DOUGLAS MATEMÁTICA

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1 Prefeitura Municipal de JOÃO PESSOA Agente Educacional I RETIFICAÇÃO ARTIGO DO WILLIAM DOUGLAS MATEMÁTICA Números Naturais: significados e Sistema de Numeração Decimal;...01 Números Racionais: significados, representação decimal e fracionária, equivalência, ordenação e localização na reta numérica;...04 Operações com números naturais e racionais: significados, propriedades e procedimentos de cálculo das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão;...07 Múltiplos e divisores;...10 Linguagem algébrica; cálculo algébrico;...1 Equações e inequações;...16 Espaço e forma: descrição, interpretação e representação da localização e movimentação de pessoas e objetos...6 Figuras geométricas espaciais e planas: características, propriedades, elementos constituintes, composição, decomposição, ampliação, redução e representação;... 6 Medidas: procedimentos e instrumentos de medida; sistemas de medidas decimais (comprimento, superfície, volume, capacidade, massa e temperatura) e conversões; medidas de tempo e conversões;...3 Sistema monetário brasileiro;...35 Cálculo e comparação de perímetro e área; aplicações geométricas;...37 Tratamento da informação: leitura, interpretação e construção de tabelas e gráficos...44 Média aritmética...46

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3 NÚMEROS NATURAIS: SIGNIFICADOS E SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL; O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1,, 3, 4, 5, 6,...} Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0,, 4, 6, 8, 10, 1,...} O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} Igualdade e Desigualdades Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por: A B (lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto. Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A = B. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 1 é. d) O sucessor de 19 é 0. - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: a) 1 e são números consecutivos. b) 5 e 6 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1,, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 5, 6 e 7 são consecutivos. c) 50, 51, 5 e 53 são consecutivos. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos. Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B. Operações com Números Naturais Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. A adição de números naturais A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos. Propriedades da Adição - Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N. 1

4 - Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C) - Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural. - Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela. Multiplicação de Números Naturais É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Exemplo 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = = 36 O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal ou ou x, para representar a multiplicação. Propriedades da multiplicação - Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N. - Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m. n). p = m.(n. p) (3. 4). 5 = 3. (4. 5) = 60 - Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1. n = n. 1 = n 1. 7 = 7. 1 = 7 - Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m. n = n. m 3. 4 = 4. 3 = 1 Propriedade Distributiva Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m. (p + q) = m. p + m. q 6 x (5 + 3) = 6 x x 3 = = 48 Divisão de Números Naturais Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. Relações essenciais numa divisão de números naturais - Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 - Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7 - A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. Potenciação de Números Naturais Para dois números naturais m e n, a expressão m n é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja: m n = m. m. m... m. m m aparece n vezes O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo: 3 = = = = 64 Propriedades da Potenciação - Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1 n, será sempre igual a 1. Exemplos: a- 1 n = (n vezes) = 1 b- 1 3 = = 1 c- 1 7 = = 1 - Se n é um número natural não nulo, então temos que n o =1. Por exemplo: - (a) nº = 1 - (b) 5º = 1 - (c) 49º = 1 - A potência zero elevado a zero, denotada por 0 o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. - Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n 1, é igual ao próprio n. Por exemplo: - (a) n¹ = n - (b) 5¹ = 5 - (c) 64¹ = 64

5 - Toda potência 10 n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros. Exemplos: a = 1000 b = c- 10 o = 1 Exercícios 1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente:. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será? 3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado? 3cm 4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²? 5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura? 6. Faça a potenciação dos seguintes números: a) ³ b) 5³ c) ² d) Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b b b? 8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números? 9. Realize a divisão nos seguintes números naturais: a) 15 : 5 b) 36 : 6 c) 49 : Calcule: a) b) -5 7 c) (-10) (-8) + (-1) (-17) d) (-5) + (-10) - 14 Respostas 1) O antecedente de um número n será n 1, pois é aquele que antecede o n. Já o consecutivo é n + 1. ) Sendo n par, o seu consecutivo será n +, e sendo impar o consecutivo sendo impar o n será n +. 3) Resposta 9 quadradinhos. Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos: 9 x 1 = 9 quadradinhos 4) Resposta 9. Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes: 3 x 3 = 9. 5) Resposta 7. Para construirmos um cubo, basta apenas multiplicarmos os lados: 3 x 3 x 3 = 7 cubinhos. 6) a) x x = = 8 b) 5 x 5 x 5 = = 15 c) x = = 4 d) 6 x 6 x 6 x 6 = = 196 7) Resposta 4. R³[64] = 4, pois 64 = b b b, ou seja, 64 = b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b = 4. 8) Resposta 1. O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante. 9) a) 15 : 5 = = 5 b) 36 : 6 = = 6 c) 49 : 7 = = 7 10) a) = = -3 b) -5 7 = = -1 c) (-10) (-8) + (-1) (-17) = = = = 35 1 = = 3 d) (-5) + (-10) 14 = = = = 5 4 = = -19 3

6 NÚMEROS RACIONAIS: SIGNIFICADOS, REPRESENTAÇÃO DECIMAL E FRACIONÁRIA, EQUIVALÊNCIA, ORDENAÇÃO E LOCALIZAÇÃO NA RETA NUMÉRICA; Um número racional é o que pode ser escrito na forma m n, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q = { m n : m e n em Z, n diferente de zero} No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais não nulos; - Q + = conjunto dos racionais não negativos; - Q* + = conjunto dos racionais positivos; - Q _ = conjunto dos racionais não positivos; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos. Representação Decimal das Frações Tomemos um número racional p, tal que p não seja múltiplo q de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 5 = 0,4 1 4 = 0, = 8, = 3,06 º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 1 3 = 0, = 0, =, Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 0,9 = ,7 = ,76 = ,48 = ,005 = = 1 00 º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplo 1 Seja a dízima 0, Façamos x = 0, e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda: 10x x = 3, , x = 3 x = 3/9 Assim, a geratriz de 0, é a fração 3 9. Exemplo Seja a dízima 5, Façamos x = 5, e 100x = 517, Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 51 x = 51/99 Assim, a geratriz de 5, é a fração Exemplo 3 Seja a dízima 1, Façamos x = 1, x = 1, x = 134, Subtraindo membro a membro, temos: 990x = 134, , x = 1 x = 1/990 Simplificando, obtemos x = 611, a fração geratriz da dízima 1,

7 Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. Exemplo: Módulo de - 3 é 3. Indica-se - 3 = 3 Módulo de + 3 é 3. Indica-se + 3 = 3 Números Opostos: Dizemos que 3 e 3 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos 3 e 3 ao ponto zero da reta são iguais. Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números a racionais e c, da mesma forma que a soma de frações, através de: b d a b + c d = ad + bc bd Propriedades da Adição de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional. - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a - Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q - Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + ( q) = 0 Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p q = p + ( q) Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a b e c, da mesma forma que o produto de frações, através de: d a b x c d = ac bd O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: (+1) (+1) = (+1) (+1) (-1) = (-1) (-1) (+1) = (-1) (-1) (-1) = (+1) Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. Propriedades da Multiplicação de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional. - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a ( b c ) = ( a b ) c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a b = b a - Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q 1 = q - Elemento inverso: Para todo q = a em Q, q diferente de zero, existe q -1 = b b a em Q: q q-1 = 1 a x b b a = 1 - Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ) Divisão de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p q = p q -1 Potenciação de Números Racionais A potência q n do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. q n = q q q q... q, (q aparece n vezes) Exemplos: 3 a) 5 = = 8 15 b) c) ( 5)² = ( 5). ( 5) = 5 d) (+5)² = (+5). (+5) = 5 Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a = 1 - Toda potência com expoente 1 é igual à própria base = Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior = 5 9 5

8 - Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 3 3 = = Toda potência com expoente par é um número positivo. 1 5 = = Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes = = 5 +3 = 5 - Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. - Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes 5 Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. O número -100 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto como +10, quando elevados ao quadrado, dão Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. O número não tem raiz quadrada em Q, pois não existe 3 número racional que elevado ao quadrado dê. 3 Exercícios 1. Calcule o valor das expressões numéricas: a) b) : Escreva o produto +. + como uma só potência Escreva o quociente 16 5 potência. 1 7 : como uma só 4. Qual é o valor da expressão Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1 4 Representa o produto. ou. Logo, é a raiz quadrada de 4. Indica-se 4=. Exemplo 1 9 Representa o produto quadrada de 1 9.Indica-se 1 = Exemplo 3 ou 1 3. Logo, 1 3 é a raiz 5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1 6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram? Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1 4 dia seguinte leu 1 do livro. Então calcule: 6 do livro e no a) A fração do livro que ela já leu. b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura. 7. Em um pacote há 4 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote 5 há 1. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que 3 o segundo? 0,16 Representa o produto 0,6. 0,6. 0,6 ou (0,6) 3. Logo, 0,6 3 é a raiz cúbica de 0,16. Indica-se 0,16 = 0,6. 8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5 9 já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar? da rua Assim, podemos construir o diagrama: N Z Q 9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1 3 desses apartamentos foi vendido e 1 6 foi reservado. Assim: a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada? b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados? 6

9 10. Transforme em fração: a),08 b) 1,4 c) 0,017 d) 3,17 1) Solução Respostas a) = = = = 10 4 = 5 1 b) 6) a) = = 5 1 b) = = 7 1 7) Respostas = = ) Resposta = = 4 9 9) a) = = 3 6 = 1 mmc:(4;)=4 ) ) ) : : = 4 8 5) Resposta = = 11 1 b) 1-1 = - 1 = 1 10) a), = b) 1,4 10 = 7 5 c) 0, d) 3, OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS E RACIONAIS: SIGNIFICADOS, PROPRIEDADES E PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO; Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. N = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, } O zero corresponde à ausência de unidades. A sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número é obtido acrescentando-se uma unidade ao anterior. Não existe o maior número natural, ou seja, a sucessão dos números naturais é infinita. Se excluirmos o zero teremos um novo conjunto: o conjunto dos números naturais não nulos, que se indica por N. N = {1,, 3, 4, 5...} 7

