Para motivar a definição de integral curvelínea, imagine um fio delgado em forma de uma curva C, com extremidade A e B. Suponha-se que o fio tenha

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1 INTEGRAIS DE LINHA INTRODUÇÃO: Temos como objetivo definir uma integral que é semelhante a uma integral simples, exceto que ao invés de integrarmos sobre um intervalo [a,b], integramos sobre uma curva C. Tais integrais são chamadas integrais de linha, apesar de integrais curvas ser uma expressão mais adequada. Elas foram inventadas no começo do século XIX para resolver problemas envolvendo escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo.

2 Para motivar a definição de integral curvelínea, imagine um fio delgado em forma de uma curva C, com extremidade A e B. Suponha-se que o fio tenha densidade variável, dada no ponto (x,y,z) pela função contínua conhecida por f(x,y,z), em unidades tais como gramas por centímetros (linear).

3 Seja: x=x(t); y=y(t); z=z(t); tє[a,b] (1) Uma parametrização suave da curva C, com t=a correspondendo ao ponto inicial A da curva e t=b, ao ponto terminal b.

4 Para obter uma aproximação da massa total do fio curvo, começa-se com uma partição: a = t 0 < t 1 <t 2 < < t n 1 < t n = b, de [a,b] em n subintervalos, todos com o mesmo comprimento: t = b a. Esses pontos de n subdivisão de [a,b] produzem, pela parametrização utilizada, uma divisão física em pequenos segmentos curvelíneos.

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6 Denote-se por P i o ponto (x(t i ), y(t i ), z(t i )) para i=0,1,2,...,n. Então os pontos P 1, P 2, P 3,..., P n são os pontos da subdivisão de C. A partição do intervalo [a,b] determina uma partição correspondente da curva C em pequenos arcos.

7 Relembrando que o comprimento de um arco de uma curva, pode ser calculado por: b s = න a 1 + dy dx 2 dx, para y = f(x)

8 Suponha que C também possa ser descrito pelas equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), α t β, onde dx dt = f t > 0. Isso significa que C é percorrida uma vez da esquerda para a direita, quando t aumenta de α até β e f α = a, f(β)=b. Assim, podemos escrever: b s = න a 1 + dy dx 2 β dx = න α 1 + dy dt dx dt 2 dx dt dt

9 Como dx dt > 0, temos: β s = න α β න α dx dt 2 + dy dt dx dt 2 2 dx dt dt = x t 2 + y t ²dt

10 Então, para o arco s i do segmento de C de P i 1 a P i, tem se: s i = x t i 2 + y t i 2 + z t i 2. t (1) Para algum número t i no intervalo [t i 1, t i ].

11 Caso se multiplique a densidade no ponto (x i, y i, z i ) pelo comprimento s i do segmento de C que contém aquele ponto, obtém-se uma estimativa da massa daquele segmento de C.

12 O limite dessa forma, quando t 0, deve ser a massa real m. Esta é a motivação para a definição da integral curvelínea da função f ao longo da curva C, denotada por: න C f x, y, z ds

13 Definição: Suponha-se que a função f(x,y,z) seja contínua em todos os pontos da curva paramétrica suave C, de A até B. Então, a integral curvelínea de f ao longo de C, de A até B, em relação ao comprimento de arco, se define como: න C f x, y, z ds = lim t 0 n i=1 f x t i, y t i, z t i s i (2)

14 Fazendo-se a substituição da equação (1) na equação (2), reconhece-se o resultado como limite de uma soma de Riemann. Portanto: C f x, y, z ds= a b f x t, y t, z t. x t 2 + y t 2 + [z t ]²dt (3)

15 Assim, pode-se calcular a integral curvelínea C f x, y, z ds expressando-se tudo em termos do parâmetro t, inclusive o elemento simbólico de comprimento de arco: ds = x t 2 + y t 2 + z t 2. dt O resultado do membro direito da equação (3), é uma integral simples em relação a variável t.

16 OBSERVAÇÕES 1) Uma curva C no plano xy pode ser considerada como uma curva no espaço para qual z e z (t) são ambas zero. Em tal caso, suprime-se a variável z na equação 3 e escreve-se: C f x, y ds= a b f x t, y t. x t 2 + y t 2 dt

17 2) No caso especial onde C é um segmento de reta unindo (a,0) a (0,b), tomando x como parâmetro, escrevemos as equações paramétricas de C, assim: x=x, y=0, a x b e න C f x, y ds = න a b f x, 0 dx E neste caso, a integral de linha se reduz a uma integral simples.

18 3. Suponha que C seja uma curva lisa por trechos, ou seja, C é a união de um número finito de curvas lisas C 1, C 2,..., C n. Então definimos a integral de f ao longo de C como a soma das integrais de f ao longo de cada trecho liso de C. න C f x, y ds = න c 1 f x, y ds + + න c n f x, y ds

19 EXEMPLOS 01. Calcule C 2 + x 2 y ds, onde C é a metade superior do círculo unitário x²+y²=1 R: 2π Calcule C 2x ds, onde C é formada pelo arco C 1 da parábola y=x² de (0,0) a (1,1), seguido pelo segmento de reta vertical C 2 de (1,1) a (1,2). R:

20 EXERCÍCIOS 1. Calcule C 1 + xy ds, onde C é a quarta parte superior direita do círculo unitário x²+y²=1 2. Calcule C 3x ds, onde C é formada pelo arco C 1 da parábola y=2x² de (0,0) a (1,1), seguido pelo segmento de reta vertical C 2 de (1,1) a (1,3).

21 Resumindo

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30 No caso especial em que t é um parâmetro de comprimento de arco

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33 Exemplo 5 Calcule C y 2 dx + xdy, onde a) C = C 1 é o segmento de reta de (-5,-3) a (0,2) b) C=C 2 é o arco da parábola x= 4-y² de (-5,-3) a (0,2)

34 Exemplo 6 Calcule C y. sen z ds, onde C é a hélice circular dada pela equação x = cos t, y = sen t, z=t, 0 t 2π

35 Exemplo 7 Calcule C ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C 1 que une (2,0,0) a (3,4,5), seguido pelo segmento de reta C 2 de (3,4,5) a (3,4,0)

36 EXERCÍCIOS 1) Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada: a) C xy 4 ds, C é a metade direita do círculo x²+y²=16 ( b C (xy + ln x) dy, C é o arco da parábola y = x² de (1,1) a (3,9). c) C xy dx + x y dy, C consiste nos segmentos de reta de (0,0) a (2,0) e de (2,0) a (3,2).

37 INTEGRAIS DE LINHA EM RELAÇÃO A X,Y,Z

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45 INTEGRAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL AO LONGO DE UMA CURVA

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