FGV/EPGE Escola Brasileira de Economia e Finanças. Macroeconomia I Professor: Rubens Penha Cysne. Lista de Exercícios 1

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1 FGV/EPGE Escola Brasileira de Economia e Finanças Macroeconomia I Professor: Rubens Penha Cysne Lista de Exercícios 1 Funções de Produção, Modelo de Solow e Modelo AK Obs. Utilizam-se aque as de nições apresentadas no livro texto Modern Economic Theory, de D. Acemoglu. 1- Acemoglu (p. 33) escreve que a função de produção F(K,L,A) satisfaz F K (K; L; A) > 0; F KK (K; L; A) < 0 (1) F L (K:L:A) > 0; F LL (K; L; A) < 0; (2) é homogênea de grau 1 em K e L: para qualquer A e para a não negativo: e satisfaz às condições de Inada: F (ak; al; A) = af (K; L; A) (3) lim K K!0 = lim F L = 1 L!0 (4) lim K K!1 = lim F L = 0 L!1 (5) Depois escreve, ainda como parte de sua "Assumption 2", na página 33: "Moreover, F (0; L; A) = 0 for all L and A". Errata: Prove que esta hipótese adicional feita por Acemoglu na verdade pode ser deduzida das condições de Inada e da homogeneidade e grau 1 de F. Sugestão: Calcule o limite de Y/K (ou Y/L) quando K (ou L) tende a in nito. Em seguida, use a homogeneidade de grau 1 de F. 2 - Com respeito à função de produação CES de nida para K > 0 e : Y = [ak 1 + (1 a)l 1 ] 1 ; 0 < a < 1 a) Mostre que a elasticidade de substituição é constante e igual a : b) (Errata, Acemoglu página 55, primeiro parágrafo): Mostre que valem (1), (2) e (3). 1

2 c) Mostre que a CES se torna linear quando! 1; Cobb Douglas quando! 1 e Leontief (proporções xas) quando! 0: Sugestão. O primeiro caso é imediato. No segundo caso, tome o limite do log de Y e use L Hôpital. No último caso, considere inicialmente K > L e calcule o limite de F (K; L)=L. Depois suponha K < L e calcule o limite de F (K; L)=K. d) Mostre que as condições de Inada (4) e (5) apenas valem quando! 1 (caso Cobb-Douglas). Sugestão: Trabalhe com F K ou F L ; mas separadamente, com > 1 e < 1: Pode-se a rmar que lim K!1 F K > 0 no caso > 1? 3- (Errata página 45). Considere a Demonstração estabilidade global do item 2 do Corolário 2.1 em Acemoglu. A sequência fx t g 1 t=1 é necessariamente crescente? Você poderia dar um contra-exemplo a este fato com jg 0 (x)j < 1 para todo x? Como voce reescreveria a Demonstração? 4- (Homogeneidade e Teorema de Euler). Para uma função f(x; y; z) com x e y em R e z em R k ; de na homogeneidade de grau m. Enuncie e prove o teorema de Euler sobre funções homogêneas de grau m. Prove também que se f(x; y; z) é homogênea de grau m em x e y então f x e f y são homogêneas de grau m-1 nestas variáveis. 5 - (Modelo AK): Considere o modelo de Solow com crescimento demográ- co à taxa n, mas sem progresso técnico (A constante). Relaxe as hipóteses 1 e 2 fazendo F = AK. Mostre que neste caso pode haver crescimento sustentado de k (de nido como K=L) e y (de nido como Y/L) (com ambos crescendo à taxa sa n + ), sem progresso tecnológico, bastando para isto que os parâmetros do modelo sejam tais que sa > n + : Este modelo é compatível com os fatos empíricos? 6- Considere o modelo de Solow com uma função de produção CES, logo sem necessariamente valerem as condições de Inada. a) Mostre que, estabelecendo uma contradição com o modelo onde valem tais condições (apresentado no livro), mesmo sem crescimento tecnológico exógeno pode-se ter crescimento de longo prazo (k(t)! 1). Sugestão: Calcule f(k)=k: Em seguida, tome o caso > 1 e assuma que os parâmetros do modelo são tais que se estabelece um tipo de desigualdade entre (usando as de nições do Acemoglu) lim k!1 (f(k)=k) e +n s : b) Qual a intuição para este resultado? Como pode a economia crescer inde nidamente se, de acordo com sua resposta ao exercício 2b, os retornos 2

