CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

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1 Fundamentos de Álgebra Moderna Profª Ana Paula CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros formam um conjunto, que notaremos por, no qual estão definidas duas operações, que chamaremos de adição e multiplicação e denotaremos por e. Notação: 0, 1, 2, 3, conjunto dos números inteiros 1, 2, 3,, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 0 0, 1, 2, 3, conjunto dos números inteiros não-negativos., 3, 2, 1, 0 conjunto dos números inteiros não-positivos. 1, 2, 3, conjunto dos números inteiros positivos ou estritamente positivos., 3, 2, 1 conjunto dos números inteiros negativos ou estritamente negativos. 2n k /k 2n, n conjunto dos inteiros pares. 2n 1 k /k 2n 1 ou k 2n 1, n conjunto dos inteiros ímpares. Os axiomas que passaremos a detalhar descreverão algumas das propriedades básicas das operações, que tomaremos como base para desenvolver a teoria. Qualquer outra propriedade, mesmo que intuitivamente óbvia, poderá ser demonstrada a partir dessas. O primeiro grupo de axiomas descreverá algumas propriedades da adição: Propriedades da adição: A.1 Associativa: Para toda a terna a, b, c de inteiros tem-se que: a b c a b c. A.2 Existência de Neutro: Existe um único elemento, denominado neutro aditivo ou zero, que indicaremos por 0, tal que a 0 0 a a, para todo. A.3 Existência de Oposto: Para cada inteiro a existe um único elemento que chamaremos oposto de a e indicaremos por a, tal que a a 0. A.4 Comutativa:Para todo par a, b de inteiros tem-se que a b b a. 1

2 O outro grupo de axiomas explicita algumas das propriedades da multiplicação: Propriedades da multiplicação: A.5 Associativa: Para toda a terna a, b, c de inteiros tem-se que: a bc ab c. A.6 Existência de Neutro: Existe um único elemento, diferente de zero, denominado neutro multiplicativo, que indicaremos por 1, tal que a a a, para todo a. A.7 Lei do cancelamento: Para toda a terna a, b, c de inteiros, com a 0, tem-se que, se ab ac, então a b. A.8 Comutativa:Para todo par a, b de inteiros tem-se que ab bc. Definição: Sejam a, b. Definimos a b a b. Proposição 1 (Propriedade cancelativa da adição): Para toda a terna a, b, c de inteiros tem-se que, se a b a c, então b c. Propriedade 2: :Para toda a terna a, b, c de inteiros, com a 0, tem-se que, a b c ab ac. Proposição 3: Para todo inteiro a, tem-se que a Proposição 4: Sejam a, b inteiros, tais que a. b 0. Então, a 0 ou b 0. Proposição 5 (Regra dos Sinais): Sejam a, b inteiros. Então vale: i) a a ii) a b ab a b. iii) a b ab Definição 1: O valor absoluto, a, de um número inteiro a é definido por: a se a 0 a a se a 0 Logo, a. 2

3 Definição 2: Seja a. Definem-se 1. a a a 0 1 k 1. a k. a a a k 1 a k. a sempre que ka e a k, para k, estão definidas. Propriedades: Sejam a, b e quaisquer m, n : 1) ma na m n a 2) m na m. n a 3) a m. a n a m n 4) a n m a n.m 5) na nb n a b 6) a n. b n ab n Definição 3: Dados dois conjuntos, A e B, não vazios. O produto cartesiano de A por B é o conjunto formado por todos os pares ordenados x, y, com x A e y B. A B x, y /x A e y B Exemplo: Sejam os conjuntos A 0, 1, 2, 3 e B 4, 5, 6. O produto cartesiano de de A por B é dado por E F Definição 4: Uma relação R é um conjunto de pares ordenados, isto é, R a, b A B/p a, b Se a propriedade p a, b é verdadeira, então dizemos que "a está relacionado com b mediante a R", arb. Se a propriedade p a, b é falsa, então dizemos que "a não está relacionado com b mediante a R", aŕb. Seja R uma relação e sejam os conjuntos A e B. Dizemos que R é uma relação sobre A desde que R A A; e dizemos que R é uma relação de A para B se R A B. Como, formalmente, uma relação é um conjunto, todas as operações sobre conjuntos se aplicam às relações. Exemplo: 1) Sejam os conjuntos E 0, 1, 2, 3 e F 4, 5, 6. São exemplos de relações: R 1 x, y E F/x y 6 R 2 R 3 0, 4, 0, 5, 0, 6 R 4 2, 5, 3, 6 3

