MODELO DE SOLOW: COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO. Profa. Maria Isabel Busato

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1 MODELO DE SOLOW: COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO Profa. Maria Isabel Busato

2 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO Hipóteses do Modelo Economia fechada e sem governo; Economia produz um único bem que pode ser investido ou consumido (PIB); Os fatores de produção são transformados através de uma função de produção que contém um conceito de máximo possível através da transformação dos Fatores de Produção; Mercados competitivos, estrutura de equilíbrio geral, com livre mobilidade de fatores; Preços flexíveis (todos os preços, incluindo juros, salários etc), reagindo à oferta e procura, logo determinados pela escassez relativa; A inovação tecnologia surge exogenamente, crescendo a uma taxa constante.

3 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO Na última aula apresentamos o modelo básico de solow, cujos resultados podem ser assim sintetizados: Trajetória de Crescimento equilibrado Solow Básico sem progresso técnico Variável Taxa de crescimento Y* n K* n C* = (1-s) Y* n I* = sy* n 1 * Y * n W* = * * Y * n y* 0 k* 0 c*=(1-s) y* 0 i*=sy* 0 w*= 1 * y* 0

4 SOLOW: INSATISFAÇÕES COM O MODELO BÁSICO Insatisfações com os resultados obtidos através do modelo básico: Insatisfação principal: o modelo não é capaz de explicar taxas de crescimento per capta positivas observadas nas experiências mundiais. Além disso, persiste a seguinte questão: É possível que uma economia desfrute de taxas de crescimento positivas simplesmente economizando e investindo em seu estoque de capital? Qual são as respostas dadas pelo modelo de Solow com progresso técnico exógeno àquelas questões?

5 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO A estrutura básica do Modelo de Solow com progresso técnico exógeno: O modelo de Solow foca 4 variáveis: Produto (Y), Capital (K), Emprego (L) e Tecnologia (A). O modelo é construído em torno de duas equações fundamentais: 1) Uma função de produção que descreve como os insumos (K, L) e a tecnologia (A) são combinados para gerar produto (Y) 2) Uma equação de acumulação de capital.

6 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Função de Produção: Y t = F(K t, L t, At) Onde: Y t é o fluxo de produto produzido no tempo t; K t representa o capital físico, tal como máquina, prédios, etc.; L t representa o número de trabalhadores e/ou as horas de trabalho; At representa a variável tecnológica que é aumentadora de trabalho ou Harrod-Neutra, logo o progresso técnico aumenta a produtividade do trabalho. A questão relevante em considerar o progresso como um fator não excludente e não rival está no fato de que, se o progresso resultasse de um esforço, poderia se cobrar por ele, e, portanto, teríamos um modelo cuja hipótese de concorrência perfeita não se sustentaria, já que o inovador poderia obter sobre lucro.

7 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO O progresso técnico At representa a variável tecnológica que é aumentadora de trabalho ou Harrod-Neutra ; Aumenta a produtividade do trabalho. Não é incorporado ao capital, o crescimento do capital não produz inovação endogenamente através de learning by doing ou qualquer outro meio. O progresso é aumentador do trabalho, permitindo que se produza mais com a mesma força de trabalho, porque aumenta a produtividade da mão de obra. Progresso técnico é NÃO RIVAL e NÃO EXCLUDENTE, ou seja, todos têm igual acesso ao estado das artes, não podendo ser apropriado. Se supõe que o progresso técnico não resulta de um esforço para obtê-lo. Trata-se de um bem público. Muitos o chamam de um maná que cai do céu. O progresso técnico não depende de aprendizado na atividade produtiva (ou não seria exógeno) e, portanto, está acessível a todos. A relação capital-produto permanece constante para um dado valor da taxa de juros.

8 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Propriedades da função de produção neoclássica: 1) RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA F(λK, λl) = λ F(K,L) para qualquer λ > 0 É importante notar que a definição de escala inclui somente os dois insumos rivais. 2) Rendimentos marginais positivos, mas decrescentes para o fator variável: F K > 0, F L > 0, 2 F K 2 < 0 2 L L < 0 O uso adicional do fator variável adiciona positivamente o produto, mas essas adições decrescem com o aumento do uso do fator variável

9 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Propriedades da função de produção neoclássica: 3) Condições Inada (Inada, 1963) F lim K 0 K = lim F L 0 L = lim K F K = lim L F L = 0 O produto marginal do capital (ou trabalho) se aproxima do infinito se o capital (ou trabalho) se aproxima a zero, e se aproxima a zero, se o capital (ou trabalho) tende para o infinito. 4) Essencialidade F 0, L = F K, 0 = 0 É Impossível produzir com zero de algum dos insumos.

