Equações Exponenciais e Logarítmicas

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Equações Exponenciais e Logarítmicas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Equações Exponenciais e Logarítmicas 1.Equações exponenciais.equações logarítmicas 3.Exercícios

3 1. Equações exponenciais Abordaremos agora as equações exponenciais que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma base pela simples aplicação das propriedades das potências. A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na definição de logaritmo, isto é, se 0 < a 1 e b > 0, tem-se: a x = b x= log a b 3

4 1. Equações exponenciais Exemplos: 1) Resolva as equações: x a) = 3 b x 3 ) 5 = 3 4

5 1. Equações exponenciais Solução: x a) = 3 x = log 3 b S { log 3} { log 375} x x 3 x ) 5 = 3 = 3 5 = 375 x = log S = =

6 1. Equações exponenciais Exemplos: ) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função X(t) = Ce kt, em que X(t) é o número de bactérias no tempo t 0; C, k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando que o número inicial de bactérias X(0) duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas? 6

7 1. Equações exponenciais Solução: t = 0 kt k 0 X( t) = Ce X(0) = C e = C 4k X(4) = C e = C ( duplica em 4 horas) 1 4k ln 4 4 e = 4k = ln k = k = ln k = ln 4 Então, para t = 6, vem: ( ) ( ) 3 6ln ln ln ln X(6) = C e = C e = C e = C e = ln = C e = C,83 C 7

8 1. Equações exponenciais Resposta: Ao final de 6 horas, o número de bactérias é aproximadamente,83 vezes o valor inicial. 8

9 1. Equações exponenciais Exemplos: 3) Resolva a equação 3x x+ 1 = 3. 9

10 1. Equações exponenciais Solução: ( 3 ) x 3x 3x x+ 1 x x x 8 = 3 = 3 3 = 3 = 1 x 9 x 8 = 1 x = log ( 3 ) S = log

11 . Equações logarítmicas Podemos classificar as equações logarítmicas em três tipos: 11

12 . Equações logarítmicas 1 o tipo: log a f(x) = log a g(x) É a equação que apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base a (0 < a 1). A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na quarta consequência da definição. 1

13 . Equações logarítmicas Não nos devemos esquecer das condições de existência do logaritmo, isto é, a base do logaritmo deverá ser positiva e diferente de 1 e o logaritmando deverá ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na resolução da equação só serão considerados soluções da equação logarítmica proposta se forem valores que satisfaçam as condições de existência do logaritmo. Esquematicamente, temos: Se 0 < a 1, então log f ( x) = log g( x) f ( x) = g( x) > 0 a a 13

14 . Equações logarítmicas Exemplos: 1) Resolver a equação log (3x 5) = log 7. 14

15 . Equações logarítmicas Solução: ( x ) log 3 5 = log 7 3x 5 = 7 > 0 Resolvendo 3x 5 = 7 x = 4 x = 4 é solução da equação proposta e não há necessidade de verificarmos, pois 7 > 0 é satisfeita para todo x real. S = { 4} 15

16 . Equações logarítmicas Exemplos: ) Resolver a equação log (x 3) = log (4x 5)

17 . Equações logarítmicas Solução: ( ) log x 3 = log (4x 5) x 3 = 4x 5 > Resolvendo x 3 = 4x 5 x = 1 x = 1 não é solução da equação proposta, pois fazendo x = 1 em 4x 5 encontramos = -1 < 0, logo a equação proposta não tem solução. Chegaríamos à mesma conclusão se, em vez de fazer x = 1 em 4x 5, o fizéssemos em x 3, já que x 3 = 4x 5. S = 17

18 . Equações logarítmicas Exemplos: 3) Resolver a equação log ( x 3x 10) = log ( x)