4 Propriedades de relação: 1) Reflexiva Dizemos que R é reflexiva quando todo elemento de A se relaciona consigo mesmo, isto é, x A, vale xrx Considerando A a, b, c e R uma relação sobre A. a) R a, a, b, b, c, c, a, b, b, c é reflexiva. b) R a, a, a, b, b, a, b, b, b, c não é reflexiva. 2) Simétrica Dizemos que R é simétrica se vale yrx sempre que vale xry, isto é, x, y A, se xry, então yrx. Contrapositiva: Considerando A a, b, c e R uma relação sobre A. a) R a, a, a, b, b, a, c, c é simétrica. b) R a, a, a, b, b, b, b, c não é simétrica. 3) Transitiva. Dizemos que R é transitiva se vale xrz sempre que vale xry e yrz, isto é, x, y, z A, se xry e yrz, então xrz. Contrapositiva: Considerando A a, b, c e R uma relação sobre A. a) R a, b, b, b, b, c, a, c, c, c é transitiva. b) R a, b, a, a, b, c, c, c não é transitiva. 4) Anti-simétrica. Dizemos que R é anti-simétrica se vale x y sempre que vale xry e yrx, isto é, x, y A, se xry e yrx, então x y. Contrapositiva: Considerando A a, b, c e R uma relação sobre A. a) R a, a, a, b, b, c, c, a é anti-simétrica. b) R a, a, b, b, c, c, b, c, c, b não é anti-simétrica. Considerando A uma família de conjuntos e seja R a relação em A definida por "X é um subconjunto de Y". R é anti-simétrica. 4

5 Definição 5: Uma relação R sobre um conjunto A é chamada de relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, R deve cumprir, respectivamente, as seguintes propriedades: 1) Se x A, xrx 2) Se x, y A e xry, então yrx. 3) Se x, y, z A e xry e yrz, então xrz. São relações de equivalência: 1) A a, b, c com R a, a, b, b, c, c, a, b, b, a. 2) A a, b, c com R a, a, b, b, c, c, a, b, b, a, a, c, c, a. Contra-exemplo: Não é uma relação de equivalência: A com R x, y 2 /mdc x, y 1. Definição 6: Seja R uma relação de equivalência sobre A. Dado a A. Chama-se classe de equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto a A constituído pelos elementos x tais que xra. a x A/xRa 1) R a, a, b, b, c, c, a, b, b, a de A a, b, c. R é uma relação de equivalência de A. São classes de equivalência: a a, b, b a, b, c c. Definição 7: O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por E R e chamado conjunto-quociente de E por R. Exemplos 1) R a, a, b, b, c, c, a, b, b, a de E a, b, c. R é uma relação de equivalência de E. E R a, b, c Definição 8: Uma relação R sobre um conjunto A é chamada de relação de ordem parcial sobre A se, e somente, se R é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Ou seja, R deve cumprir respectivamente as seguintes propriedades: 1) Se x A, xrx 2) Se x, y A e xry e yrx, então x y. 3) Se x, y, z A e xry e yrz, então xrz. 5

