Revisão de conceitos Matemáticos. Matemática e Fundamentos de Informática

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1 Revisão de conceitos Matemáticos Matemática e Fundamentos de Informática 1 1

2 Conjuntos Teoria dos conjuntos Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa números, pessoas, letras, etc. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade o número de elementos que contém. 2 2

3 Conjuntos Representação Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto em maiúscula (A, B, C,...). Já os elementos do conjunto são representados por letras minúsculas. A representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira: A = {v,x,y,z} Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z 3 3

4 Especificando conjuntos Conjuntos A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores: P = {6,28,496} Usa-se o sinal... para indicar um conjunto com infinitos elementos: N = {1,2,3,4,5,...} Subconjuntos são representados com chaves dentro de chaves: T = {{1,6},{5,8}} 4 4

5 Especificando conjuntos Conjuntos Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto: A = {x P(x)} P é uma função que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo: A = {x, x 2 6x = 8} O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, A = {2,4}. 5 5

6 Notações matemáticas 1.2 Símbolos Lógicos x A Valido para todo x pertencente ao conjunto A Usado para especificar a existência de um elemento de um conjunto com alguma propriedade, isto é para todo x pertencente a A vale uma determinada propriedade. ex: Se A for o conjunto formado por todos os estados Brasileiros então para todo x pertencente a A vale a propriedade:, x tem capital. x A 6 6

7 Notações matemáticas 1.2 Símbolos Lógicos x A Existe um elemento x em A. Usado para especificar alguma propriedade, isto é, existe algum elemento em x no conjunto A para o qual vale determinada propriedade. x A Que possuem uma estatua do Cristo Redentor A( cidades Brasileiras) 7 7

8 Conjuntos numéricos Existem diversos conjuntos numéricos, que tem consideração especial em matemática. Os principais conjuntos numéricos são listados a seguir: Conjunto dos números naturais Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números racionais Conjunto dos números irracionais Conjunto dos números reais Conjunto dos números complexos Conjunto dos números imaginários 8 8

9 Conjunto dos números naturais Os números naturais são usados para contar. O símbolo conjunto. = {0,1,2,..} * = {1,2, 3,..} usualmente representa este 9 9

10 Conjunto dos números inteiros O conjunto dos números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números). = {..., 2, 1,0,1,2,..} 10 10

11 Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser representados por frações (e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75). Eles aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente). = { a b : a,b,b 0} 11 11

12 Conjunto dos números racionais Propriedades dos números Racionais: Soma e produto de números Racionais: a b + c ad + bc = d bd a b * c d = ac bd 12 12

13 Conjunto dos números irracionais O conjunto dos números irracionais contém todos os números que não podem ser representados por frações do tipo p/q, onde p e q são números inteiros, com q diferente de zero. Estes números podem, no entanto, ser associados a pontos numa reta, a reta real. ex:

14 Conjunto dos números reais O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real

15 Conjunto dos números complexos conjunto dos números complexos inclui os números, que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real. O símbolo usualmente representa este conjunto. Cada numero complexo é a soma dos números reais e dos imaginários: r + s j. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos

16 Conjunto Vazio Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos

17 Relação de inclusão Relações entre conjuntos Se x é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto A e podemos escrever. x A Se x não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever x A Exemplos 16 c {a,b,c,d,e, f } c {a,e,i,o,u} 4 x pertence ao conjunto A Cidades Paraenses A x y z d x = Castanhal

18 Relações entre conjuntos A está contido em B g f B ( Cidades Brasileiras) A ( Cidades Paraenses) A B x y z d X= Castanhal y=belém z= Santa Izabel d= Moju g= Rio de Janeiro F= São Paulo 18 18

19 Operações com conjuntos União A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Matematicamente: A = {a,e,i} B = {o,u} A B = {a,e,i,o,u} 19 19

20 Operações com conjuntos União Vale ressaltar o seguinte: união de um conjunto, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A = A Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, A (B C) = (A B) C = (A C) B 20 20

21 Operações com Intersecção conjuntos A intersecção de dois conjuntos A e B, é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Exemplos: A = {1,2,3} B = {3, 4,5} A B = {3} 21 21

22 Operações com Intersecção Exemplos: conjuntos B ( Cidades Brasileiras que começam com a letra S!!) Belém Castanhal Ananindeua Santa Izabel Santo Antonio do Tauá São Paulo Santos São Caetano A ( Cidades Paraenses) A! B 22 22

23 Diferença Operações com conjuntos Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A Exemplos: A = {1,2,3} B = {3, 4,5} A B = {1,2} 23 23

24 Exercício Considere os seguintes conjuntos a seguir A={-3,-1,0,5,7,8,20} B= {x, tal que x 3} C= {x *, tal que x -1} Determine o resultado das seguintes operações: B C (A C) B (B C) A 24

25 Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é X. O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados: A B = {(x, y) : x A, y B} 25 25

26 Produto Cartesiano O produto cartesiano é não-comutativo: A B B A Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano

27 Par ordenado Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado simbolizado por (a,b) precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja, (a,b) (b,a) 27 27

28 Relações Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A B é chamada relação de A em B. Relações são, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 X2... Xn), e a relação especifíca que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária

29 Relações Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por. R : A B O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação. Relações - relação de A em B definida por elementos de B que sejam o dobro dos elementos de A

30 Especificando relações A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados. As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira: Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo: A = { 1,2,3 } B = { 1,2,3,4,5,6 } 30 30

31 Representação gráfica Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano. Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente

32 Representação gráfica Relações/funções - exemplo de gráfico, que pode ser descrito pela relação 32 32

33 Função Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio). Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio)

34 Intervalos Outro elemento que devemos analisar são os intervalos. É a partir da definição dos intervalos que podemos analisar as funções, eles nos definirão o escopo a partir do qual devemos analisar as funções Existem varias representações de intervalos, vamos analisar a seguir algumas... 34

35 Intervalos [a,b] = {x tais que x a e x b} ]a,b[= {x tais que x > a e x < b} A B A B [a,b[= {x tais que x a e x < b} A B [a,+ [= {x tais que x a } A ]a,b] = {x tais que x > a e x b} A B ]a,+ [= {x tais que x > a } A 35

36 Intervalos ],b] = {x tais que x b } B + = [0,+ [= {x tais que x 0 } 0 ],b[= {x tais que x < b } B + * =]0,+ [= {x tais que x > 0 } 0 * = \ {0} = {x tais que x b } =],0] = {x tais que x 0 }

37 Exercício Desenhe na reta real os seguinte intervalos: a) [0,2] U ]-2,1[ b) [0,2] - ]-2,1[ c) [0,2] ]-2,1[ d) +. e) [ 1,+ [ { [2,15[ [-3,0[ } 37

38 Referencias [1]F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo: Editora Saraiva, [2]G. Iezzi, Fundamentos da matemática elementar 8: Limites, derivadas, noções de integral, vol. 8, 6 ed. São Paulo: Atual, [3]wikimedia, "Matemática Elementar: Conjuntos," wikimedia, Ed.: wiki livros, Esta apresentação está com os direitos reservados segundo a licença : Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 License Mais detalhes da licença no endereço