Teoria Macroeconómica - Aula 1

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1 Teoria Macroeconómica - Aula 1 Introdução ao Crescimento Económico: conceitos matemáticos Revisão de alguns Breve introdução a alguns conceitos utilizados em modelo de crescimento (ambientes dinâmicos) 1 Derivadas e Taxas de Crescimento Começamos por relembrar a notação de funções (frvr) e de derivadas: y = f(x) dy dx ou f 0 (x) resposta a : como varia y quando x varia uma unidade? o conceito de derivada é um conceito infinitesimal! Em economia de crescimento temos sempre presente a dimensão tempo: Acompanhamos o crescimento de variáveis ao longo do tempo: t K t K t t = lim t 0 t > 0, crescimento positivo < 0, crescimento negativo dá-nos a variação absoluta de K por cada unidade de tempo que passa por norma é igual a 1 1

2 Os modelos formalizados em tempo contínuo são, regra geral, mais elegantes do ponto de vista do tratamento analítico Variações em tempo contínuo vs variações em tempo discreto: tempo contínuo K = K t K t 1 tempo discreto Simplificação da notação (convenção): K Taxa de crescimento em tempo discreto: K K K t K t 1 K t 1 Taxa de crescimento em tempo contínuo: Nota: K K não é uma taxa de crescimento! 2 Taxas de crescimento e logarítmos Propriedades dos logarítmos: z = xy = log z =logx +logy z = x/y = log z =logx log y z = x β = log z = β log x y = f(x) =log(x) = dy dx = 1 x log 1 = 0 log e = 1 y(t) = logx(t) = dy = dy dx dx = 1 x = x 2 x x

3 A última propriedade é muito importante: A derivada em relação ao tempo do logarítmo de uma variável é a taxa de crescimento da variável De notar que (base irrelevante; ponto médio irrelevante): d log x µ mínimo( X t X t 1 ; X t X t 1 ) X t ; máximo(x t X t 1 ; X t X t 1 ) X t X t 1 X t 1 Linearização de funções através da aplicação de logarítmos (ex: função Cobb-Douglas): Y = K α L 1 α apliquelogarítmosaambososladosdaequação: log Y =logk α L 1 α ologarítmodoprodutoéasomadoslogarítmos(z = xy = log z = log x +logy): log Y =logk α +logl 1 α o logarítmo de uma função exponencial é o produto do expoente vezes o logarítmo da base (z = x β = log z = β log x): log Y = α log K +(1 α)logl deriveambososladosdaequaçãoemordemat: d log Y = α d log K +(1 α) d log L aderivadadologarítmodeumavariávelemordemaotempoéataxa de crescimento da variável: Y Y = α K L +(1 α) K L 3

4 assim, se a função de produção for do tipo Cobb-Douglas a taxa de crescimento do produto será uma média ponderada das taxas de crescimento dos factores, em que os ponderadores são dados pelas elasticidades do produto em ordem aos factores: ε Y :K = %Y dy %K = Y ε Y :K = dy K Y K = dy K Y ε Y :K = αk α 1 L 1 α K Y ε Y :K = αk(α 1+1) L 1 α K α L 1 α ε Y :K = α do mesmo modo: ε Y :L =1 α Este último exercício traduz uma outra propriedade dos logarítmos: log y log x = ε y:x as derivadas dos logarítmos dão-nos variações percentuais e não absolutasumavezque: d log x dx = 1 x = d log x = dx x o lado esquerdo da expressão acima é simplesmente uma regra das derivadas; o lado direita resulta de uma simples manipulação aritmética desta expressão, pelo que é verdade, e espelha que a variação absoluta do logarítmo de uma variável (d log x) éavariaçãopercentualdavariável (por vezes, apelidada de taxa de crescimento, quando a unidade de variação do tempo é uma unidade de tempo, ou seja, quando =1 temos que dx = dx/ = ẋ) x x x Suponha que uma variável exibe crescimento exponencial: y(t) =y 0 e gt 4