10 Na sucessão de números naturais, dois ou mais números que se seguem são chamados consecutivos. Exemplo: 7 8 e 9 são números naturais consecutivos. Todo número natural tem um antecessor, com exceção do zero, que é o menor número natural. Todo número natural tem um sucessor. Ex: O sucessor de 8 é 9; o antecessor de 19 é 18. O conjunto formado por 0,, 4, 6, 8, 10, 1... é chamada conjunto dos números naturais pares. O conjunto formado por 1, 3, 5, 7, 9, 11,... é chamada conjunto dos números naturais ímpares. Potenciação É uma multiplicação de fatores iguais Exemplo 1: Operações fundamentais com números naturais Adição A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar algo. É reunir todos os valores ou totalidades de algo. A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação. Ex: = e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima se denomina, então, ADIÇÃO. A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +. Subtração A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denominase diferença ou resto. Exemplo: 9 5 = 4 Essa igualdade tem como resultado a subtração. Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dá-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo. Multiplicação É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois. Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação = 40 onde 5 e 8 são os fatores e 40 é o produto. Divisão É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu. À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente. 1) A divisão exata: Veja: 8: 4 é igual a, onde 8 é o dividendo, é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto. A prova do resultado é: x = 8 ) A divisão não-exata: Observe este exemplo: 9: 4 é igual a resultado, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, é o quociente e 1 é o resto. A prova do resultado é: x = 9 Base= Expoente = 4 Potência = 16 [Resultado da operação] Lê-se: Dois elevado à quarta potência. Exemplo : 5 3 = 5.5.5= 15 (3 fatores iguais) Base=5 Expoente = 3 Potência = 15 [Resultado da operação] Lê-se: Cinco elevado à terceira potência. Potências especiais: 1- O número um elevado a qualquer número é sempre igual a 1. Ex: 1 5 = 1 - Zero elevado a qualquer número é sempre igual a zero. Ex: 0 6 = 0 3- Qualquer número (diferente de zero) elevado a zero é sempre igual a 1. Ex: 5 0 = 1 4- Potências de base 10 é igual a 1 seguido de tantos zeros quanto estiver indicando no expoente. Ex: 10 4 = ( 4 zeros pois o expoente é 4) 5- Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo. Ex: 8 1 = 8 Propriedades da potenciação 1º) Multiplicação de potências de mesma base. Ex: = = 11 Para escrever o produto de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. º ) Potência de potência. ( ) 3 =.. = ++ = 6 = 64 ( ) 4 =... = +++ = 8 = 56 Para escrever a potência elevada a outro expoente, conservase a base e multiplicam-se os expoentes. 8

11 3 º ) Divisão de potências de mesma base 1 8 : 1 6 = = 1 5 : 3 = 5-3 = Para escrever o quociente de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão. Radiciação Observe os termos da radiciação: Onde: n = representa o termo da radiciação chamado Radical. É o índice. X = representa o termo da radiciação chamado de radicando. Temos que radiciação de números naturais é a operação inversa da potenciação. Observe abaixo: b n = a b = n a(n > 0) Em termos mais precisos, dado um número natural a denominado radicando e dado um número natural n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número b, n denominado raiz enésima de a, representada pelo símbolo a, tal que b elevado a n seja igual a a. radical. Este é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente Ex: 5 = 5 porque 5 =5.5=5 3 7 = 3 porque 3 3 = 3.3.3=7 5 3 = porque 5 =...=3 Expressões numéricas Para resolver uma expressão numérica efetuamos as operações obedecendo a seguinte ordem: 1º) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem º) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem 3º) Adição e subtração na ordem em que aparecem. Há expressões em que aparecem os sinais de associação que devem ser eliminados na seguinte ordem: 1º) ( ) parênteses º) [ ] colchetes 3º) { } chaves Ex: Resolver a expressão: [(5² - 6.²). 3 + (13 7)²: 3]: 5 = = [(5 6.4) ²: 3]: 5 = = [(5 4) : 3]: 5 = = [ ]: 5 = = [3 + 1]: 5 = = 15: 5 = 3 Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros(z). Números decimais finitos (por exemplo, 743,843) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente). Como 1,050505, são também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q. Todo número racional pode ser escrito na forma a b, com a Z, b Z e b 0 Um mesmo número racional pode ser representado por diferentes frações, todas equivalentes entre si. Ex: = = = = = Um número racional pode ser representado por um número decimal exato ou periódico. 1 Ex: = 0,5 3 4 = 0,75 1 = 0, (dízima periódica) 3 Todos os números inteiros pertencem aos racionais. Reta numérica Racional Adição e subtração com números fracionários Para adicionar ou subtrair números racionais na forma de fração devemos observar os seus denominadores. Se os denominadores são iguais, efetuamos as operações e conservamos o mesmo denominador. Se os denominadores são diferentes, reduzimos ao mesmo denominador usando o m.m.c. e depois procedemos como no caso anterior. Ex: 1) = 7 3 ) = = 9 ( o mmc entre 5 e 4 é 0) 0 Multiplicação e divisão com números fracionários Para multiplicar números racionais na forma de fração, devemos multiplicar os numeradores, multiplicar os denominadores, usar a regra de sinais quando necessário e quando possível fazer a simplificação. Ex: = 35 (nesse caso o resultado é uma fração irredutível, pois não pode ser simplificada) = 1 4 = (nesse caso o resultado foi simplificado dividindo o numerador e o denominador por ). 9

12 Para dividir números racionais na forma de fração, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, usando também a regra de sinais e a simplificação do resultado quando possível. Ex: 3 5 : 3 = = : 3 = = 10 1 = 5 6 Potenciação e radiciação com números fracionários Resolver uma potenciação de fração é calcular a potência do numerador e do denominador de acordo com o expoente. 3 Ex: 7 = (elevamos o numerador -3 e o denominador 7 ao expoente, lembrando que número negativo elevado a expoente par dá resultado positivo) Extrair a raiz quadrada de uma fração é encontrar a raiz do numerador e do denominador. Ex: 9 16 = 9 16 = 3 4 Números decimais Os números decimais exatos e as dízimas periódicas também pertencem ao conjunto Q. Adição e subtração com decimais: Na adição ou subtração com decimais devemos escrever as parcela colocando vírgula embaixo de vírgula, e resolver a operação. Ex: 4, ,14 Parcelas 13, 140 Acrescentamos o zero para completar casas decimais.+4, ,019 Soma total. Multiplicação e divisão com decimais: Na multiplicação de números decimais, multiplicamos os números sem considerar a vírgula e colocamos a vírgula no resultado contando as casas decimais dos dois fatores: Ex:,35 x 4,3 = 10,105 (no resultado temos 3 casas decimais pois são casas no fator,35 e uma casa no fator 4,3). Na divisão igualamos as casas decimais, cortamos as vírgulas e resolvemos a divisão. Ex: 1,4: 0,05 Igualamos as casas decimais: 1,40: 0,05 Cortamos as vírgulas 140: 5 Resolvemos a divisão 140:5 = 8 Potenciação e radiciação com decimais: Para elevar um número decimal a um expoente dado, procedemos como a potência com número inteiro, respeitando a regra de sinais da multiplicação. Lembrar que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Ex: (3,) 3 = (3,). (3,). (3,) = 3,768 Para calcular a raiz quadrada de um número decimal podemos transformá-lo em uma fração e depois calcular. 16 Ex: 0,16 = 100 = 4 10 = 0,4 MÚLTIPLOS E DIVISORES. DIVISIBILIDADE. Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. Podemos dizer então que: 30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30. Um numero natural a é divisível por um numero natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal que c. b = a. Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0, 1,, 3, 4, 5, 6,... Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais: 7 x 0 = 0 7 x 1 = 7 7 x = 14 7 x 3 = 1 7 x 4 = 8 7 x 5 = 35 O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 1, 8,...}. Observações: - Todo número natural é múltiplo de si mesmo. - Todo número natural é múltiplo de 1. - Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. - O zero é múltiplo de qualquer número natural. - Os múltiplos do número são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é k (k N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é k + 1 (k N). Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão. Divisibilidade por : Um número é divisível por quando termina em 0,, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: a) 9656 é divisível por, pois termina em 6. b) 431 não é divisível por, pois termina em 1. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. 10

