Introdução Generalização

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1 Cálculo 2 - Capítulo Derivação implícita 1 Capítulo Derivação implícita Introdução Generalização Derivação implícita Veremos agora uma importante aplicação da regra da cadeia, aprendida no capítulo anterior. Trata-se da derivação de uma grandeza em termos da outra quando as duas são escritas em forma implícita, isto é, a relação entre elas é dada, mas não a função de uma com relação à outra. Esse tipo de derivção é fundamental para a teoria de preços, um ramo da microeconomia Introdução Em diversos problemas, uma função y(x) não é dada explicitamente, mas por meio de uma relação envolvendo as variáveis y e x. Um exemplo é a equação de uma circunferência de raio 20, dada pela equação x 2 + y 2 = 400. Tal relação pode representar, por exemplo, uma fronteira de possibilidade, onde x e y são as quantidades de dois produtos distintos que podem ser produzidas com uma quantidade limitada de matériaprima. Tal equação pode vir do seguinte problema: considere que uma indústria produza quantidades x e y de dois produtos distintos, e que ambas as quantidades dependam do número de horas disponíveis para montagem. Considere que as quantidades produzidas como funções de h sejam dadas por x = h x e y = h y, onde h x são as horas de montagem dedicadas à produção do primeiro produto e h y são as horas de montagem dedicadas à produção do segundo produto. Caso o número de horas de montagem seja 400 horas, então quando a firma está em produtividade máxima, teremos h x + h y = 400 x 2 + y 2 = 400. Quaisquer valores de x e de y que satisfaçam a essa equação garantem a produtividade máxima da indústria. A equação determina a chamada fronteira de possibilidade. Podemos usar essa equação para isolar a variável y da y seguinte forma: x 2 + y 2 = 400 y 2 = 400 x 2 y = ± y = x x 2 2. x Note que acabamos ficando com duas funções, uma representando a parte superior da circunferência e a outra representando 2 y = 400 x sua parte inferior (figura ao lado). Para o exemplo da fronteira de possibilidade, somente a parte positiva da função, y = 400 x 2, é válida, pois não se pode produzir uma quantidade negativa de algum produto. Se quisermos saber como a quantidade y varia com relação a uma variação da quantidade x, podemos calcular a derivada de y com relação a x: dx = 1 2 (400 x2 ) 1/2 ( 2x) = x(400 x 2 ) 1/2 x =. 400 x 2 Se substituirmos y = 400 x 2, obtemos a expressão dt = x y. Se quisermos ter uma idéia da variação da quantidade y quando ocorre uma variação (pequena) x = 1, temos y x dx y 1 dx = x y y x y. 0

2 Cálculo 2 - Capítulo Derivação implícita 2 Se quisermos saber y para uma variação de x = 1 a x = 2, calculamos y(1) = = 399 e usamos x = 1 na expressão para a derivada, obtendo y , Isto significa que, se houver um aumento de 1 unidade na produção do primeiro produto, tem que haver uma queda de aproximadamente 0, unidade (se isto for possível) na produção do produto 2 de modo a continuar sobre a fronteira de possibilidade, que é quando ocorre a produção máxima. A próxima seção mostra uma forma um pouco mais rápida de efetuar a derivada feita nesta seção que pode ser utilizada em casos onde não é possível isolar uma variável em termos da outra Derivação implícita Podemos encarar uma função definida de forma implícita como tendo a forma F (x,y(x)) = c, onde c é uma constante qualquer. No exemplo que acabamos de ver, teríamos x 2 + y 2 = 400, sendo F (x,y(x)) = x 2 + y 2. Relembremos agora a regra da cadeia (vista no capítulo passado) para uma função F (x(t), y(t)). Como, em última análise, essa é uma função do parâmetro t, podemos derivá-la em função desse parâmetro da seguinte forma: df dt = F dx x dt + F y y t. Trocando o parâmetro t pela variável x, teremos F (x,y(x)) e df dx = F dx x dx + F y dx = F x 1 + dx. Utilizando essa derivada dos dois lados da expressão F (x,y(x)) = c, temos df dx = 0 F x + dx = 0 se 0. A última expressão é a derivada de y com relação a x quando a relação entre essas duas variáveis é dada implicitamente pela expressão F (x,y(x)) = c. Exemplo 1: utilize a derivação implícita para calcular a derivada de y com relação a x dada a expressão x 2 + y 2 = 400. Solução: temos F (x, y(x)) = x 2 +y 2, de modo que a expressão fica F(x, y) = 400. Calculando as derivadas parciais temos dx = 2x 2y dx = x y. F x = 2x, = 2y, Este é o mesmo resultado obtido quando derivamos a forma explícita da função. Note que não foi necessário isolar y em função de x neste caso. Exemplo 2: considere a expressão x2 4 + y2 9 derivada de y com relação a x. = 1, que determina uma elipse no plano cartesiano. Calcule a Solução: temos F(x, y) = x2 4 + y2 9, de modo que F x = 2x 4 = x 2, = 2y 9 e = x/2 2y/9 = x 2 9 2y = 9x 4y. A derivação implícita é particularmente importante quando é difícil estabelecer uma relação entre a variável dependent y e a variável independente x ou quando essa relação não é deixada clara, como mostra o exemplo a seguir.