5 então temos que: log y(t) = logy 0 +loge gt log y(t) = logy 0 + gt log e log y(t) = logy 0 + gt 1 log y(t) = logy 0 + gt g = 1 t (log y(t) log y 0) g = 1 t log y(t) y 0 Se quisermos calcular a taxa de crescimento entre dois perídos t e t 1 podemos simplesmente aplicar os logarítmos à variável de interesse e calcular a primeira diferença entre os logarítmos: g =logy(t) log y(t 1) log y(t) Como se demonstra esta relação (entre taxa de crescimento e diferença de logarítmos)? y(t) y(t 1) y(t 1) y(t) y(t 1) = y(t 1) y(t 1) y(t) = y(t 1) 1 y 0 e gt = y 0 e 1 g(t 1) = e gt g(t 1) 1 = e g 1 Como tratamos tipicamente de baixas taxas de crescimento (ex: do pib per capita, ou seja, 2% ou 3%), podemos usar ensinamentos de cálculo 5

6 infinitesimal, como a fórmula de Taylor, para aproximarmos e g : f(x) = f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+RO(2), com f(x) = e x x 0 = 0 f(x 0 ) = e x 0 = e 0 =1 f 0 (x) = e x f 0 (x 0 ) = e x 0 = e 0 =1 x x 0 = x 0=0 assim, temos que, ignorando elementos de ordem superior ou igual a 2 (trocando o sinal de igual pelo sinal de aproximação) (usar análise gráfica): pelo que: e x e 0 +1 (x 0) e x 1+x y(t) y(t 1) y(t 1) y(t) y(t 1) y(t 1) y(t) y(t 1) y(t 1) = e g 1 1+g 1 g 3 Integração Lembramos, agora, alguns conceitos de integração Y = 10X i=1 = x x 10 Y = 10 Y = di =100 x i di di =1000

7 dx = x + C com C uma constante de integração; derivada ( ) eprimitiva( R )como funções inversas b dx = b a a Equações diferenciais: x x = g ou seja, sabemos que x cresce a uma taxa constante Podemos estar interessados em saber qual a forma funcional da equação de x d log x = g d log x = g d log x = g d log x = g log x = g log x = gt + C Caso tenhamos: log x = gt + C e log x = e gt+c x = e C e gt x = Ce gt sabemos que x cresce à taxa constante de g Qual o papel de C? Por vezes assume o papel de condição inicial: C = x(0) 7

8 Juro composto: intervalo de tempo: x(t) = 100(1 + 05) t x(t) = 100e 005t O juro se capitalizado continuamente provoca crescimento mais acelerado lim n (1 + r n )t = e rt Interpretação de integração: actualização e áreas! 31 Exercícios - TPC Resolva os seguintes exercícios: Exercise 1 Suponha que x(t) =e 05t equez(t) =e 01t Calculeataxade crescimento de y(t) nos seguintes casos: a) y = x b) y = z c) y = xy d) y = x/y e) y = x β z 1 β,comβ =1/2 f) y =(x/z) β,comβ =1/3 Exercise 2 Escreva a taxa de crescimento de y em termos das taxas de crescimento de k, l e m para os seguintes casos Assuma β como uma dada constante a) y = k β b) y = k/m c) y =(klm) β d) y =(kl) β (1/m) 1 β Exercise 3 O Pedro aufere um salário mensal de y, quecorrespondea80% do salário mensal do Manuel, de quem o Pedro é adjunto Assim, temos que y =08x Se o salário do Manuel for aumentado em 10%, qual a taxa de crescimento do salário do Pedro? Exercise 4 Desenhe o gráfico ( à mão livre ) de y =100t +200,coma variável tempo (t) no eixo dos xx Como classifica a taxa de crescimento de y ao longo do tempo (constante, crescente ou decrescente)? 8