13 Exemplos: a) é divisível por 3, pois = 7, e 7 é divisível por 3. b) não é divisível por 3, pois = 17, e 17 não é divisível por 3. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. Exemplos: a) é divisível por 4, pois termina em 00. b) é divisível por 4, pois termina em 4, e 4 é divisível por 4. c) não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplos: a) é divisível por 5, pois termina em 0. b) 735 é divisível por 5, pois termina em 5. c) 634 não é divisível por 5, pois termina em 4. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por e por 3. Exemplos: a) é divisível por 6, pois é divisível por e por 3 ( = 18). b) não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 ( = 16). c) não é divisível por 6, pois não é divisível por. Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7 Exemplo: é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9+9= =417 += = =6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5. Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8. Exemplos: a) é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. b) 6704 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 4, que é divisível por 8. c) 3415 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 15, que não é divisível por 8. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplos: a) é divisível por 9, pois = 7 é divisível por 9. b) não é divisível por 9, pois = 14 não é divisível por 9. Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Exemplos: a) é divisível por 10, pois termina em zero. b) 4631 não é divisível por 10, pois não termina em zero. Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11. Exemplos: a) 1º 3º 5º Algarismos de posição ímpar.(soma dos algarismos de posição impar: = 15.) º 4º Algarismos de posição par.(soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 15 4 = 11 diferença divisível por 11. Logo é divisível por 11. b) 1º 3º 5º 7º (Soma dos algarismos de posição ímpar: = 19) º 4º 6º 8º (Soma dos algarismos de posição par: = 1) 19 1 = 7 diferença que não é divisível por 11. Logo não é divisível por 11. Divisibilidade por 1: Um número é divisível por 1 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: a) 7834 é divisível por 1, pois é divisível por 3 ( = 4) e por 4 (termina em 4). b) não é divisível por 1, pois não é divisível por 4 (termina em 11). c) não é divisível por 1, pois não é divisível por 3 ( = ). Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos: a) é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( =18) e por 5 (termina em 0). b) 7304 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em ). c) 6735 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( = 5). 11

14 Exercícios 1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 menores que 30.. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 compreendidos entre 30 e Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter um múltiplo de 7? 4. Como são chamados os múltiplos de? 5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4. a) 3418 b) c) d) 4004 e) Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 maiores que 10 e menores que Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 4? Pode ser 7? Por quê? 8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de Responda sim ou não: a) 4 é múltiplo de? b) 5 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133? Respostas 1) Resposta 0, 5, 10, 15, 0, 5. 5 x 0 = 0 5 x 1 = 5 5 x = 10 5 x 3 = 15 5 x 4 = 0 5 x 5 = 5 ) Resposta 3, 40, x 4 = 3 8 x 5 = 40 8 x 6 = 48 3) Resposta = 4. Pois, o número 4 é divisível por 7. 4) Resposta Pares. Os Múltiplos de são chamados de pares: k (k N) 5) Resposta Divisíveis: b, c, d. a) 3418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4. b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4. c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4. d) 4004: Termina em 4, e assim é divisível por 4. e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4. 6) Resposta x = 14. 7) Resposta 7. Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 4 não pode ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 7 pode ser. 8) Resposta 0, 9, 18, 7, x 0 = 0 9 x 1 = 9 9 x = 18 9 x 3 = 7 9 x 4 = 36 9) Resposta 0, 4, 48, 7, 96. Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 1. 10) a) Sim, pois 4 termina em 4, que é um número par b) Sim, pois se dividirmos 5 por 4, dará um número inteiro. c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro. d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro. LINGUAGEM ALGÉBRICA; CÁLCULO ALGÉBRICO; Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e letras. Ex: ax²+bx Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido. Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações. Ex: Sendo x =1 e y =, calcule o valor numérico (VN) da expressão: x² + y» 1² + =3 Portando o valor numérico da expressão é 3. 1

15 Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos. Ex : 4x Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. Ex: 4x+y Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis ) Ex: x³ y² z e 3 x³ y² z» são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. Adição e Subtração de expressões algébricas Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim: x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z Convém lembrar dos jogos de sinais. Na expressão ( x³ + y² + 1 ) ( y ² - ) = x³ + y² + 1 y² + = x³ + y² +3 Multiplicação e Divisão de expressões algébricas Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva. Exemplos: 1) a ( x+y ) = ax + ay ) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 3) x ( x ² + y ) = x³ + xy Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes Exemplos: 1) 4x² : x = x ) ( 6 x³ - 8 x ) : x = 3 x² - 4 3) (x 4-5x 3 + 9x - 7x+) :(x - x + 1) = x - 3x + Resolução: x 4-5x 3 + 9x - 7x+ x - x + 1 -x 4 + x 3 - x x - 3x + -3x 3 + 8x -7x 3x 3-6x -3x x - 4x + -x + 4x - 0 Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos semelhantes. Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas partes literais são idênticas. Veja: 5x e 4x são dois termos, as suas partes literais são x e x, as letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não são semelhantes. 7ab e 0ab são dois termos, suas partes literais são ab e ab, observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que são semelhantes. Adição e subtração de monômios Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada. Veja: Dado os termos 5xy, 0xy, como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles. 5xy + 0xy devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal. 5 xy 5xy - 0xy devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal xy Veja alguns exemplos: - x - x + x como os coeficientes são frações devemos tirar o mmc de 6 e 9. 3x - 4 x + 18 x 18 17x 18-4x + 1y 3 7y 3 5x devemos primeiro unir os termos semelhantes. 1y 3 7y 3 + 4x 5x agora efetuamos a soma e a subtração. -5y 3 x como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios. Reduza os termos semelhantes na expressão 4x 5x -3x + x. Depois calcule o seu valor numérico da expressão. 4x 5x - 3x + x reduzindo os termos semelhantes. 4x + x 5x - 3x 6x - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão. Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x. Vamos supor que x = -, então substituindo no lugar do x o - termos: 6x - 8x 6. (-) 8. (-) = = Multiplicação de monômios Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: a m. a n = a m + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e somamos os expoentes). (3a b). (- 5ab 3 ) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes 3. (-5) e na parte literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade a m. a n = a m + n. 3. ( - 5). a. a. b. b 3-15 a +1 b a 3 b 4 13

16 Divisão de monômios Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: a m : a n = a m - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os expoentes), sendo que a 0. (-0x y 3 ) : (- 4xy 3 ) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -0 e - 4 e na parte literal dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : a n = a m n. -0 : ( 4). x : x. y 3 : y 3 5 x 1 y 3 3 5x 1 y 0 5x Potenciação de monômios Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação: (I) (a. b) m = a m. b m (II) (am) n = a m. n Veja alguns exemplos: (-5x b 6 ) aplicando a propriedade (I). (-5). (x ). (b 6 ) aplicando a propriedade (II) 5. x 4. b 1 5x 4 b 1 Binômio Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b) n, sendo n um número natural. Exemplo: B = (3x - y) 4 ( onde a = 3x, b = -y e n = 4 [grau do binômio] ). Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton : a) (a + b) = a + ab + b b) (a + b) 3 = a a b + 3ab + b 3 c) (a + b) 4 = a a 3 b + 6 a b + 4ab 3 + b 4 d) (a + b) 5 = a a 4 b + 10 a 3 b + 10 a b 3 + 5ab 4 + b 5 Nota: Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos: Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima: Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização: Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 5.4 = 0; agora dividimos 0 pela ordem do termo anterior ( por se tratar do segundo termo) 0: = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado. Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a 3 b (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para ). Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b) 7 será: (a + b) 7 = a a 6 b + 1 a 5 b + 35 a 4 b a 3 b a b ab 6 + b 7 Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (1 a b 5 )? Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5. Então, = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 1, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima. Observações: 1) o desenvolvimento do binômio (a + b) n é um polinômio. ) o desenvolvimento de (a + b) n possui n + 1 termos. 3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos, no desenvolvimento De (a + b) n são iguais. 4) a soma dos coeficientes de (a + b) n é igual a n. Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton Um termo genérico T p+1 do desenvolvimento de (a+b) n, sendo p um número natural, é dado por T p+1 = onde n p.an p.b p n p = C n.p = n! p!(n p)! é denominado Número Binomial e C n.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p. Este número é também conhecido como Número Combinatório. Exercícios 1. Determine o 7º termo do binômio (x + 1)9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.. Qual o termo médio do desenvolvimento de (x + 3y)8? 14

17 3. Desenvolvendo o binômio (x - 3y)3n, obtemos um polinômio de 16 termos. Qual o valor de n? 4. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6. 5. Calcule: (3x²+x-1) + (-x²+4x+). 6. Efetue e simplifique o seguinte calculo algébrico: (x+3). (4x+1). 7. Efetue e simplifique os seguintes cálculos algébricos: a) (x - y).(x² - xy + y²) b) (3x - y).(3x + y).(x - y) 8. Dada a expressão algébrica bc b, determine o seu valor numérico quando b =, e c = 1,8. 9. Calcule o valor numérico da expressão x3 10y, quando x = -3 e y = Um caderno curta y reais. Gláucia comprou 4 cadernos, Cristina comprou 6 cadernos, e Karina comprou 3. Qual é o monômio que expressa a quantia que as três gastaram juntas? Respostas 1) Resposta 67x3. Primeiro temos que aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n, onde: a = x b = 1 n = 9 Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então: T 6+1 = T 7 = C 9,6. (x) 9-6 (1) 6 = 9! (x) 3 1= [(9-6)! x6!] ! 8x³=67x³ ! Portanto o sétimo termo procurado é 67x3. ) Resposta 9070x4y4. Temos: a = x b = 3y n = 8 Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T 5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5. Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos: T 4+1 = T 5 = C 8,4. (x) 8-4. (3y) 4 = 8!. (x) 4. (3y) 4 = [(8-4)!.4!] !. 16x 4. 81y 4 (4! Fazendo as contas vem: T 5 = x 4. y 4 = 9070x 4 y 4, que é o termo médio procurado. 3) Resposta 5. Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde se conclui que n = 5. 4) Resposta 0. Sabemos que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x. Temos no problema dado: a = x b = 1 x n = 6. Pela fórmula do termo geral, podemos escrever: T p+1 = C 6,p. x 6-p. ( 1 x ) p = C 6,p. x6-p. x -p = C 6,p. x 6-p. Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x 0 = 1. Logo, fazendo 6 - p = 0, obtemos p = 3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então: T 3+1 = T 4 = C 6,3. x 0 = C 6,3 = 6! [(6-3)!.3!] = ! =0 3!..1 Logo, o termo independente de x é o T 4 (quarto termo) que é igual a 0. 5) (3x²+x-1) + (-x²+4x+) 3x² + x 1 x² + 4x + = x² + 6x + 1 6) (x+3).(4x+1) 8x² + x + 1x + 3 = 8x² + 14x + 3 7) a - (x - y).(x² - xy + y²) x³ - x²y + xy² - x²y + xy² - y³ = x³ - x²y + xy² - y³ = b - (3x - y).(3x + y).(x - y) (3x - y).(6x² - 3xy + xy - y²) = (3x - y).(6x² - xy - y²) = 18x³ - 3x²y - 3xy² - 6x²y + xy² + y³ = 18x³ - 9x²y - xy² + y³ 8) Resposta -0,88. bc b =,. 1,8, = (Substituímos as letras pelos valores passados no enunciado) 3,96 4,84 = -0,88. Portanto, o valor procurado é 0,88. 15

