Introdução às Funções
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- Mauro Fialho
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1 Introdução às Funções Guilherme Prado Curso Pré-vestibular Unicentro
2 Plano cartesiano O plano cartesiano é um sistema ortogonal de coordenadas utilizado para demonstrar a localização de pontos no espaço R 2. É constituído por dois eixos perpendiculares.
3 Plano cartesiano y x
4 Abscissa e ordenada Abscissa: é a coordenada que corresponde ao eixo x do sistema cartesiano. Ordenada: é a coordenada que corresponde ao eixo y do sistema cartesiano.
5 Par ordenado Um ponto qualquer no R 2 é indicado por um par ordenado (a, b). A letra a representa a abscissa e a letra b representa a ordenada de um ponto cartesiano qualquer.
6 Par ordenado y b (a, b) a x
7 Quadrantes do plano cartesiano y IIQ IQ x IIIQ IVQ
8 Plano cartesiano 1 o quadrante IQ: (+, +) 2 o quadrante IIQ: (-, +) 3 o quadrante IIIQ: (-, -) 4 o quadrante IVQ: (+, -)
9 Produto cartesiano Sejam dois conjuntos não vazios A e B, o produto cartesiano dos dois conjuntos é o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y), onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
10 A B = {(x, y) x A e x B} a 1 a 2 a 3 A b 1 b 2 B
11 Relação binária Sejam dois conjuntos A e B, denominase relação de A em B qualquer conjunto de pares ordenados (x, y) com x A e x B. O produto cartesiano mostra todas as relações possíveis entre um elemento de A com um elemento de B.
12 Relação binária Denição: R é uma relação binária de A em B R A B.
13 Domínio Seja R uma relação de A em B, o domínio de R é o conjunto D(R) de todos os primeiros elementos dos pares ordenados que pertencem a R. x D(R) y B (x, y) R.
14 Imagem Seja R uma relação de A em B, a imagem de R é o conjunto Im(R) de todos os segundos elementos dos pares ordenados que pertencem a R. y Im(R) x A (x, y) R.
15 Domínio e imagem a 1 R b 1 D(R) a 2 b 2 Im(R) a 3 b 3 a 4 b 4 A b 5 B
16 Função Sejam dois conjuntos não vazios A e B tais que A, B R, uma função f de A em B é uma relação que associa todo elemento x A a um único elemento y B de forma que (x, y) f. Notação: f : A B
17 Função Denição: f é função de A em B x A, y B (x, y) f. A função é expressa por f (x) como uma lei de associação entre os elementos dos dois conjuntos da seguinte forma: A R B R x f (x) = y
18 Representação de função a 1 a 2 a 3 a 4 f (x) b 1 b 2 b 3 b 4 Conjunto de partida b 5 Conjunto de chegada
19 Representação de função A f (x) = x B
20 É uma função a 1 a 2 a 3 a 4 A b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 B
21 Não é uma função a 1 a 2 a 3 a 4 A b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 B
22 Não é uma função a 1 a 2 a 3 a 4 A b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 B
23 Domínio e imagem Seja f : A b, o domínio de f é o conjunto D(f ) = A, o contradomínio de f é o conjunto CD(f ) = B e a imagem de f é o conjunto Im(f ) tal que Im(f ) CD(f ) = B.
24 Domínio e imagem a 1 b 1 a 2 f (x) D(f ) Im(f ) b 2 a 3 A = Domínio b 3 b 4 B = Contradomínio
25 Observação 1 Quando não especicados, o domínio e o contradomínio da função devem ser considerados implicitamente como os maiores conjuntos possíveis.
26 Gráco de uma função Seja a função A R B R, x f (x) = y o seu gráco é representado no sistema cartesiano pelo conjunto de pontos {(x, y) x A e y = f (x)}.
27 f (x) = x x y y x
28 f (x) = x 2 x y y x
29 f (x) = 1/x x y -2-1/ /2-2 1/ /2 y x
30 Função sobrejetora Uma função f : A B é sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio estão associados a pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, CD(f ) = Im(f ).
31 É sobrejetora a 1 a 2 a 3 a 4 A b 1 b 2 b 3 B
32 Não é sobrejetora a 1 a 2 a 3 a 4 A b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 B
33 Função injetora Uma função f : A B é sobrejetora quando x 1 x 2 implica em f (x 1 ) f (x 2 ), ou ainda: f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.
34 É injetora a 1 a 2 a 3 a 4 A b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 B
35 Não é injetora a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 A B
36 função bijetora Uma função f : A B é bijetora quando um elemento do domínio associase a um único elemento da imagem ao mesmo tempo que o contradomínio é igual à imagem, ou seja, f é bijetora quando é sobrejetora e injetora simultaneamente.
37 É bijetora a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 A B
38 É bijetora a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 A B
39 Igualdade entre funções Sejam duas funções f (x) e g(x) que representam uma mesma lei de associação. f (x) = g(x) D(f ) = D(g), CD(f ) = CD(g) e Im(f ) = Im(kkg).
40 Funções pares e ímpares Função par: f ( x) = f (x); função ímpar: f ( x) = f (x).
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