6 Como R é uma relação de ordem parcial sobre A, para exprimir que a, b R, usaremos a notação a b R, que se lê "a precede b na relação R" ou "b segue a na relação R". Para exprimir que a, b R e a b, usaremos a notação a b R, que se lê "a precede estritamente b na relação R" ou "b segue estritamente a na relação R". Outra notação que se poderá usar para exprimir que "a precede b " é a b. Mas isso pressupõe o entendimento de que, nesse caso, " " não significa necessariamente "menor ou igual a", no sentido numérico usual. O sentido é aquele definido pelo contexto da questão em foco. Analogamente, a notação "a b" poderá ser usada para exprimir que "a precede estritamente b", com um sentido que não o usual. 1) A relação R a, a, b, b, c, c, a, b, b, c, a, c é uma relação de ordem sobre E a, b, c. 2) A relação R sobre definida por xry se, somente se, x y ( : "menor ou igual a") é uma relação de ordem, denominada ordem usual, pois: i) Reflexiva: Para todo x, tem-se que x x. ii) Anti-simétrica: Dados x, y, se x y e y x, então x y. iii) Transitiva:Dados x, y, z,se x y e y z, então x y. 3) A relação de inclusão sobre o conjunto das partes P E de um dado conjunto E é uma relação de ordem. Contra-exemplo: 1) A relação R sobre definida por xry se, somente se, x y não é uma relação de ordem e nem de equivalência. Enunciaremos a seguir os axiomas referentes à relação "menor ou igual". Propriedades: i) Tricotomia: Dados a, b, tem-se que ou a b ou a b ou b a. (Aqui a b significa que a b, com a b. ii) Dados a, b, c,se a b, então a c a c. ii) Dados a, b, c,se a b e 0 c, então c bc. Proposição 6: Seja a um inteiro. Então i) Se a 0, então 0 a. ii) Se 0 a, então a 0. iii) 0 a 2 (isto é, todo quadrado é não negativo). iv)

7 Definição 9: Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto sobre o qual se definiu uma certa relação de ordem parcial. Definição 10: Seja R uma relação de ordem parcial sobre A. Os elementos a, b A se dizem comparáveis mediante R se a b ou b a. Definição 11: Se dois elementos quaisquer de A forem comparáveis mediante R, então R será chamada relação de ordem total sobre A. Nesse caso, o conjunto A é dito conjunto totalmente ordendado por R. 1) A relação R a, a, b, b, c, c, a, b, b, c, a, c é uma relação de ordem sobre E a, b, c. E é um conjunto totalmente ordenado por R. 2) A relação R sobre definida por xry se, somente se, x y ( : "menor ou igual a") é uma relação de ordem, denominada ordem usual. Podemos dizer que é um conjunto totalmente ordenado pela relação de ordem usual. 3) A relação de inclusão sobre o conjunto das partes P E de um dado conjunto E é uma relação de ordem. Então P E não é um conjunto totalmente ordenado pela relação de inclusão. 4) A relação R sobre definida por: xry se e, somente se, x é divisor de y. é uma relação de ordem. Mas o conjunto é parcialmente ordenado por essa relação. Essa ordem não ordena totalmente porque há elementos de não comparáveis por divisibilidade, como, por exemplo o 2 e 3. 2 não é divisor de 3 e 3 não é divisor de 2. Representação gráfica simplicada. Para representar uma relação de ordem sobre um conjunto finito E, podemos utilizar um esquema simplicado que substitui o esquema de flechas já visto. É assim: 1º) quando arb, ligamos o elemento a ao elemento b por meio de um traço ascendente; 2º) deixamos de desenhar os laços em torno de cada elemento de E (não expomos a propriedade reflexiva); 3º) quanto existe um traço ligando a com b e um outro traço ligando b com c, deixamos de desenhar um traço ligando a com c (não expomos a propriedade transitiva). 1) E 1, 2, 3, 4, 6, 12. R é ordem habitual. 2) E 1, 2, 3, 4, 6, 12.S é a ordem por divisibilidade. 7

8 Definição 12: Seja E um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação.seja A um subconjunto de E, com A.Diz-se que um subconjunto A de números inteiros é limitado à direita ou limitado superiormente se existe um número d tal que a d para todo a A. Diz-se que um subconjunto A de números inteiros é limitado à esquerda ou limitado inferiormente se existe um número c tal que c a para todo a A. Definição 13: Um número d A é o elemento máximo do conjunto A quando a d para todo a A. Um número c A é o elemento mínimo do conjunto A quando c a para todo a A. Notação: maxa d mina c 1) Se E, A x /0 x 10 e a ordem é a habitual. 2) Se E 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, A 2, 4, 6 e a ordem é a divisibilidade. Princípio da Boa Ordem: Todo conjunto não-vazio de inteiros não-negativos contém um elemento mínimo. Proposição 7: Não existe a tal que 0 a 1. Proposição 8 (Propriedade Arquimediana): Sejam a e b inteiros positivos. Então, existe um inteiro positivo n tal que na b. Proposição 9: Todo conjunto não-vazio de inteiros limitados inferiormente tem mínimo. 8