18 9) Resposta -14. x3 10y =.(-3)² - 10.(-4) = (Substituímos as letras pelos valores do enunciado da questão).(7) 10.(-4) = (-54) (-40) = = -14. Portanto -14 é o valor procurado na questão. 10) Resposta 13y reais. Como Gláucia gastou 4y reais, Cristina 6y reais e Karina 3y reais, podemos expressar essas quantias juntas por: 4y + 6y + 3y = ( )y = 13y Importante: Numa expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes, podemos tornar mais simples a expressão somando algebricamente os coeficientes numéricos e mantendo a parte literal. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES; Equação do 1º Grau Veja estas equações, nas quais há apenas uma incógnita: 3x = 16 (equação de 1º grau) y 3 5y = 11 (equação de 3º grau) 1 3x + = x + 1 (equação de 1º grau) 5 O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois recursos: - inverter operações; - efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade. Exemplo 1 Resolução da equação 3x = 16, invertendo operações. Procedimento e justificativa: Se 3x dá 16, conclui-se que 3x dá 16 +, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). Registro 3x = 16 3x = x = 18 x = 18 3 x = 6 Exemplo Resolução da equação 1 3x + = x + 1 5, efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação por mmc (;5) = 10. Dessa forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. Registro 1 3x + /5 = x + 1 / 10 30x + 4 = 10x x - 10x = x = +9(-1) 40x = 9 x = 9/40 x = 0,5 Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um padrão visual. - Se a + b = c, conclui-se que a = c + b. Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade. - Se a. b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b 0. Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito da igualdade. O processo prático pode ser formulado assim: - Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro lado. - Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. Exemplo Resolução da equação 5(x+) = processo prático. (x+). (x-3) 3 - x 3, usando o Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual, multiplicando os dois lados pelo mmc (;3) = 6. A seguir, passamos a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto, passamos a usar o processo prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e números à direita, invertendo operações. Registro 5(x+) (x+). (x-3) - = x (x+) - 6. (x+). (x-3) = 6. x (x + ) (x + )(x 3) = x 15x + 30 (x 3x + x 6) = x 15x + 30 (x x 6) = x 15x + 30 x + x + 1 = x 17x x + 4 = x 17x x + x = 4 17x = 4 x =

19 Note que, de início, essa última equação aparentava ser de º grau por causa do termo - x no seu lado direito. Entretanto, depois das simplificações, vimos 3 que foi reduzida a uma equação de 1º grau (17x = 4). ) Resposta Exercícios 1. Resolva a seguinte equação: x x = x - x Resolva: 3. Calcule: a) -3x 5 = 5 b) x - 1 = 3 c) 3x + 4 = -5x 4. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses? 5. Determine um número real a para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (a + 10)/6 sejam iguais. 6. Determine o valor da incógnita x: a) x 8 = 10 b) 3 7.(1-x) = 5 (x+9) 7. Verifique se três é raiz de 5x 3 = x Verifique se - é raiz de x² 3x = x Quando o número x na equação ( k 3 ).x + ( k 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de K? 10. Resolva as equações a seguir: a)18x - 43 = 65 b) 3x - 16 = 14-17x c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (y - ) - 0 1) Resposta x = x x = x - x Respostas 6(x - 1) - 3(x + 3) = 4x - 4(x - 4) 1 6x 6 3x 9 = 4x 4x x 3x 4x + 4x = x 7x = 31 (-1) - 17x = 31 x = ) a) -3x 5 = 5-3x = (-1) -3x = 30 3x = -30 x = = -10 b) x - 1 = 3 (x) - 1 = 6 4x 1 = 6 4x = x = 7 x = 7 4 c) 3x + 4 = -5x 3x + 5x = -4 8x = -4 x = = -3 4) Resposta 130; 131 e 13. x + (x + 1) + (x + ) = 393 3x + 3 = 393 3x = 390 x = 130 Então, os números procurados são: 130, 131 e 13. 5) Resposta. (3a + 6) / 8 = (a + 10) / 6 6 (3a + 6) = 8 (a + 10) 18a + 36 = 16a + 80 a = 44 a = 44/ = 17

20 6) a) x 8 = 10 x = x = 18 x = 9 V = {9} b) 3 7.(1-x) = 5 (x+9) x = 5 x 9 14x + x = x= 0 x = 0 V= {0} 7) Resposta Verdadeira. 5x 3 = x = = = 1 verdadeira Então 3 é raiz de 5x 3 = x + 6 8) Resposta Errada. x 3x = x 6 (-) 3. (-) = = = -8 Então, - não é raiz de x 3x = x 6 9) Resposta k = 9 15 (k 3).3 + (k 5).4 + 4k = 0 3k 9 + 8k 0 + 4k = 0 3k + 8k + 4k = k = 9 k = ) Resposta a) 18x = x = 108 x = 108/18 x = 6 b) 3x = 14-17x x + 17x = 30 40x = 30 x = 30/40 = ¾ c) 10y - 5-5y = 6y y - 6y = y = -1 y = 1 Equação do º Grau Denomina-se equação do º grau na incógnita x toda equação da forma ax + bx + c = 0, em que a, b, c são números reais e a 0. Nas equações de º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação: - a é sempre o coeficiente do termo em x. - b é sempre o coeficiente do termo em x. - c é sempre o coeficiente ou termo independente. Equação completa e incompleta: - Quando b 0 e c 0, a equação do º grau se diz completa. Exemplos 5x 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = 8, c = 3). y + 1y + 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 1, c = 0). - Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do º grau se diz incompleta. Exemplos x 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = 81). 10t +t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = e c = 0). 5y = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0). Todas essas equações estão escritas na forma ax + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma equação do º grau com uma incógnita. Há, porém, algumas equações do º grau que não estão escritas na forma ax + bx + c = 0; por meio de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-las a essa forma. Exemplo: Pelo princípio aditivo. x 7x + 4 = 1 x x 7x x = 0 x + x 7x = 0 3x 7x + 3 = 0 Exemplo: Pelo princípio multiplicativo. x - 1 = x x (x - 4) - x(x - 4) x(x - 4) = 4(x 4) x(x 4) = x 4x 16 x + 4x = x x + 8x 16 = x x x + 8x 16 = 0 3x + 8x 16 = 0 x x(x - 4) Resolução das equações incompletas do º grau com uma incógnita. - A equação é da forma ax + bx = 0. x + 9 = 0 colocamos x em evidência x. (x 9) = 0 x = 0 ou x 9 = 0 x = 9 Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. - A equação é da forma ax + c = 0. x 16 = 0 Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. (x + 4). (x 4) = 0 x + 4 = 0 x 4 = 0 x = 4 x = 4 Logo, S = { 4, 4}. 18

21 Fórmula de Bhaskara Usando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do º grau de maneira mais simples. Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara. x = -b + - Δ.a Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante r; temos então, três casos a estudar. 1º caso: Δ é um número real positivo ( Δ > 0). Neste caso, Δ é um número real, e existem dois valores reais diferentes para a incógnita x, sendo costume representar esses valores por x e x, que constituem as raízes da equação. x = -b + - Δ.a º caso: Δ é zero ( Δ = 0). -b + Δ x =.a -b - Δ x =.a Neste caso, Δ é igual a zero e ocorre: x = -b + - Δ.a = x = -b a = -b a = -b a Observamos, então, a existência de um único valor real para a incógnita x, embora seja costume dizer que a equação tem duas raízes reais e iguais, ou seja: x = x = -b a 3º caso: Δ é um número real negativo ( Δ < 0). Neste caso, Δ não é um número real, pois não há no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um número negativo. Dizemos então, que não há valores reais para a incógnita x, ou seja, a equação não tem raízes reais. A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante Δ= b 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. Na equação ax + bx + c = 0 - Δ = b 4.a.c - Quando Δ 0, a equação tem raízes reais. - Quando Δ < 0, a equação não tem raízes reais. - Δ > 0 (duas raízes diferentes). - Δ = 0 (uma única raiz). Exemplo: Resolver a equação x + x 8 = 0 no conjunto R. temos: a = 1, b = e c = 8 Δ= b 4.a.c = () 4. (1). ( 8) = = 36 > 0 Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por: x = -b + - Δ.a x = = -() (1) Então: S = {-4, }. 1. Se x = 4x, então: a) x = ou x = 1 b) x = 3 ou x = 1 c) x = 0 ou x = d) x = 0 ou x = 4 e) x = 4 ou x = 1 = = 4 = x = Exercícios = -8 = -4. As raízes reais da equação 1,5x + 0,1x = 0,6 são: a) 5 e 1 b) 3 5 e 3 c) e - 5 d) - 5 e 3 e) 3 5 e As raízes da equação x 3 x 3x = 0 são: a), 0 e 1 b) 1, e 3 c) 3, 0 e 1 d) 1, 0 e 3 e) 3, 0 e 4. Verifique se o número 5 é raiz da equação x + 6x = Determine o valor de m na equação x + (m + 1)x 1 = 0 para que as raízes sejam simétricas. 6. Determine o valor de p na equação x (p + 5)x 1 = 0 para que as raízes sejam simétricas. 7. (U. Caxias do Sul-RS) Se uma das raízes da equação x 3px + 40 = 0 é 8, então o valor de p é: a) 5 b) 13 3 c) 7 d) 5 e) 7 8. O número de soluções reais da equação: -6x + 4x com x 0 e x 3 x - 3x é: a) 0 b) 1 c) - d) 3 e) 4 = -4, 19

