MAT Cálculo para funções de uma variável II. Revisitando a Função Logaritmo

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1 MAT Cálculo para funções de uma variável II Profa. Martha Salerno Monteiro IME-USP - Novembro de 2004 Revisitando a Função Logaritmo Considere a curva y = 1 t, t > 0. Para cada x > 1 defina a função L(x) como sendo a área da região entre a curva y = 1 t, o eixo dos t, e as retas verticais t = 1 e t = x. Para cada x ]0, 1[, defina L(x) como sendo o oposto do valor da área entre a curva y = 1, o eixo dos t e as retas verticais t = x e t = 1. Defina também t L(1) = 0. Faça esboços das áreas descritas acima, para os casos x > 1 e 0 < x < 1. Teorema 1. A função L definida acima é derivável e sua derivada é L (x) = 1 x. A demonstração desse teorema não é difícil e nós iremos fazê-la juntos. A idéia consiste em L(x + h) L(x) calcular o limite lim com a ajuda do Teorema do Confronto. Complete o que h 0 h estiver faltando: Demonstração. Considere o quociente L(x + h) L(x) h 1 ō Passo. Considere h > 0. A diferença L(x + h) L(x) representa uma área cujo valor está entre a área de dois retângulos convenientes. desigualdades correspondentes, no caso x > 1: < L(x + h) L(x) < Ache que retângulos são esses e escreva as Note que a mesma desigualdade vale também quando x = 1 e quando 0 < x < 1.

2 Divida a expressão acima por h (lembre-se de que h > 0) e reescreva a desigualdade: 2 ō Passo. Considere h < 0 e escreva a desigualdade correspondente nesse caso. 3 ō Passo. Calcule a derivada de L. Assim, conseguimos definir uma função L(x) tal que L(1) = 0 e L (x) = 1. x Teorema 2. Para quaisquer números a e b estritamente positivos, vale: L(ab) = L(a) + L(b) Demonstração. 1 ō Passo. Defina, para x > 0, a função g(x) = L(ax) e calcule g (x). 2 ō Passo. Tendo em vista o resultado de g (x), escreva como deve ser a relação entre L e g? Em particular, para x = 1, essa relação fica: Faça x = b, e conclua o teorema. Teorema 3. A função L é estritamente crescente. Demonstração. (A seu cargo.) Teorema 4. A imagem da função L é o conjunto dos números reais.

3 Demonstração. 1 ō Passo. Sabemos que L(1) = 0 e que L é estritamente crescente. Logo, L(2) > L(1), ou seja, L(2) > 0. Use o Teorema 2 para calcular L(4), L(8), L(16),... em termos de L(2) 2 ō Passo. Prove, por indução, que L(2 n ) = nl(2). 3 ō Passo. Calcule lim n L(2 n ) 4 ō Passo. Analogamente, calcule lim n L( 1 2 n ) 5 ō Passo. Use o Teorema do Valor Intermediário para concluir o teorema 4. Teorema 5. Se n Z e a > 0 então L(a n ) = nl(a). Demonstração. 1 ō Passo. Suponha primeiramente n > 0. Façamos um rascunho: L(a 2 ) = L(a a) = L(a) + L(a) (pelo Teorema 2). Agora, rigorosamente, use indução para provar que L(a n ) =... 2 ō Passo. Suponha agora n < 0 e faça m = n. Como m > 0, podemos escrever: 3 ō Passo. Conclua o teorema. 0 = L(1) = L(a n a m ) T2 = L(a n ) + L(a m ) =... Finalmente, vamos agora calcular L (x) e fazer um esboço do gráfico de L.

4 Conclusão. A função L definida através da área sob o gráfico de y = 1 é exatamente a função x logaritmo de base natural (L(x) = ln x). Note que a maneira como fizemos neste trabalho não só é precisa, completa (não deixa nada para ser justificado depois) mas também elegante! Exercícios A. 1. Prove que ln x < x, para todo x > Prove que ln(1 + x) < x, para todo x > Prove que h 1+h ln(1 + h) < h, para todo h > 0. (Sugestão: compare a área sob a curva y = 1 x, entre 1 e 1 + h com as áreas de retângulos convenientes.) ln(1 + h) 4. Prove que lim = 1 h 0 h 5. Prove que 1 n + 1 < ln(1 + 1 n ) < 1, para todo n 1. n Exercícios B. Seja a n = ln n, para n 1. n 1. Prove que a seqüência (a n ) n é decrescente. 2. Considere, para cada n 1, a seqüência dada por b n = a n 1 n. Mostre que (b n) n é crescente. 3. Calcule b n a n e depois lim b n a n. n b n < e < a n, para todo n 1. Conclua que existe um único número e tal que O número e que você acabou de provar que existe é a famosa constante de Euler! Nota importante. A definição de logaritmo feita acima foi uma definição geométrica, e a demonstração do Teorema 1 foi, inevitavelmente, geométrica também. Poderíamos ter escolhido outro caminho: definindo L da seguinte maneira: L(x) = x 1 Fazendo dessa maneira, o resultado do Teorema 1 é uma conseqüência imediata do Teorema 1 t dt Fundamental do Cálculo. Por quê, então, fizemos do modo mais trabalhoso? Historicamente as descobertas aconteceram na ordem mais trabalhosa. Newton percebeu que a função que calcula a área sob o gráfico de y = 1 tem o comportamento de um logaritmo, ou seja, x