9 Exercícios 1. Sejam a, b inteiros. Mostrar que: a) 1 a a b) Se a 2 0, então a 0. c) Se a 2 a, então a 0 ou a Prove que a subtração não é comutativa nem associativa,mas é válida a distributiva da multiplicação em relação à subtração. 3. Demonstre que para todos a, b, c : a) a b c ab ac b) a b a b 4. Sejam a, b, tais que a b. Provar que a b. 5. Mostre que para todos a, b, a b a b Prove que para todos a, b, a) a a a b) a b a b c) a b a b d) a b a b e) a b a b f) a. b a. b 7. Mostre que se a e b são números inteiros tais que a. b 1, então a e b são ambos iguais a 1 ou a Para cada uma das seguintes relações definidas no conjunto A 1, 2, 3, 4, 5, determine se a relação é reflexiva, anti-simétrica e/ou transitiva. a) R 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 b) R 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 c) R 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5 d) R 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 4, 3 e) R 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5 9. Digamos que dois inteiros estão próximos um do outro se sua diferença for no máximo 2 (isto é, os números estão a uma distância de no máximo 2). Por exemplo, 3 9

10 está próximos de 5, 10 está próximo de 9, mas 8 não está próximo de 4. Representemos por R está relação estar próximo de. a) Escreva R como um conjunto de pares ordenados. Sua resposta deve apresentar-se como segue: R x, y / Prove ou refute: b) R é reflexiva c) R é simétrica d) R é anti-simétrica e) R é transitiva 10. Seja R uma relação tem o mesmo tamanho que definida sobre todos os subconjuntos finitos de (isto é, ARB se e somente se A B ). Quais das 4 propriedades (reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva) R possui? Prove suas respostas. 11. Quais dos seguintes conjuntos são relações de equivalência? a) R 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3 no conjunto 1, 2, 3. b) R 1, 2, 2, 3, 3, 1 no conjunto 1, 2, 3. c) em. d) 1, 2, 3 1, 2, 3 no conjunto 1, 2, 3. e) 1, 2, 3 1, 2, 3 no conjunto 1, 2, 3, Para cada relação de equivalência, ache a classe de equivalência pedida. a) R 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 no conjunto 1, 2, 3, 4. Ache 1. b) R 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 no conjunto 1, 2, 3, 4. Ache 4. c) R é tem-os-mesmos-pais-que no conjunto de todos os seres humanos. Ache você. d) R é tem-a-mesma-data de-aniversário-que no conjunto de todos os seres humanos. Ache você. 13) Há apenas uma relação de equivalência possível em um conjunto de um elemento: se A 1, então R 1, 1 é a única relação de equivalência possível. Há exatamente duas relações de equivalência possíveis em um conjunto de dois elementos: A 1, 2, então R 1 1, 1, 2, 2 e R 2 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2 são as únicas relações equivalência em A. Quantas relações de equivalência diferentes são possíveis em um conjunto de três elementos? Em um conjunto de quatro elementos? Exercícios 14 a 17 estão em outra folha. 18) Faça o diagrama simplicado das seguintes ordens no conjunto E 1, 2, 4, 5, 10, 20 : a) ordem habitual 10

11 b) ordem por divisibilidade. 19) Faça o diagrama simplicado da relação de ordem por inclusão em E P a, b. 20) Faça o diagrama simplicado da relação de ordem por divisibilidade no conjunto E 2, 3, 5, 6, 10, 15, ) Faça o diagrama simplicado da relação de ordem por inclusão no conjunto E a, b, a, b, c, a, b, d, a, b, c, d, a, b, c, d, e. 11