22 9. O(s) valor(es) de B na equação x Bx + 4 = 0 para que o discriminante seja igual a 65 é(são): a) 0 b) 9 c) 9 d) 9 ou 9 e) Um valor de b, para que a equação x + bx + = 0 tenha duas raízes reais e iguais é: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Respostas 1. Resposta D. x = 4x x + 4x = 0 x (x + 4) = 0 x = 0 x + 4 = 0 x = -4 Ou x + 6x = 0 x (x + 6) = 0 x=0 ou x+6=0 x=-6 5) Resposta -1. S = -b -(m + 1) = a 1 - m - 1 = 0 m = -1 6) Resposta -5/. x (p + 5)x 1 = 0 (-1) -x +(p + 5)x + 1 = 0 S= -b -(p + 5) = a -1 p + 5 = 0 p = -5 p = - 5/ = - m - 1 P = c a = -1 1 = -1 = p + 5 P= c a = 1-1 = -1 ) Resposta E. 1,5x + 0,1x = 0,6 1,5x + 0,1x - 0,6 = 0 (x10) 15x +1x - 6 = 0 Δ = b 4.a.c Δ = Δ = Δ = 361 7) Resposta C x 3px + 40 = 0 8 3p = p + 40 = p + 40 = 0-4p = (-1) p = 168/4 p = 7 x= ) Resposta D. = = = 3 5 ou = - 3 8) Resposta C. -6x + 4x 3 x - 3x = x(-6x + 4x ) x(x - 3) = -4 Solução x3 x 3x = 0 x (x x 3) = 0 x = 0 x x 3 = 0 Δ = b 4.a.c Δ = Δ = Δ = 16 x= -(-) ) Resposta Não. = S= -b = -6 a 1 = -6 P= c a Raízes: {-6,0} = 6 = 3 ou - = -1 = 0 1 = 0-8x + 1 = -6x + 4x 4x + x - 1 = 0 Δ = b 4.a.c Δ = Δ = Δ = x= =.4 9) Resposta D. x Bx + 4 = 0 b 4.a.c b b 16 = 65 b = b = 81 b = 9 b = -B B = ± = 3 ou = - 0

23 10) Resposta C. x + Bx + = 0 b 4.a.c b 4.. b - 16 b = 16 b = 16 b = 4 Inequação do 1º Grau Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. Mudou de sentido Exemplo: Se 8 > 3, então 8. ( ) < 3. ( ), isto é: 16 < 6 Multiplicamos os dois membros por Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número negativo. Resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade a partir de um conjunto universo dado. Vejamos, através do exemplo, a resolução de inequações do 1º grau. a) x < 5, sendo U = N As inequações x + 5 > 1 e x 4 x + são do 1º grau, isto é, aquelas em que a variável x aparece com expoente 1. A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. Na inequação x + 5 > 1, por exemplo, observamos que: A variável é x; O primeiro membro é x + 5; O segundo membro é 1. Na inequação x 4 x + : A variável é x; O primeiro membro é x 4; O segundo membro é x +. Propriedades da desigualdade Propriedade Aditiva: Mesmo sentido Exemplo: Se 8 > 3, então 8 + > 3 +, isto é: 10 > 5. Somamos + aos dois membros da desigualdade Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos seus dois membros. Propriedade Multiplicativa: Mesmo sentido Exemplo: Se 8 > 3, então 8. > 3., isto é: 16 > 6. Multiplicamos os dois membros por Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número positivo. Os números naturais que tornam a desigualdade verdadeira são: 0, 1,, 3 ou 4. Então V = {0, 1,, 3, 4}. b) x < 5, sendo U = Z Todo número inteiro menor que 5 satisfaz a desigualdade. Logo, V = {...,, 1, 0, 1,, 3, 4}. c) x < 5, sendo U = Q Todo número racional menor que 5 é solução da inequação dada. Como não é possível representar os infinitos números racionais menores que 5 nomeando seus elementos, nós o faremos por meio da propriedade que caracteriza seus elementos. Assim: V = {x Q / x <5} Resolução prática de inequações do 1º grau: A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. Exemplo Resolver a inequação 4(x ) (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 4(x ) (3x + 1) + 5 4x 8 6x aplicamos a propriedade distributiva 4x 6x aplicamos a propriedade aditiva x 15 reduzimos os termos semelhantes Multiplicando os dois membros por 1, devemos mudar o sentido da desigualdade. x 15 1

24 Dividindo os dois membros por, obtemos: x 15 x 15 Logo, V = x Q x 15 Vamos determinar o conjunto verdade caso tivéssemos U = Z. Sendo 15 = 7,5, vamos indicá-lo na reta numerada: Logo, V = { 7, 6, 5, 4,...} ou V = {x Z x 7}. Exercícios 1. Resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, sendo U = Q.. Resolver a inequação x 1 4 x 3x, sendo U = Q Verificar se os números racionais 9 e 6 fazem parte do conjunto solução da inequação 5x 3. (x + 6) > x Resolva as seguintes inequações, em R. a) x + 1 x + 6 b) - 3x x Calcule as seguintes inequações, em R. a) (x + 3) > 3 (1 - x) b) 3(1 - x) < (x + 1) + x - 7 c) x/3 - (x+1)/ < (1 - x) / 4 6. Resolva as seguintes inequações, em R. a) (x + 3) > (-x-1) b) [1 - *(x-1)] < c) 6x + 3 < 3x Calcule as seguintes inequações, em R. a) 8(x + 3) > 1 (1 - x) b) (x + 10) > (-x +6) 8. Resolva a inequação: 4x x Calcule a inequação 3(x + 4) < 4( x). 10. Quais os valores de x que tornam a inequação -x +4 > 0 verdadeira? Respostas 1) Resposta S= x Q / x > x + 6 > 4x + 7 7x 4x > 7 6 3x > 1 x > 1 3 Da inequação x > 1, podemos dizer que todos os números 3 racionais maiores que 1 formam o conjunto solução de inequação 3 dada, que é representada por: S= x Q / x > 1 3 ) Resposta S = x Q / x > 3. x 1 x 3x 10x x 5 4.( 3x) 10x x 10x 1 x -3 -x -3 (-1) x 3 x ( + 3x) = 0 Todo número racional maior ou igual 3 conjunto solução da inequação dada, ou seja: S= x Q / x > 3 3) Resposta 6 faz parte; -9 não faz parte. 5x 3. (x + 6) > x 14 5x 3x 18 > x 14 x x > x > 4 a faz parte do Fazendo agora a verificação: - Para o número 9, temos: x > 4 9 > 4 (sentença falsa) - Para o número 6, temos: x > 4 6 > 4 (sentença verdadeira) Então, o número 6 faz parte do conjunto solução da inequação, enquanto o número 9 não faz parte desse conjunto. 4) a) x - x + 1 x - x + 6 x x 5 b) - 3x - x x - x x 14-4x 1 - x 3 x -3 5) a) x + 6 > 3-3x x - x + 6 > 3-3x - x 6-3 > -5x 3 > - 5x -x < 3/5 x > -3/5

25 b) 3-6x < x + + x - 7-6x - 3x < -8-9x < -8 9x > 8 x > 8/9 c) Primeiro devemos achar um mesmo denominador. 4x 6.(x +1) 3.(1 x) < x 6x 6 3 3x < 1 1 -x - 6 < 3-3x x < 9 6) a) x + 3 > -x - 1 x > -4 x > -4/ x > - b) 1 - x + < - x < x < -1 x > 1 x > 1/ c) 6x - 3x < x < 15 x < 15/3 x < 5 7) a) 8x + 4 > 1-1x 0x > 1-4 0x > -1 x > -1/0 x > -3/5 b) x + x > 6-10 x > -4 x > -4/ x > - 8) Resposta x -3. 4x x x x x 17-5x 17-5x 15 5x -15 x -3 9) Resposta x > -7/4. 3x + 1 < 8 4x 3x 3x + 1 < 8 4x 3x 1 < 8 7x 1 8 < 7x 4 < 7x -x > 7/4 x > -7/4 10) -x > -4 -x > -4 (-1) x < 4 x< O número não é a solução da inequação dada, mais sim qualquer valor menor que. Verifique a solução: Para x = 1 -x +4 > 0 -.(1) +4 > > 0 > 0 (verdadeiro) Observe, então, que o valor de x menor que é a solução para inequação. Inequação do º Grau Chamamos inequação do º grau às sentenças: ax + bx + c > 0 ax + bx + c 0 ax + bx + c < 0 ax + bx + c 0 Onde a, b, c, são números reais conhecidos, a 0, e x é a incógnita. Estudo da variação de sinal da função do º grau: - Não é necessário que tenhamos a posição exata do vértice, basta que ele esteja do lado certo do eixo x; - Não é preciso estabelecer o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo y e considerando que as imagens acima do eixo x são positivas e abaixo do eixo negativas, podemos dispensar a colocação do eixo y. Para estabelecer a variação de sinal de uma função do º grau, basta conhecer a posição da concavidade da parábola, voltada para cima ou para baixo, e a existência e quantidade de raízes que ela apresenta. Consideremos a função f(x) = ax + bx + c com a 0. 3