3 Cálculo 2 - Capítulo Derivação implícita 3 Exemplo 3: considere a expressão x 2 + y 2 + (x 1) 2 + (y 2) 2 = 3. Calcule a derivada de y com relação a x em (x 0,y 0 ) = (1,0). Solução: neste caso, é praticamente impossível isolar a variável y para então derivá-la com relação a x. No entanto, podemos escrever F(x, y) = x 2 + y 2 + (x 1) 2 + (y 2) 2. Usando a derivação implícita, temos, onde F x = 1 2 (x2 + y 2 ) 1/2 2x = x (x 1) 2 + (y 2) 2 + (x 1) x 2 + y 2 x2 + y 2 (x 1) 2 + (y 2) 2, = 1 2 (x2 + y 2 ) 1/2 2y = y (x 1) 2 + (y 2) 2 + (y 2) x 2 + y 2 x2 + y 2 (x 1) 2 + (y 2) 2. [ (x 1) 2 + (y 2) 2] 1/2 2(x 1) = x x2 + y 2 + x 1 (x 1)2 + (y 2) 2 = [ (x 1) 2 + (y 2) 2] 1/2 2(y 2) = y x2 + y 2 + y 2 (x 1)2 + (y 2) 2 = Portanto, dx = x (x 1) 2 + (y 2) 2 + (x 1) x 2 + y 2 x2 + y 2 (x 1) 2 + (y 2) 2 y (x 1) 2 + (y 2) 2 + (y 2) x 2 + y 2 x2 + y 2 (x 1) 2 + (y 2) 2 x (x 1) = 2 + (y 2) 2 + (x 1) x 2 + y 2 y (x 1) 2 + (y 2) 2 + (y 2) x 2 + y. 2 Embora a expressão encontrada seja bastante complicada, foi possível calcular a derivada pedida. Agroa, só nos resta subsitutir os valores x = 1 e y = 0: (1 dx = 1 1)2 + (0 2) 2 + (1 1) (1 1) 2 + (0 2) 2 + (0 2) = = 2 2 = 1. Exemplo 4: maximização do lucro com uma demanda indeterminada. Consideremos uma firma que produza uma quantidade q(x) de um determinado produto dependendo de x unidades de um único insumo. Digamos que o custo do insumo é de 2 reais a unidade e que o produto final é vendido a 4 reais a unidade. O lucro dessa firma será dado, então, pela diferença da receita 4q(x) com a venda das unidades produzidas menos o custo 2x com o insumo necessário a essa fabricação. Para isto, estamos ignorando os demais custos com a fabricação do produto da empresa. Sendo assim, o lucro da firma pode ser dado por l = 4q(x) 2x. Escreva uma relação aproximada entre q(x) e x que maximize o lucro da firma. Solução: não foi indicada a função q(x) que relaciona o número de unidades produzidas com relação ao número de unidades de insumo, x, consumidas nessa produção. Portanto, não podemos escrever uma expressão explícita de q como função de x. O lucro é maximizado quando onde F (x, q(x)) 4q(x) 2x. dl dx = 0 df dx = 0, Usando a derivação implícita, temos F x = 2 e F q = 4, de modo que dq F q dq dx = 2 4 dq dx = 1 2. Sabemos que, para pequenas variações de x, a derivada é uma boa aproximação da taxa de variação de q(x) com relação a x: q(x) x dq(x) dx q(x) x 1 q(x) 0, 5 x. 2 Portanto, de modo a manter um lucro máximo, devemos ter uma variação de 0, 5 unidade na produção caso haja um aumento de uma unidade no insumo.