10 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Uma forma funcional específica que atende a tais propriedades, para expressar a Primeira equação Fundamental do modelo, a Função Cobb-Douglas: Eq 1 Y = K α (AL) 1 α Note que não temos uma forma funcional para o progresso técnico, A é exógeno e cresce a uma taxa constante, ga. Além disso, trata-se de um índice de eficiência (maior A, mais produtiva é L); AL é a quantidade de trabalho medida em unidades de eficiência. α é constante com valor 0 < α < 1. O modelo de Solow quer então mostrar de que maneira o crescimento do estoque de capital, o crescimento populacional e os avanços técnicos interagem e como afetam a produção total de bens e serviços. a) discutiremos a oferta total a partir de uma função e produção do tipo Cobb-Douglas. b) apresentaremos a demanda através de sua forma intensiva (variáveis per capta) e dividiremos a produção por trabalhador (y) em consumo per capita (c) e investimento per capta (i) OU todas as variáveis por efetividade do trabalhado (variáveis divididas por AL)

11 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO A função de Produção expressa em unidades de eficiência do trabalho ou capitaltecnologia Y = Kα (AL) 1 α AL AL Eq (2) y = k α = Onde: y = Y AL e k = K AL As variáveis. se referem ao produto e ao capital por unidade efetiva de trabalho ou por unidade de eficiência

12 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL A equação de Acumulação de Capital Eq (3) Eq (3.1) K = sy dk reescrevendo K K = sy K d K = K t K t 1 variação do estoque de capital por período, ou seja, K = dk s = Taxa de poupança => S/Y novamente exógena d = taxa de depreciação sy K = s v com s exógena e a relação capital produto (K/Y) endógena dt

13 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL A equação de Acumulação de Capital (cont...) Eq (3.2) K = K AL Aplicando log e derivando em t Eq (3.3) k = K A L da Eq (3.1)sabemos que K = s Y d k K A L K K k k = s Y K d g A n fazendo Y/AL K/AL Temos

14 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL A segunda equação fundamental: Acumulação de Capital por unidade efetiva de trabalho (ou capital-tecnologia ou unidade de eficiência) Eq (3.4) Em s.s k = s y (d + g A + n) k k = 0 s y = (d + g A + n) k ou s/v = (d + g A + n) A equação 3.4 (de acumulação de capital por efetividade trabalho) permite afirmar que: A acumulação de capital medidas em unidade de eficiência, k, tende a aumentar se aumenta s (com o investimento); Tende a diminuir se aumenta a depreciação, o crescimento populacional ou sua eficiência.

15 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: AS DUAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS NA FORMA UNIDADE DE EFICIÊNCIA Eq (2) y = k α Eq (3.4) k = s y (d + g A + n) k em s.s k=0, logo s y = (d + g A + n) k ou k k = s v (d + g A + n) Agora estamos novamente aptos a analisar algumas mudanças em seus parâmetros.

16 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: AS DUAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS NA FORMA UNIDADE DE EFICIÊNCIA Eq (2) y = k α ; k = s y (d + g A + n) k em s.s s y = (d + g A + n) k Análise do efeito crescimento na taxa de poupança (mostra gráfico) Fazer gráficos das Notas de apoio, folha 1 e 2. Alterações na taxa de poupança ou na taxa de crescimento populacional afeta o nível de produto por trabalhador (per capita) mas não afetam a taxa de crescimento do produto por trabalhador a longo prazo (mostrar os efeitos).

17 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA As simulações a seguir foram produzidas imaginando uma economia inicialmente em s.s com as seguintes condições iniciais: s old: 0,3 ; s new: 0,4 ; k inicial=24,8, ; d=0,1, a=0,01 À nova taxa de poupança o capital por unidade de eficiência aumenta, mas não imediatamente para o novo nível de s.s (k*), de modo que ao nível de k inicial, o investimento supera o necessário para manter k constante. Mais recursos são usados para i e delta k é positivo, logo k começa a crescer. k cai gradativamente devido à hipótese de rendimentos decrescentes para o capital. Logo, mudanças na taxa de poupança geram efeito-nível permanente nas variáveis por unidade de eficiência e efeito taxa apenas temporário.

18 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA SOBRE VARIÁVEIS EXPRESSAS EM UNIDADE DE EFICIÊNCIA 0,45 0,4 0,35 Tx poupança 0,60 0,50 k 50,00 45,00 40,00 K/AL= 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,40 0,30 0,20 0,10 0, ,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0, ,00 4,50 7,00 2,50 4,00 6,50 2,00 1,50 3,50 3,00 6,00 5,50 5,00 1,00 2,50 4,50 0, , ,

19 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: EFEITOS DE UM AUMENTO DA TAXA DE POUPANÇA SOBRE VARIÁVEIS PER CAPTA Efeito taxa poupança positiva: gy e gk crescem à mesma taxa em s.s 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 gk-gy

20 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: PROPRIEDADES DO S.S. DERIVAÇÃO MATEMÁTICA Em s.s k = 0, logo s y = a + d + n k Os asteriscos indicam que as variáveis se encontram em s.s. mas Sabemos que y = k α ; Logo, s k = n + d + a k => k = Substituindo na fção de produção y = k α Temos: y = Assim, em s.s s n+d+a 1 α s n+d+a 1 1 α Δs > 0 => Δ y > 0 ou seja, maior taxa de poupança implica nível de produto por unidade de eficiência maior; Δn, Δa ou Δd > 0 => Δ y < 0, maiores taxas de cresc populacional ou de sua efetividade e da depreciação, implicam menor nível de produto per capta. As propriedades de s.s. nos permitem mostrar que um aumento na taxa de poupança será seguido pelo aprofundamento do capital e, portanto, resultará em maior NÍVEL de capital por unidades efetivas de trabalho. Assim como, maior nível de produto por unidade de eficiência. Atenção para o fato de que a maior taxa de poupança não eleva a taxa de crescimento, as quais deduziremos em seguida.