26 8. Resolva a inequação -x² MATEMÁTICA 9. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: a) x - 6x = 0 b) x - 10x + 5 = Para que os valores de x a expressão x² x é maior que 15? 1) a) a = 5; b = -3; c = - Equação completa Respostas Finalmente, tomamos como solução para inequação as regiões do eixo x que atenderem às exigências da desigualdade. Exemplo Resolver a inequação x 6x Fazemos y = x 6x Estudamos a variação de sinal da função y. - Tomamos, como solução da inequação, os valores de x para os quais y > 0: S = {x R x < ou x > 4} Observação: Quando o universo para as soluções não é fornecido, fazemos com que ele seja o conjunto R dos reais. Exercícios b) a = 3; b = 0; c = 55 Equação incompleta ) Sabemos que são duas as raízes, agora basta testarmos. (-).(-) - 8 = 0 (-) = 0 (achamos uma das raízes) = = = = 0 (achamos a outra raiz) 3) (-3)² - 7.(-3) - c = c = 0 30 = c c = 15 4) Resposta S = {x Є R / 7/3 < x < 1}. 1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: a) 5x - 3x - = 0 b) 3x + 55 = 0. Dentre os números -, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x -x-8= 0? 3. O número -3 é a raíz da equação x - 7x - c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c: 4. Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < Determine a solução da inequação x² x Calcule a solução da inequação x² 6x + 9 > Determine a solução da inequação x² 4x 0. S = {x Є R / 7/3 < x < 1} 4

27 5) Resposta S = {x Є R / x < 1 ou x > 1/}. 8) Resposta S = {x Є R/ - x }. -x² + 4 = 0. x² 4 = 0. x 1 = x = - S = {x Є R/ - x } 9) a) a = 1; b = -6; c = 0 Equação incompleta b) a = 1; b = -10; c = 5 Equação completa S = {x Є R / x < 1 ou x > 1/} 6) Resposta S = {x Є R / x < 3 e x > 3}. 10) x² x > 15 x² x 15 > 0 Calculamos o Zero: x² x 15 = 0 x = -3 ou x = +5 ANOTAÇÕES S = {x Є R / x < 3 e x > 3} 7) Resposta S = {x Є R / x 0 ou x 4}. S = {x Є R / x 0 ou x 4} 5

28 ESPAÇO E FORMA: DESCRIÇÃO, INTERPRETAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DA LOCALIZAÇÃO E MOVIMENTAÇÃO DE PESSOAS E OBJETOS. FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS E PLANAS: CARACTERÍSTICAS, PROPRIEDADES, ELEMENTOS CONSTITUINTES, COMPOSIÇÃO, DECOMPOSIÇÃO, AMPLIAÇÃO, REDUÇÃO E REPRESENTAÇÃO; Perímetro Entendendo o que é perímetro. Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento. Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé? A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa ideia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo. Reta, semirreta e segmento de reta A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja: P = ( ) 1 P = 6 1 P = 5 Definições. a) Segmentos congruentes. Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes. c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio Ângulo Colocaríamos 5m de rodapé. A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro. Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana. Área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área: Definições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida. c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. 6

29 Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros. Se tivermos uma figura do tipo: O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma: A = 6. 4 A = 4 cm² Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é: A = b. h Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades. No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área. Quadrado É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos a congruentes (90º). Retângulo É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula: No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio: Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a, então, substituindo na fórmula A = b. h, temos: A =. A= ² Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 4 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 4 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo. Trapézio É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases. Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases. 7

30 Cálculo da área do CFD: A = b. h Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer: A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b. h (b = base e h = altura). Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área): AT = A 1 + A AT = B. h + b. h AT = B. h + b. h colocar a altura (h) em evi- dência, pois é um termo comum aos dois fatores. AT = h (B + b) Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como: Primeiro: completamos as alturas no trapézio: Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula: A = h (B + b) h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio Losango Segundo: o dividimos em dois triângulos: É o quadrilátero que tem os lados congruentes. A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos ( CFD e CEF). Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais. Cálculo da área do CEF: A 1 = B. h Em todo losango as diagonais são: a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos. A área do losango é definida pela seguinte fórmula: dd. Onde D é a diagonal maior e d é a menor. S = 8

31 Triângulo Figura geométrica plana com três lados. 3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º. Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado. 4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente. Classificação dos triângulos. a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno. b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo. Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto. Área do triangulo Propriedades dos triângulos 1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º. Segmentos proporcionais Teorema de Tales. ) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. 9

32 Semelhança de triângulos Definição. Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais. Definição mais popular. Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro. Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc. 6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre si, um ângulo reto (90 ). Observe a figura: Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine: a) as dimensões do cartão; b) o comprimento do vinco AC 7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC= e AB=6. A medida de AE é: a)6/5 b)7/4 c)9/5 d)3/ e)5/4 Exercícios 1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero? 3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e dm? 4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície? 5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR, pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede: 8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta valem e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB a)3 b)4 c)5 d)6 e)7 9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala tem 36m², determine: a) a área de cada peça, em m². b) o perímetro de cada peça, em metros. 10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se AB= 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é: a)6 b)4 c)3 d) e) 3 a)5 b)6 c)7 d)8 30

33 Respostas 1. A = (b)(h) = 4bh = 4A1. Segundo o enunciado temos: l=5mm Substituindo na fórmula: l² 3 5² 3 S = S = = 6, 5 3 S = 10, Sabemos que dm equivalem a 0 cm, temos: h=10 b=0 Substituindo na fórmula: S = b. h = 0.10 = 100 cm² = dm² 4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo: d1=10 d=15 Utilizando na fórmula temos: d1. d S = = 75 cm² PR 6 PR = 9 = 6 = 6. x 9 = x² = 144 x= 1 16 x a) x = 1( altura);x = 4( comprimento) b) AC = 9² + x² = =

34 MEDIDAS: PROCEDIMENTOS E INSTRUMENTOS DE MEDIDA; SISTEMAS DE MEDIDAS DECIMAIS (COMPRIMENTO, SUPERFÍCIE, VOLUME, CAPACIDADE, MASSA E TEMPERATURA) E CONVERSÕES; MEDIDAS DE TEMPO E CONVERSÕES; Sistema de Medidas Decimais Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais. Unidades de Comprimento km hm dam m dm cm mm quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. Por isso, o sistema é chamado decimal. 3

35 E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro. As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. São elas: quilômetro quadrado (km ), hectômetro quadrado (hm ), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm = 1 ha. No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 10. Unidades de Área km hm dam m dm cm mm quilômetro quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado m 10000m 100m 1m 0,01m 0,0001m 0,000001m Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km 3 ), hectômetro cúbico (hm 3 ), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico. Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 10 3, o sistema continua sendo decimal. Unidades de Volume km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico m m m 3 1m 3 0,001m 3 0,000001m 3 0, m 3 A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm 3. Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. Unidades de Capacidade kl hl dal l dl cl ml quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centímetro mililitro 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama. Unidades de Massa kg hg dag g dg cg mg quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama 1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg. Não Decimais Desse grupo, o sistema hora minuto segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido. h =. 60min = 10 min = s = 7 00s Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60. 0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min. Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então: 1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60 ) 1 minuto equivale a 60 segundos (1 = 60 ) 33

36 Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema hora minuto segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes: 1h3min4s é um intervalo de tempo ou um instante do dia. 1º 3 4 é a medida de um ângulo. Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora minuto segundo são similares a cálculos no sistema grau minuto segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas. Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para medir a informação armazenada em memória de computadores, disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes (b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os prefixos kilo e mega, essas unidades não formam um sistema decimal. Um kilobyte equivale a 10 bytes e 1 megabyte equivale a 10 kilobytes. Exercícios 1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou na hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas terminará a aula de inglês? a) 14h b) 14h 30min c) 15h 15min d) 15h 30min e) 15h 45min. 348 mm 3 equivalem a quantos decilitros? 3. Quantos decalitros equivalem a 1 m 3? 4. Passe 50 dm para hectômetros quadrados. 5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3? 6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl? 7. Passe 5.00 gramas para quilogramas. 8. Converta,5 metros em centímetros. 9. Quantos minutos equivalem a 5h05min? 10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 10h35min? Respostas 1) Resposta D. Basta somarmos todos os valores mencionados no enunciado do teste, ou seja: 13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min Logo, a questão correta é a letra D. ) Resposta 0, dl. Como 1 cm 3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm 3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centímetros cúbicos: 0,348 cm 3. Logo 348 mm 3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm 3 e ml se equivalem. Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida de capacidade. Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10 duas vezes: 0, 348 ml :10 :10 0, 00348dl Logo, 348 mm³ equivalem a 0, dl. 3) Resposta 100 dal. Sabemos que 1 m 3 equivale a l, portanto para convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então por 10 apenas uma vez: 1000 l :10 dal Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda. Poderíamos também raciocinar da seguinte forma: Como 1 m 3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes: 1 kl dal Logo, 100 dal equivalem a 1 m³. 4) Resposta 0, hm². Para passarmos de decímetros quadrados para hectômetros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes: 50 dm :100 :100 :100 0, 00005hm Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda. Portanto, 50 dm² é igual a 0, hm². 5) Resposta 0, km 3, ou a 1,4 x km3. Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes: 3 14 mm :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 : :10 km km 1, 4.10 km km Portanto, 0, km 3, ou a 1,4 x km3 se expresso em notação científica equivalem a 14 mm 3. 34