3 marginais para o capital são cada vez menores? A análise do modelo AK no exercício anterior pode lhe ajudar na intuição para esta questão? Como? 7 - (Obtenção da Equação Fundamental do Modelo de Solow Através do Funcionamento de Mercados). Ao invés de proceder como na seção 2.4.2, modi que o modelo de Solow apresentado no livro texto. Veja-o agora sob o ponto de vista do consumidor representativo, que vende trabalho pelo salário de mercado e adquire ativos (A). Neste contexto tem-se: da=dt = ra + wl C ou, em termos per capita (com letras minúsculas para ativos e consumo): da=dt = (r n)a + w c (6) Substitua em (6) as expressões relativas a w(k) e r(k) determinadas pela rma maximizadora de lucro (2.15 em Acemoglu). Lembre que por arbitragem r = F K e que, em equilíbrio, como se trata de um a economia fechada sem governo, a = k. Obtenha desta forma indireta a equação fundamental do Modelo de Solow 2.33: dk=dt = sf(k) (n + )k (7) 8- Deduza e explique o signi cado econômico da chamada "regra de ouro" da acumulação: f 0 (k) = + n Existe alguma justi cativa para a utilização do termo "regra de ouro"? 9- (Política Econômica) Suponha que um governante de uma economia que se comporte como o modelo de Solow sem inovação tecnológica deseje elevar o capital per capital de equilíbrio k : Quais seriam as suas alternativas? 10- (Convergência Absoluta e Relativa): mostre, a partir de (7) e das demais hipóteses do modelo de Solow, que: d dk ( 1 dk k dt ) < 0 Este resultado implica que economias com menores k tenderão a apresentar taxasa de crescimento mais elevadas, desta forma gerando convergência de renda per capita? Explique. 3

4 11- Descreva o modelo de Solow usual (valendo as hipóteses usuais sobre a função de produção) com crescimento demográ co e crescimento tecnológico à taxa constante g (A = e gt ). De na agora k como K=LA e y como Y=LA e mostre que a equação de equilíbrio de estado estacionário se escreve com o investimento sf(k ) igualando não mais + n; mas sim + n + g: No caso, f(k) = F (K; AL)=AL = F (k; 1). Este modelo é compatível com os dados empíricos convencionais abaixo? Quais as suas desvantagens em explicar os fatos do mundo real? Obs: Fatos Empíricos Convencionais (Stylized Facts) a) Produto per capita cresce ao longo do tempo e tal crescimento não tende a diminuir b) K/L cresce ao longo do tempo c) R (taxa de retorno do capital) é aproximadamente constante ao longo do tempo d) K/Y é aproximadamente constante d) As parcelas do capital e da renda no produto são aproximadamente constantes e) A taxa de crescimento da renda per capita difere substancialmente entre países 12- (Velocidade de Convergência e Log Linearização): Considere a equação fundamental do Modelo de Solow com crescimento tecnológico exógeno (A) à taxa g: _k=k = sf(k) (n + g + )k k Trabalhe com a versão Cobb Douglas do modelo, quando então f(k) = Ak ; 0 < < 1: Tem-se: _k=k = sak 1 (n + g + ) (8) Pede-se: a) De na a velocidade de convergência v como o quanto o crescimento cai quando o estoque de capital per capita per produtividade se eleva: v = d(log k)=dt d log k a1) Obtenha a expressão para esta velocidade. 4

5 a2) Mostre que o valor de v depende de k a cada momento. a3) Mostre que quando se aproxima o valor desta velocidade pelo valor de k no estado estacionário (k ) obtém-se o valor constante: v = (n + g + )(1 ) (9) a4) Mostre que a aproximação da velocidade dada por (9) correponde exatamente à derivada: d(log k)=dt log(k=k ) da equação (8) aproximada por log linearização. Com base nisto, interprete a aproximação (9). Sugestão: Seja o sistema _x = f(x) com f (x ) = 0: De na h(t) como x(t) x : Este sistema pode então ser escrito h _ = f(x) f(x ) + f 0 (x )h: Como pela de nição de estado estacionário f (x ) = 0; temos: _x f 0 (x )h (10) O arrazoado acima dá uma receita para linearização em torno do estado estacionário. Para log linearizar (8), temos que reescrever a equação diferencial original usando u = logk (11) e depois aplicar o arrazoado acima. Temos então: _u = sae ( 1 )u (n + g + ) Usando (10), com f(u) = sae ( 1 )u (n + g + ): _u sae ( 1 )u ( 1)(u u ) Usando (11): _k=k sak ( 1) ( 1)(log k k ) (12) Mas sabemos que sak ( 1) = (n + g + ): Daí obtém-se (12): 13- No exercício anterior, para y = Ak ; mostre que a equação diferencial para a relação capital mão de obra: d(log k)=dt = vd log(k=k ) implica outra da mesma forma para a relação produto mão de obra: d(log y)=dt = vd log(y=y ) 5

6 a) Resolva a equação diferencial acima. Sugestão: Faça z = logk e obtenha, como solução da equação diferencial linear correspondente: z(t) = (z(0) z )e vt + z b)* Suponha em (9) que = 1=3; n = 0:015; g = 0; 025 e = 0; 04 estes três últimos valores em unidades de ano 1 :Calcule o valor de v (também em unidades de ano 1 ) até a terceira casa decimal. Quanto tempo demora para o desvio de hiato de produto (log (y(t)=y )) se reduzir à metade? E para chegar a um quinto do seu valor inicial? Explicite seus cálculos. 14 Acemoglu exercícios 2.9, 2.25*, 2.26* 6