5 satisfaz a propriedade L(ab) = L(a) + L(b), a, b R. Com isso, desconfiou que deveria haver uma relação entre a função área e sua derivada. A pergunta natural que surge é: fazendo o mesmo com outras funções o que acontece? A resposta a essa pergunta levou-o a provar o Teorema Fundamental do Cálculo. O número e visto de outra forma Recordemos que a função logaritmo L : R + R definida anteriormente é injetora (por quê?) e sobrejetora (pelo Teorema 4). Logo, existe uma única solução para a equação L(x) = 1. Essa solução é o número que indicamos pela letra e. Assim, o número e é o único número real tal que L(e) = 1. Pergunta: Qual a interpretação geométrica (em termos da área sob o gráfico de y = 1 x ) que você pode dar a essa igualdade? É fácil provar que 2 < e < 4. Acompanhe o raciocínio e complete o que estiver faltando: Considere o gráfico de y = 1. No eixo dos x, assinale os pontos A= (1, 0), B= (2, 0), C= (3, 0) x e D= (4, 0). Assinale também os pontos E= (1, 1), F= (2, 1), G= (3, 1) e H= (4, 1 ) que estão sobre a curva. Considere agora os retângulos R 1, que tem A, B e F como três de seus vértices; R 2, que tem B, C e G como três de seus vértices; R 3, que tem C, D e H como três de seus vértices. Note que L(4) > área de R 1 + área de R 2 + área de R 3 L(4) > Logo, L(4) > 1 = L(e). Como L é estritamente crescente, concluímos que 4 > e. Considere agora três retângulos que tenham, respectivamente, vértices A, B e E; B, C e F; e C, D e G, e compare a soma de suas áreas com L(2) para concluir que 2 < e. Com isso, fica provado que 2 < e < 4. abaixo.) É mais trabalhoso provar que e < 3 (Veja o Exercício 4

6 Exercícios.Utilize método análogo ao acima para provar que: 1. ln 2 > < ln 3 < < ln 2 < 5 6 que tenham base de compri < ln 3 (Sugestão: use retângulos sob o gráfico de y = x mento 1.) 4 A função exponencial Já vimos que a função L : R + R é estritamente crescente. Logo admite uma inversa, que indicaremos por E. Assim, o domínio de E é o conjunto e a imagem é Também conhecemos dois de seus valores: E(0) =..., E(1) =... Teorema 6. Se z, w R então E(z + w) = E(z) E(w). Demonstração. (A seu cargo. Sugestão: use o Teorema 2.) Agora use o teorema 6 acima e calcule: E(2) =... ; E(3) =... Por indução, E(n) =... para todo n inteiro positivo. Para n inteiro negativo, tome n = m (logo m > 0) e calcule E(m). (Sugestão: 1 = E(0) = E(m m) T6 =...) Conclusão. A função E é uma função definida em R, contínua (por quê?), estritamente crescente (por quê?), tal que, para cada n Z, E(n) é uma potência de expoente n. (E(n) = e n, n Z). Por isso, escrevemos E(x) = e x, x R. Teorema 7.A função E(x) = e x é derivável em R e sua derivada é E (x) = E(x), x R Demonstração. (A seu cargo. Sugestão: Lembre-se de que E é a função inversa de L, cuja derivada você conhece.)

7 Calcule, usando apenas as informações obtidas acima sobre a função E, os limites lim x e x e lim x ex Estude a concavidade e esboce o gráfico de E. Problemas. 1. Sabe-se (por dados experimentais) que o rádio se desintegra a uma taxa que é proporcional à quantidade restante. instante t, então (Isto quer dizer que se f(t) representa a quantidade de rádio no f (t) = kf(t) para alguma constante k. Também podemos dizer que k < 0 porque sabemos que a quantidade f(t) deve diminuir.) Defina g(t) = f(t) e kt (a) Calcule g (t) e conclua que f(t) = Ce kt, para alguma constante C. (b) Supondo que hoje (t = 0) eu tenho 10g de rádio, determine C. (c) Ainda supondo que hoje há 10g de rádio, e sabendo que daqui a 1 milhão de anos haverá 0,1g, qual o valor de k? 2. Sabe-se que a taxa de crescimento de uma população (animal ou vegetal) é proporcional à população. Em 1950 a população de uma cidade era de habitantes. Em 2000, era de habitantes. (a) Qual será a população em 2034? (b) Em que ano a população será de habitantes?