37 6) Resposta cl. Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita. Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes: 15 hl cl Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita. Logo, cl equivalem a 15 hl. 7) Resposta 5, kg. Para passarmos 5.00 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de quilograma) 5.00 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda. Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma: 500 g :10 :10 :10 5, kg Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda. Portanto, 5.00 g são iguais a 5, kg. 8) Resposta 50 cm. Para convertermos,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de centímetro),5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita. Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros:,5 m cm Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita. Logo,,5 m é igual a 50 cm. 9) Resposta 305min. (5. 60) + 5 = 305 min. 10) Resposta 45 min. 45 min SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO; O primeiro dinheiro do Brasil foi à moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comércio foi feito por meio da troca de mercadorias, mesmo após a introdução da moeda de metal. As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o início da colonização portuguesa. A unidade monetária de Portugal, o Real, foi usada no Brasil durante todo o período colonial. Assim, tudo se contava em réis (plural popular de real) com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. O Real (R) vigorou até 07 de outubro de De acordo com a Lei nº 59, de 08 de outubro de 1833, entrou em vigor o Mil-Réis (Rs), múltiplo do real, como unidade monetária, adotada até 31 de outubro de 194. No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou nove moedas diferentes (mil-réis, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real). Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 194, uma nova unidade monetária, o cruzeiro Cr$ veio substituir o mil-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis. A denominação cruzeiro origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao título de 900 milésimos de metal e 100 milésimos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto nº 5.108, de 18 de dezembro de 196, no regime do ouro como padrão monetário. O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, transformou o cruzeiro Cr$ em cruzeiro novo NCr$, na base de NCr$ 1,00 por Cr$ A partir de 15 de maio de 1970 e até 7 de fevereiro de 1986, a unidade monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$). Em 7 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-Lei nº.83, de 7 de fevereiro de 1986): o cruzeiro Cr$ se transformou em cruzado Cz$, na base de Cz$ 1,00 por Cr$ (vigorou de 8 de fevereiro de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do mesmo ano, o Plano Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda. Em junho de 1987, Luiz Carlos Brésser Pereira, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado requentado avaliou Mário Henrique Simonsen. Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Verão (Medida Provisória nº 3, de 15 de janeiro de 1989): o cruzado Cz$ se transformou em cruzado novo NCz$, na base de NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de 16 de janeiro de 1989 a 15 de março de 1990). Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra da Fazenda, anunciou o Plano Collor (Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990): o cruzado novo NCz$ se transformou em cruzeiro Cr$, na base de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 de março de 1990 a 8 de julho de 1993). Em janeiro de 1991, a inflação já passava de 0% ao mês, e o Plano Collor II tentou novamente a estabilização da moeda. A Medida Provisória nº 336, de 8 de julho de1993, transformou o cruzeiro Cr$ em cruzeiro real CR$, na base de CR$ 1,00 por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 9 de julho de 1993 a 9 de junho de 1994). Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Real: o cruzeiro real CR$ se transformou em real R$, na base de R$ 1,00 por CR$.750,00 (Medida Provisória nº 54, de 30 de junho de 1994, convertida na Lei nº 9.069, de 9 de junho de 1995). O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964, delegou ao Banco Central do Brasil competência para emitir papel- -moeda e moeda metálica, competência exclusiva consagrada pelo artigo 164 da Constituição Federal de Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC), o Banco do Brasil e o Tesouro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetária. 35

38 A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por finalidade exercer o controle monetário. A SUMOC fixava os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, as taxas do redesconto e da assistência financeira de liquidez, bem como os juros. Além disso, supervisionava a atuação dos bancos comerciais, orientava a política cambial e representava o País junto a organismos internacionais. O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo, e o Tesouro Nacional era o órgão emissor de papel-moeda. Cruzeiro 1000 réis = Cr$1(com centavos) O Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 194 (D.O.U. de 06 de outubro de 194), instituiu o Cruzeiro como unidade monetária brasileira, com equivalência a um mil réis. Foi criado o centavo, correspondente à centésima parte do cruzeiro. Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinquenta mil e quatrocentos réis) passou a expressar-se Cr$ 4.750,40 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros e quarenta centavos) Cruzeiro (sem centavos) A Lei nº 4.511, de 01de dezembro de1964 (D.O.U. de 0 de dezembro de 1964), extinguiu a fração do cruzeiro denominada centavo. Por esse motivo, o valor utilizado no exemplo acima passou a ser escrito sem centavos: Cr$ (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros). Cruzeiro Novo Cr$1000 = NCr$1(com centavos) O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de1965 (D.O.U. de 17 de novembro de 1965), regulamentado pelo Decreto nº , de 08 de fevereiro de1967 (D.O.U. de 09 de fevereiro de 1967), instituiu o Cruzeiro Novo como unidade monetária transitória, equivalente a um mil cruzeiros antigos, restabelecendo o centavo. O Conselho Monetário Nacional, pela Resolução nº 47, de 08 de fevereiro de 1967, estabeleceu a data de para início de vigência do novo padrão. Exemplo: Cr$ (quatro mil, setecentos e cinquenta cruzeiros) passou a expressar-se NCr$ 4,75(quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos). Cruzeiro De NCr$ para Cr$ (com centavos) A Resolução nº 144, de 31 de março de 1970 (D.O.U. de 06 de abril de 1970), do Conselho Monetário Nacional, restabeleceu a denominação Cruzeiro, a partir de 15 de maio de 1970, mantendo o centavo. Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos) passou a expressar-se Cr$ 4,75(quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos). Cruzeiros (sem centavos) A Lei nº 7.14, de 15 de agosto de 1984 (D.O.U. de ), extinguiu a fração do Cruzeiro denominada centavo. Assim, a importância do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos), passou a escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a vírgula e os algarismos que a sucediam. Cruzado Cr$ 1000 = Cz$1 (com centavos) O Decreto-Lei nº.83, de 7 de fevereiro de 1986 (D.O.U. de 8 de fevereiro de 1986), posteriormente substituído pelo Decreto- -Lei nº.84, de 10 de março de 1986 (D.O.U. de 11 de março de 1986), instituiu o Cruzado como nova unidade monetária, equivalente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo. A mudança de padrão foi disciplinada pela Resolução nº 1.100, de 8 de fevereiro de 1986, do Conselho Monetário Nacional. Exemplo: Cr$ (um milhão, trezentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos). Cruzado Novo Cz$ 1000 = NCz$1 (com centavos) A Medida Provisória nº 3, de 15 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 16 de janeiro de 1989), convertida na Lei nº 7.730, de 31 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 01 de fevereiro de 1989), instituiu o Cruzado Novo como unidade do sistema monetário, correspondente a um mil cruzados, mantendo o centavo. A Resolução nº 1.565, de 16 de janeiro de 1989, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a implantação do novo padrão. Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos) passou a expressar-se NCz$ 1,30 (um cruzado novo e trinta centavos). Cruzeiro De NCz$ para Cr$ (com centavos) A Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990 (D.O.U. de 16 de março de 1990), convertida na Lei nº 8.04, de 1 de abril de 1990 (D.O.U. de 13 de abril de 1990), restabeleceu a denominação Cruzeiro para a moeda, correspondendo um cruzeiro a um cruzado novo. Ficou mantido o centavo. A mudança de padrão foi regulamentada pela Resolução nº 1.689, de 18 de março de 1990, do Conselho Monetário Nacional. Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados novos) passou a expressar-se Cr$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzeiros). 36

39 Cruzeiro Real Cr$ 1000 = CR$ 1 (com centavos) A Medida Provisória nº 336, de 8 de julho de 1993 (D.O.U. de 9 de julho de 1993), convertida na Lei nº 8.697, de 7 de agosto de 1993 (D.O.U. de 8 agosto de 1993), instituiu o Cruzeiro Real, a partir de 01 de agosto de 1993, em substituição ao Cruzeiro, equivalendo um cruzeiro real a um mil cruzeiros, com a manutenção do centavo. A Resolução nº.010, de 8 de julho de 1993, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a mudança na unidade do sistema monetário. CÁLCULO E COMPARAÇÃO DE PERÍMETRO E ÁREA; APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS; Para explicar o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir que visualizem a seguinte figura: Exemplo: Cr$ ,00 (um milhão, setecentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se CR$ 1.700,50 (um mil e setecentos cruzeiros reais e cinquenta centavos). Real CR$.750 = R$ 1(com centavos) A Medida Provisória nº 54, de 30 de junho de 1994 (D.O.U. de 30 de junho de 1994), instituiu o Real como unidade do sistema monetário, a partir de 01 de julho de 1994, com a equivalência de CR$.750,00 (dois mil, setecentos e cinquenta cruzeiros reais), igual à paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia 30 de junho de Foi mantido o centavo. Como medida preparatória à implantação do Real, foi criada a URV - Unidade Real de Valor - prevista na Medida Provisória nº 434, publicada no D.O.U. de 8 de fevereiro de 1994, reeditada com os números 457 (D.O.U. de 30 de março de 1994) e 48 (D.O.U. de 9 de abril de 1994) e convertida na Lei nº 8.880, de 7 de maio de 1994 (D.O.U. de 8 de maio de 1994). Exemplo: CR$ ,00 (onze milhões de cruzeiros reais) passou a expressar-se R$ 4.000,00 (quatro mil reais). a) A figura representa a planificação de um prisma reto; b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela altura do sólido, isto é V = Ab x a c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas; d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma reto. Os formulários seguintes, das figuras geométricas são para calcular da mesma forma que as acima apresentadas: Figuras Geométricas: Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetária do País responsável pela execução da política financeira do governo. Cuida ainda da emissão de moedas, fiscaliza e controla a atividade de todos os bancos no País. Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - Órgão internacional que visa ajudar países subdesenvolvidos e em desenvolvimento na América Latina. A organização foi criada em 1959 e está sediada em Washington, nos Estados Unidos. Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD) é conhecido. Órgão internacional ligado a ONU, a instituição foi criada para ajudar países subdesenvolvidos e em desenvolvimento. Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) - Empresa pública federal vinculada ao Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior que tem como objetivo financiar empreendimentos para o desenvolvimento do Brasil. 37