4 Cálculo 2 - Capítulo Derivação implícita Generalização Imaginemos agora o caso mais geral em que temos uma expressão F (x,y,z(x,y)), onde existe uma função z(x,y) de duas variáveis definida implícitamente. Aplicando a regra da cadeia a este caso, temos Como dx = 1, dx F x = 0 F dx x dx + F y dx + F z z x = 0, F y = 0 F dx y + F y + F z z y = 0. = 1, dx = 0 e dx F = 0, temos, escrevendo x = F x e F y =, z F x + F z x = 0 F z z x = F x z x = F x F z z, + F z y = 0 F z z y = z y =. F z Estas são as fórmulas de derivação implícita para expressões envolvendo três variáveis reais. Elas só são válidas se F(x,y,z) for derivável com relação a x e a y e se F z 0. Exemplo 1: considere a expressão x2 com relação a y. Solução: temos de modo que de modo que 4 + y2 9 z2 16 = 1. Calcule as derivadas parciais de z com relação a x e F(x, y, z) = x2 4 + y2 9 z2 16, F x = 2x 4 = x 2, = 2y 9, F z = 2z 16 = z 8, z x = F x F z = x/2 z/8 = x 2 8 z = 4x z, z y = F z = 2y/9 z/8 = 2y 9 8 z = 16y 9z. Note do exemplo 1 que, da mesma forma em que consideramos a variável z como sendo uma função das variáveis independentes x e y, também poderíamos ter considerado x como função de y e z, x = x(y, z), ou y como função de x e de z, y = y(x,z). Se fizermos essas escolhas, podemos usar, respectivamente, as seguintes fórmulas: x y = F x, x z = F z F x ou y x = F x, y z = F z. Também podemos ter expressões envolvendo n variáveis reais, F(x 1,x 2,,x n ) = c (c sendo uma constante), onde uma delas é vista como sendo uma função das outras n 1 variáveis. Com isto, podemos enunciar o teorema da função implícita de forma mais geral. Dada uma expressão F(x 1,x 2,,x n ) = c, onde c é uma constante e F(x 1,x 2,,x n ) é derivável com relação às variáveis x i (i = 1,2,,n), temos se F xj 0, para x j {x 1,x 2,,x n }. x j x i = F x i F xj

5 Cálculo 2 - Capítulo Derivação implícita 5 Resumo Derivação implícita para expressões com duas variáveis. Dada uma expressão F(x, y) = c, onde c é uma constante e F(x,y) é derivável com relação a x e tal que 0, temos. Derivação implícita para expressões com n variáveis. Dada uma expressão F(x 1,x 2,,x n ) = c, onde c é uma constante e F(x 1,x 2,,x n ) é derivável com relação às variáveis x i (i = 1,2,,n), temos x j = F x i x i F xj se F xj 0, para x j = {x 1,x 2,,x n }.