19 . Equações logarítmicas Solução: ( ) log x 3x 10 = log ( x) x 3x 10 = x > Resolvendo x x x x x x x 3 10 = 1 = 0 = 4 ou = 3 x = 4 não é solução, pois, fazendo x = 4 em x, encontramos. 4 = -6 < 0. x = -3 é solução, pois, fazendo x = -3 em x, encontramos. (-3) = 8 > 0. S = { 3} 19

20 . Equações logarítmicas o tipo: log a f(x) = α É a equação que apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre um logaritmo e um número real. A resolução de uma equação deste tipo é simples; basta aplicarmos a definição de logaritmo. Esquematicamente, temos: Se 0 < a 1 e α R, então log f ( x) = α f ( x) = a α a 0

21 . Equações logarítmicas Não precisamos nos preocupar com a condição de existência do logaritmo: sendo 0 < a 1, temos a α > 0 para todo α real e consequentemente f(x) = a α > 0. 1

22 . Equações logarítmicas Exemplos: 1) Resolver a equação log (3x + 1) = 4.

23 . Equações logarítmicas Solução: ( ) 4 log 3x + 1 = 4 3x + 1= 3x = 15 x = 5 S = { 5} 3

24 . Equações logarítmicas Exemplos: ) Resolver a equação log ( x + 3x 1) =. 3 4

25 . Equações logarítmicas Solução: ( ) log3 x 3x 1 x 3x 1 3 x 3x = + = + = x = ou x = 5 S = {, 5} 5

26 . Equações logarítmicas Exemplos: [ ] 3) Resolver a equação log 1+ log (1 x) =. 3 6

27 . Equações logarítmicas Solução: [ x ] x log 1+ log (1 ) = 1+ log (1 ) = log 3(1 x) = 3 1 x = 3 x = 13 S = { 13} 7

28 . Equações logarítmicas 3 o tipo: incógnita auxiliar São as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. 8

29 . Equações logarítmicas Exemplos: 1) Resolver a equação log x log x =. Atenção Fique atento para não confundir os símbolos log x e log x. No primeiro, é o logaritmando que está elevado ao expoente, enquanto no segundo é o próprio logaritmo que está elevado a esse expoente. O símbolo log x também pode ser representado por (log x). 9

30 . Equações logarítmicas Solução: A equação proposta é equivalente à equação (log x) log x = 0 Fazendo log x = y, temos: y y = 0 y = ou y = 1 Mas y = log x, então: log x = x = x = 4 log = 1 = = 1 x x x 1 1 S = 4, 30

31 . Equações logarítmicas Exemplos: + log3 x log3 x ) Resolver a equação + =. log x 1+ log x

32 . Equações logarítmicas Solução: Fazendo log 3 x = y, temos: + y y y 1+ y + = ( + y )(1 + y ) + y = y(1 + y) + + = + = y 3y y y y Mas y = log 3 x, então: log x = x = 3 x = 3 1 S =

33 3. Exercícios Exercício 1: Resolver a equação log x(x + 3) =. 0 < x 1 (I) log x (x + 3) = e x + 3 = x (II) Resolvendo (II), temos: x = x + 3 x x 3 = 0 x = 3 ou x = 1 Somente x = 3 é solução, pois deve satisfazer (I). S = { 3}

34 3. Exercícios Exercício : Resolver a equação log (5x 7x 9) = log ( x x 3) ( x+ 3) ( x+ 3) 0 < x (I) e 5x 7x 9 = x x 3 > 0 (II) Resolvendo 5x 7x 9 x x 3 4x 5x 6 0 = = 3 x = ou x = 4

35 3. Exercícios Substituindo os valores encontrados na equação II, verificamos que x = e x = -3/4 não é solução, pois: = = = < para x, x x 3 () () para x =, x x 3 = 3 = < 0 Portanto: S =

36 3. Exercícios Exercício 3: Resolver a equação log ( x + 1) + log ( x 1) = 3 x + 1> 0 (I) e x > 1 (I) x 1 > 0 (II) Resolvendo [ ] log ( x + 1) + log ( x 1) = 3 log ( x + 1) ( x 1) = 3 3 ( x + 1) ( x 1) = x 1= 8 x 9 = 0 x = 3 ou x = 3