21 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: TAXAS DE CRESCIMENTO DE Y*, K* Taxa de crescimento de Y* (produto em estado estacionário) y = Y AL Aplicando log e derivando em relação ao tempo log y = logy loga logl d y = dy da dl => dt dt dt dt y y = Y Y A A L L => em estado estacionário, y y Y = 0, Logo: Y = n + g A Ou seja, o produto da economia cresce à taxa de crescimento populacional e progresso técnico.

22 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: TAXAS DE CRESCIMENTO DE Y*, K* Taxa de crescimento de K* (estoque de capital em estado estacionário) Escrevendo a equação de acumulação de capital por unidade de eficiência do trabalho k = K AL Vamos aplicar log e derivar essa equação em relação ao tempo para encontrar taxas de crescimento do estoque de capital em s.s. Log k = log K log L log A => Derivando em relação ao tempo temos Eq (3.2) k k = K K L L A A => sabe-se que em s.s.k k = 0, o que implica: K K = n + g A Logo, o estoque de capital cresce à mesma taxa do Produto total.

23 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: TAXAS DE CRESCIMENTO DAS VARIÁVEIS PER CAPITA Taxa de crescimento de y* e k* (produto per capita em estado estacionário) Vamos chamar a variável per capta: y = Y L y = Kα (AL) 1 α = > Kα (A) 1 α => y = k α (A) 1 α adotando os mesmo procedimentos L L anteriores (aplica-se log α e deriva-se em t, temos) log y = α log k + (1 α) log A y = α k + (1 α) A sabe-se que em s.s y e k crescem à mesma taxa. Pois derivamos acima que y k A Y e K crescem à mesma taxa, logo, se Y/K é constante em s.s, e y e k crescem à mesma taxa em s.s. g y = g k substituindo essa relação na equação

24 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: TAXAS DE CRESCIMENTO DAS VARIÁVEIS PER CAPITA Taxa de crescimento de y* e k* (produto e capital per capita em estado estacionário) g y = αg y + (1 α)g A => 1 α g y = 1 α g A, Logo: g y = g k = g A Logo, as variáveis per capta, y*,k*, c*, i* crescem à taxa de crescimento do progresso técnico. Apresentando taxas positivas das variáveis per capta ao longo da trajetória de crescimento equilibrado, o que não é possível obter no Solow básico. ***Estou usando g A quando nos slides anteriores usei a para taxa crescimento progresso técnico (cuidado com a leitura)

25 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: TRAJETÓRIA DE CRESCIMENTO EQUILIBRADO - RESUMO EM S.S Variável Taxa de crescimento Y* a+n K* a+n C*=(1-s)Y* a+n I*=sY* a+n W*= 1 * Y * a+n * * Y * a+n y* a k* a c*=(1-s) y* a i*=sy* a w*= 1 * y* a y * 0 k 0 0 c 1 s y 0 i sy 0 w 1 * 0 0 r * v* 0

26 SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO: TRAJETÓRIA DE CRESCIMENTO EQUILIBRADO - RESUMO EM S.S A longo prazo, conforme Mankiw (1995), verifica-se que: (i) O estado estacionário independe das condições iniciais; (ii) A taxa de crescimento do produto per capita depende só de a; (iii) O nível do produto per capita depende de s (positivamente) e de a+n (negativamente); (iv) Em s.s a taxa de crescimento do capital é igual à do produto, com k/y constante; (v) A produtividade marginal do capital permanece constante, enquanto a do trabalho cresce à taxa a.

27 Conclusão: SOLOW COM PROGRESSO TÉCNICO EXÓGENO A experiência mostra que crescimento e investimento possuem taxas positivamente relacionadas no LP e no modelo de Solow com progresso técnico o efeito de um aumento permanente da taxa de poupança (e no investimento) leva apenas a efeitos transitórios sobre as taxas de crescimento per capta no longo prazo. O modelo explica os diferentes NÍVEIS de renda per capta através dos diferentes níveis de poupança e do crescimento populacional. Assim como no modelo básico. Por outro lado, o modelo com progresso técnico exógeno é capaz de gerar crescimento sustentado das variáveis per capta a LP, que dependem agora do progresso técnico exógeno. O progresso técnico compensa a tendência declinante do produto marginal do capital. Como o modelo explica diferenças nas taxas de crescimento experimentadas entre os países? Normalmente se atribui esse fato aos períodos de dinâmica de transição.