6 Cálculo 2 - Capítulo Derivação implícita 6 Exercícios - Capítulo 2.9 Nível 1 Derivação implícita Exemplo 1: dada a expressão y + ln y x 2 = 4, calcule dx. Solução: podemos escrever a expressão como F(x, y) = 4, onde F(x, y) = y + lny x 2. Pelo teorema da função implícita, temos, então, = 2x 1 + 1/y = 2x 1 + 1/y. E1) Dadas as expressões a seguir, calcule dx. a) x 2 y 3 = 3, b) x 2 + y 2 = 8, c) e x2 y 2 + 2y 4 = 0. Exemplo 2: dada a expressão x 3 y 3zy + x = 0, calcule x z. Solução: podemos escrever a expressão como F(x, y, z) = 0, onde F(x, y, z) = x 3 y 3zy + x. Pelo teorema da função implícita, temos, então, x z = F z = 3y F x 3x 2 y + 1 = 3y 3x 2 y + 1. E2) Dadas as expressões a seguir, calcule as derivadas pedidas. a) (x 2 3y 3 )z = 2, z x ; b) x 2 y 2 + z 2 = 7, y x e z y. Nível 2 E1) Considere que a produção de um país possa ser modelada pela função de Cobb-Douglas P(K,L) = = AK α L 1 α. a) Calcule a derivada de K com relação a L. b) Discuta de que forma os investimentos em infra-estrutura devem crescer de modo que a relação K/ L permaneça constante quando a força de trabalho cresce exponencialmente. E2) Considere a função P(K,L) = AK α L 1 α, onde K tem um crescimento quadrático no tempo e L tem um crescimento exponencial no tempo, o que pode ser escrito K(t) = α 0 + α 1 t + α 2 t 2 e L(t) = β 0 e β 1t, onde α 0, α 1, α 2, β 0 e β 1 são constantes e t é o tempo. Calcule a derivada da produção com relação ao tempo.

7 Cálculo 2 - Capítulo Derivação implícita 7 Nível 3 E1) A economia de um país produz dois bens, cujas quantidades são dadas por x e y, usando o trabalho como único insumo. Podemos escrever x = Lx e y = 2 Ly, onde Lx é o número de horas de trabalho dedicados à produção do bem cuja quantidade é dada por x e Ly é o número de horas dedicados à produção do bem cuja quantidade é dada por y. O total de trabalho disponível é 200 horas. a) Escreva uma fórmula para a relação entre x e y no desempenho máximo da economia do país. b) Represente a fórmula obtida no item a graficamente, no que é chamada fronteira de possibilidade. c) Calcule dx. d) Se x = 14 e y = 16, qual será o feito aproximado na quantidade y produzida de um aumento de uma unidade na quantidade x produzida? E2) Considere que a demanda D por um produto seja uma função do preço P da unidade vendida desse produto e dos gastos G com a sua propaganda, isto é, D = D(P,G). Considere, também, que a oferta S desse mesmo produto seja uma função somente do preço de venda da unidade deste, isto é, S = S(P). Se a demanda é igual à oferta, quanto vale dp dg? E3) A função de produção de Nerlove-Ringstad é definida implicitamente por P 1+c ln P = AK α L β, onde K é o capital investido, L é o trabalho utilizado, A, α, β e c são constantes positivas. Tomando o logaritmo natural dos dois lados dessa expressão e usando derivação implícita, calcule a produtividade marginal do capital e a produtividade marginal do trabalho. Respostas Nível 1 E1) a) dk dl b) Como K α)k = (1. αl L dk, para que a relação K/ L seja mantida é necessário que os investimentos em infra-estrutura dl também cresçam exponencialmente e na mesma proporção que a força de trabalho. E2) a) f u = 6 senu senv, f v Nível 2 E1) 1 P dp dt = α K (α 1 + 2α 2 t) + 1 α L β 0β 1 e β1t. = 6 cosu cosv; b) f u = 2 u + 1 u v, f v = 2 v 1 u v. E2) dp dt = αkα 1 L 1 α (α 1 + 2α 2 t) + (1 α)k α L α β 0 β 1 e β1t. Nível 3 y E1) a) x 2 + 0, 25y 2 = 200. b) x c) dx = 4x y. d) Ela diminui em cerca de 3, 5 unidades.

8 Cálculo 2 - Capítulo Derivação implícita 8 E2) dp dg = D D S. E3) P K = αp K(1 + 2c lnp) e P L = βp K(1 + 2c lnp).