37 3. Exercícios Portanto, somente x = 3 é solução, pois satisfaz a equação (I). S = { 3}

38 3. Exercícios Exercício 4: Resolver a equação log ( x ) + log (3x ) = log 7 x > 0 x > e x > (I) 3x > 0 x > 3

39 3. Exercícios Resolvendo log ( x ) + log (3x ) = log 7 [ x x ] log ( ) (3 ) = log 7 x x = x x + = ( ) (3 ) x x = x = 3 ou x 1 = 3 Portanto, somente x = 3 é solução, pois satisfaz a equação (I). S = { 3}

40 3. Exercícios Exercício 5: Resolver o sistema de equações x + y = 7 log x + log y = log 1 x > 0 e y > 0 Aplicando a propriedade dos logaritmos na segunda equação, temos: ( ) log x + log y = log 1 log xy = log 1 xy = 1

41 3. Exercícios O sistema proposto fica reduzido às equações: x + y = 7 xy = 1 y = 3. cujas soluções são x = 3 e y = 4 ou x = 4 e S = {( 3, 4 ),( 4, 3) }

42 3. Exercícios Exercício 6: Resolver o sistema de equações log3 x + log3y = 3 log3 x + colog3y = 1 x > 0 e y > 0 Lembrando que colog 3 y = -log 3 y e fazendo a substituição log 3 x = a e log 3 y = b no sistema proposto, temos: a + b = 3 a b = 1 a = e b = 1

43 3. Exercícios mas a = log 3 x e b = log 3 y, então: log x = x = 9 3 log y = 1 y = 3 3 S = {( 9, 3) }

44 3. Exercícios Exercício 7: Resolva a equação 4 log x 3 x = x x > 0 e x 1 Aplicando logaritmo de base a ambos os membros, temos: log x ( x) ( log x ) ( ) log 4 log x = x x = x log x 3 log 4 + log x = log x + log x log x = 3 log x log 3 log x + = 0

45 3. Exercícios Fazendo log x = y, temos: y 3y + = 0 y = 1 ou y = Mas y = log x, então: log x = 1 x = log x = x = 4 S = {, 4}

46 3. Exercícios Exercício 8: Resolva a equação log ( x ) = log ( x x + 6) + log (x + 1) 1 x > 0 x > x x + 6 > 0 x R x > (I) 1 x + 1> 0 x >

47 3. Exercícios Aplicando as propriedades e transformando os logaritmos à base, temos: log ( x ) = log ( x x + 6) + log (x + 1) log ( x ) = log ( x x + 6) log (x + 1) x x + 6 log ( x ) = log x + 1 x x + 6 x = x + 1 x x x x x 4 + = = + 6 x x x x x x 8 = 0 x = 4 ou x = S = { 4} 1

48 3. Exercícios Exercício 9: Resolva a equação log 9 log x = 4 x > 0 x 8 8 log x 9 log x = 4 log x 9 log x = 4 x log 3 log x = 4 Fazendo log x = y, teremos: y 3y 4 = 0 y = 4 ou y = 1 mas y = log x, então: log x = 4 x = 16 log x = 1 x = S = 16,

49 3. Exercícios Exercício 10: Resolva a equação log x + log = x > 0 e x 1 x log 1 log x + = log x + x = Fazendo log x = y, teremos: 1 y + = y = 1 mas y = log x, então: y log x = 1 x = S = log x log { }

50 3. Exercícios Exercício 11: Resolva a equação log log log x x x = x > 0 e x { 1;16; 64} logx log x = log x = log x x x log log ( ) log x log x 4 = log x 6 Fazendo log x = y, teremos: ( ) y y 4 = y 6 y 5y + 6 = 0 y = ou y = 3

51 3. Exercícios mas y = log x, então: log x = x = 4 log x = 3 x = 8 S = { 4, 8}