Gabarito da Primeira Lista

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1 Gabarito da Primeira Lista Professor: Fernando Holanda Filho Monitora: Gabriela Fernandes maio de 2011 Questão 1: Um aumento na força de trabalho O efeito imediato de um aumento na força de trabalho é a redução da razão capital-trabalho k K/L, uma vez que K está fixo no momento. Supondo que a economia estivesse no estado estacionário antes desse choque, k cai de k para um nível novo k 1. Note que essa mudança é um movimento ao longo das curvas sy e (n+δ)k e não um deslocamento delas. Em k 1, sy > (n+δ)k, logo, k > 0 e a economia se desenvolverá de acordo com a dinâmica de Solow, voltando ao ponto k. No curto prazo, o produto per capita e o capital per capita caem em resposta a um fluxo grande de trabalhadores. Então, essas duas variáveis começam a crescer (a taxas decrescentes), até que no longo prazo, o capital per capita retorna ao nível k e nada mudou no longo prazo. 1

2 Questão 2: Uma redução na taxa de investimento Um decréscimo na taxa de investimento faz com que a curva sŷ se desloque para baixo. Assumindo que a economia parte do estado estacionário (ˆk ), o capital por unidade efetiva de trabalho agora é mais alto do que é consistente com a taxa de poupança reduzida, então declina gradualmente para o ponto ˆk, o novo steady-state. O PIB por trabalhador declinará permanentemente, pois depende diretamente de s, já a sua taxa de crescimento se reduz por um instante, mas logo depois volta ao nível de estado estacionário, g. 2

3 Questão 3: Imposto de renda Se o Governo joga fora tudo o que recebe em impostos, temos que o montante de investimento se reduzirá e deslocará a curva de investimento para baixo. Há, então, uma redução permanente do nível do PIB per capita, mas a taxa de crescimento dessa variável só é afetada temporariamente, como no exercício anterior. Questão 4: O maná cai mais rápido O diagrama de Solow e o gráfico da dinâmica de transição nesse caso podem ser vistos abaixo. 3

4 Quando g cresce para g, ˆk/ˆk se torna negativo, como mostrado na figura acima e A/A = g, o novo crescimento de steady-state. Para ver o que isso implica em relação à taxa de crescimento de y, lembre que: ẏ y = ŷ ŷ + A ˆk A = α ˆk + g (1) Então para determinar o que ocorre com a taxa de crescimento de y no momento da mudança de g, temos que determinar o que ocorre com ˆk/ˆk nesse momento. Como pode ser visto na figura anterior, essa razão decresce da diferença entre as duas taxas de crescimento, ie, ( ˆk/ˆk) = g g > 0. 4

5 Portanto: ˆk ẏ y = α + g ˆk (2) = α(g g ) + g (3) = (1 α)g + αg > 0 (4) Pois é uma média ponderada entre dois termos positivos. Note que ele é estritamente menor do que g. Portanto, em t = 0, assim que ocorre a mudança, o PIB per capita cresce a uma taxa intermediária entre as taxas de crescimento da tecnologia antiga e nova. Depois, ela passará a crescer à nova taxa g. Questão 5: Podemos poupar demais? No modelo de Solow sem crescimento tecnológico, sabemos que: Portanto: y = ( s ) α 1 α n + δ ( ) α s c 1 α = (1 s) n + δ (5) (6) 5

6 Para maximizar c em relação a s, derivaremos essa expressão em relação a s e igualaremos a zero. c ( ) α s s = 1 α + (1 s) n + δ Rearranjando: α 1 α s 2α 1 1 α ( ) α 1 1 α = 0 (7) n + δ s α α 1 α = (1 s) 1 α s 2α 1 1 α (8) α s = (1 s) (9) 1 α s 1 s = α 1 α (10) s = α (11) Portanto, a taxa de poupança que maximiza consumo é igual a α. Quanto ao produto marginal do capital, sabemos que: Se fizermos s = s = α, veja que: MP K = α(k ) α 1 = α(n + d)s 1 (12) MP K = (n + d) (13) Isto é, o produto marginal do capital líquido, ie, sem depreciação, é igual ao crescimento populacional. 6

7 Se s > α, o consumo de estado estacionário seria maior reduzindo a taxa de poupança. Esse resultado se deve aos retornos marginais decrescentes do capital. Quanto maior a taxa de poupança, menor MP K, que é o retorno do investimento. Se n = 0 e MP K cai para algo menor do que a taxa de depreciação, quem investe 1 real está recebendo menos de 1 real em retorno, logo, está poupando/investindo em excesso. Questão 6: Solow(1956) versus Solow(1957) (a) Sabemos que dlog(a)/dt = Ȧ/A = 1. Logo, da equação (2.13): ẏ y = A A (14) O produto por trabalhador aumentará 1%. (b) 7

8 Y = BK α L 1 α (15) ( ) Y K α L = B (16) L y = Bk α (17) ẏ y = Ḃ B + α k k Comparando com o modelo clássico: (18) Y = K α (AL) 1 α (19) ( ) Y K α L = A1 α (20) L ẏ y y = A 1 α k α (21) A = (1 α) A + α k k (22) Logo, uma parcela α do crescimento é dado pelo crescimento do capital por trabalhador e 1 α é dada pela mudança na produtividade total dos fatores. (c) Podemos ter a impressão de que atribuímos parte do crescimento ao capital e parte à tecnologia. Entretanto, sabemos que o aumento no crescimento tecnológico é a razão para o próprio crescimento do capital per capita. 8