40 O conceito de cone Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região. Elementos do cone - Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva. - Vértice: O vértice do cone é o ponto P. - Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base. - Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. - Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base. - Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base. - Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo. - Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo. Observações sobre um cone circular reto 1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB. 3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: g = h + R 4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):a Lat = Pi R g 5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone): A Total = Pi R g + Pi R Cones Equiláteros Classificação do cone Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo. Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica. Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base. A área da base do cone é dada por: A Base =Pi R Pelo Teorema de Pitágoras temos: (R) = h + R h = 4R - R = 3R Assim: h = R Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então: V = (1/3) Pi R 3 Como a área lateral pode ser obtida por: A Lat = Pi R g = Pi R R = Pi R então a área total será dada por: A Total = 3 Pi R 38

41 O conceito de esfera A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela quais muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana. Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento, mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional: S o = {x em R: x²=1} = {+1,-1} Por exemplo, a esfera S 1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 } é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano. Aplicação: volumes de líquidos Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência. Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera? Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta. É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se devem confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações. O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta. Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por: x² + y² + z² = R² e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é: x² + y² + z² < R² Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (x o,y o,z o ), a equação da esfera é dada por: (x-x o )² + (y-y o )² + (z-z o )² = R² e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que: A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico. A superfície esférica A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro. Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é: S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 } (x-x o )² + (y-y o )² + (z-z o )² < R² Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0). Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R 4 é dada por: S³ = { (w,x,y,z) em R 4 : w² + x² + y² + z² = 1 } 39

42 Seccionando a esfera x²+y²+z²=r² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ( boca para baixo ) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul ( boca para cima ) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva. Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=r² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será: x=0, y² + z² = R sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera. Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução. Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=r² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica. Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei calota esférica com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície. A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=r² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=r² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica. No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, calota esférica para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e A(total) será a área total. Esfera Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos Objeto Calota esférica (altura h, raio da base r) Segmento esférico (altura h, raios das bases r 1 >r²) Relações e fórmulas Volume = (4/3) Pi R³ A(total) = 4 Pi R² R² = h (R-h) A(lateral) = Pi R h A(total) = Pi h (4R-h) V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6 R² = a² + [(r 1 ² -r ²-h²)/h)]² A(lateral) = Pi R h A(total) = Pi(Rh+r 1 ²+r ²) Volume=Pi.h(3r 1 ²+3r ²+h²)/6 Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da calota esférica em função da altura da mesma. Volume de uma calota no hemisfério Sul Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R. A equação desta esfera será dada por: x² + y² + (z-r)² = R² De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma calota esférica superior e uma calota esférica inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica. Consideremos uma calota esférica com altura h 1 e raio da base r 1 e retiremos desta calota uma outra calota esférica com altura h e raio da base r, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas. A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência x² + y² = R² - (h-r)² Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter: z = R R (x + y ) 40

43 Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar: r² = R² - (h-r)² = h(r-h) A região circular S de integração será descrita por x²+y²<r² ou em coordenadas polares através de: 0<m<R, 0<t<Pi A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por: Vc(h) = s (h z)dxdy ou seja Vc(h) = s(h R + R (x + y ))dxdy Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma: x R Vc(h) = (h R + R m )mdmdt t=0 m=0 Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais: Vc(h) = π { (h R)mdm + R m mdm} ou seja: R 0 Vc(h) = π {(h R)R R m ( m)dm} R 0 Com a mudança de variável u=r²-m² e du=(-m)dm poderemos reescrever: Vc(h) = π {(h R)R + R R 0 u du} u=0 Após alguns cálculos obtemos: V C (h) = Pi (h-r) [R² -(h-r)²] - (/3)Pi[(R-h)³ - R³] e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por: V C (h) = Pi h²(3r-h)/3 Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=r-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por: V C (d) = Pi d²(3r-d)/3 e como h=r-d, então para h no intervalo [R,R], poderemos escrever o volume da calota vazia em função de h: V C (h) = Pi (R-h)²(R+h)/3 Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter: V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (R-h)²(R+h)/3 que pode ser simplificada para: V(h) = Pi h²(3r-h)/3 Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,R] ou de uma forma geral em [0,R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por: V(h) = Pi h²(3r-h)/3 Poliedro Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados. Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro. Poliedros Regulares Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice. Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro Volume de uma calota no hemisfério Norte Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,R] Áreas e Volumes Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada. Poliedro regular Área Volume Tetraedro a R[3] (1/1) a³ R[] Hexaedro 6 a a³ Octaedro a R[3] (1/3) a³ R[] Dodecaedro 3a R{5+10 R[5]} (1/4) a³ (15+7 R[5]) Icosaedro 5a R[3] (5/1) a³ (3+R[5]) Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0. 41

44 Prisma Planificação do prisma Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. Prisma reto As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. As faces laterais são retangulares. Prisma oblíquo As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são oblíquas ao plano da base. As faces laterais não são retangulares. Bases: regiões poligonais congruentes Altura: distância entre as bases Arestas laterais paralelas: mesmas medidas Faces laterais: paralelogramos Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo Seções de um prisma Seção transversal É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases. Seção reta (seção normal) É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais. Princípio de Cavaliere Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais. Prisma regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado. Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma superfície que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total. Volume de um prisma O volume de um prisma é dado por: Vprisma = Abase. h Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como: Cilindros Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos também um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo. Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R 3, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, cilindro e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro. A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fica no plano do chão é a diretriz. 4

45 Exercícios MATEMÁTICA 1. Dado o cilindro circular equilátero (h = r), calcular a área lateral e a área total.. Seja um cilindro circular reto de raio igual a cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume. Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do chão, o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento PQ for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz. Objetos geométricos em um cilindro Num cilindro, podemos identificar vários elementos: - Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases. - Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do cilindro. - Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do cilindro. - Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz. - Superfície Total É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro. - Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro. - Área total É a medida da superfície total do cilindro. - Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro. Classificação dos cilindros circulares Cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases. Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo. Cilindro equilátero É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado. Volume de um cilindro Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = A base h Se a base é um círculo de raio r, então: V = r h Áreas lateral e total de um cilindro circular reto Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por: A lat = r h onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A tot = A lat + A base A tot = r h + r A tot = r(h+r) 3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 1 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone. 4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete? Respostas 1) No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por: A lat = r. r = 4 r A tot = A lat + A base A tot = 4 r + r = 6 r V = A base h = r. r = r 3 ) Cálculo da Área lateral A lat = r h =.3 = 1 cm Cálculo da Área total A tot = A lat + A base A tot = 1 + = = 0 cm Cálculo do Volume V = Abase h = r h V = 3 = 4 3 = 1 cm 33 3) h prisma = 1 A base do prisma = A base do cone = A V prisma = V cone A h prisma = (A h)/3 1 =.h/3 h =18 cm 4) V = V cilindro - V cone V = A base h - (1/3) A base h V = Pi R h - (1/3) Pi R h V = (/3) Pi R h cm 3 ANOTAÇÕES 43

46 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: LEITURA, INTERPRETAÇÃO E CONSTRUÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS. Tipos de gráficos: Os dados podem então ser representados de várias formas: Diagramas de Barras Diagramas Circulares Tabela de Frequências: Como o nome indica, conterá os valores da variável e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela de frequência consiste em listar os valores possíveis da variável, numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos do número de suas ocorrências. A frequência do valor i será representada por ni, a frequência total por n e a frequência relativa por fi = ni/n. Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quantitativas em geral), faz sentido incluirmos também uma coluna contendo as frequências acumuladas f ac, obtidas pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considerado. No caso das variáveis quantitativas contínuas, que podem assumir infinitos valores diferentes, é inviável construir a tabela de frequência nos mesmos moldes do caso anterior, pois obteríamos praticamente os valores originais da tabela de dados brutos. Para resolver este problema, determinamos classes ou faixas de valores e contamos o número de ocorrências em cada faixa. Por ex., no caso da variável peso de adultos, poderíamos adotar as seguintes faixas: kg, kg, 50 60, 60 70, e assim por diante. Apesar de não adotarmos nenhuma regra formal para estabelecer as faixas, procuraremos utilizar, em geral, de 5 a 8 faixas com mesma amplitude. Eventualmente, faixas de tamanho desigual podem ser convenientes para representar valores nas extremidades da tabela. Exemplo: Histogramas Pictogramas 1ª (10) ª (8) 3ª (4) 4ª (5) 5ª (4) = 1 unidade Gráfico de Barras: Para construir um gráfico de barras, representamos os valores da variável no eixo das abscissas e suas as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da variável desenhamos uma barra com altura correspondendo à sua frequência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é interessante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados. Exemplo: 44

47 Gráfico de Linha ou Sequência: Adequados para apresentar observações medidas ao longo do tempo, enfatizando sua tendência ou periodicidade. Exemplo: Diagrama Circular: Para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor (calculadas multiplicando-se a frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas nominais. Exemplo: Polígono de Frequência: Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das classes. Exemplo: Histograma: O histograma consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. Exemplo: Gráfico de Ogiva: Apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente utilizando os pontos extremos. 45