1 [30] A figura ao lado mostra o zoom da discretização de uma função

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1 TT9 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P, 3 mar 22 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 3] A figura ao lado mostra o zoom da discretização de uma função y(x) por pontos, com espaçamento horizontal x: a função muda de sinal, e portanto possui um zero, entre x i e x i. Se aproximarmos a função por um conjunto de segmentos de reta linearmente interpolados entre os pontos, veremos que o zero é dado por x x i + η x, onde < η <. Supondo como na figura que y i > e y i <, mostre que η p + p, p y i /y i. Sugestão: semelhança de triângulos. y i x i ( η) x x i η x y i x x y i y i η x ( η) x, p η η, ( η)p η, p η + ηp, η + p

2 2 3] Considere a função F (x) definida pela integral F (x) e t t dt, x. Obtenha uma série para o cálculo de F (x). Sugestão: expanda e t em série de Taylor em torno de t, etc., e em seguida integre termo a termo. F (x) n n t n t n! dt, n t n t n! dt, n t n n! dt, n t n n! x n n n! dt, x + x x x

3 3 4] Dados 3 vetores b, b 2, b 3, não necessariamente ortonormais, porém LI, segue-se que Defina agora 3 novos vetores: B b b 2 b 3 ] b 3 b b 2 ] b 2 b 3 b ]. b B b 2 b 3 ], b 2 B b 3 b ], b 3 B b b 2 ]. (Os sobre-escritos não significam potências! Eles apenas enumeram os novos vetores.) Prove que b i b j δ i j, onde δ i j é o delta de Kronecker. SUGESTÃO: EVITE NOTAÇÃO INDICIAL: É MAIS FÁCIL FAZER POR ENUMERAÇÃO, TESTANDO CADA UM DOS NOVE CASOS E ARGUMENTANDO COM AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DOS PRO- DUTOS ESCALAR E VETORIAL. etc. b b b B b 2 b 3 ] B (b b 2 b 3 ]) B B ; b b 2 b B b 3 b ] B b b 3 b ] ;

4 TT9 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P, 7 jun 23 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 3] A matriz 2/2 2/2 A] 2/2 2/2 Possui determinante igual a +, e os seguintes autovalores/autovetores (i ): k autovalor autovetor 2/2 i 2/2 (, i, ) 2 2/2 + i 2/2 (, i, ) 3 (,, ) a) ] Qual é o efeito geométrico de A sobre um vetor qualquer x R 3? b) 2] Dado qualquer vetor do R 2 com componentes estritamente reais, w (α, β, ), α, β R, ele sempre pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores e 2 acima: onde c, c 2 C. Obtenha c e c 2 em função de α e β. w c v + c 2 v 2, a) A transformação A gira um vetor x de π/4 radianos em torno de x 3. b) c (, i, ) + c 2 (, i, ) (α, β, ) c + c 2 α, c c 2 β/i, c (α + β/i) 2 (α iβ), 2 c 2 (α β/i) 2 (α + iβ) 2

5 2 35] Na figura ao lado, considere a curva plana cujas equações paramétricas são x(t) 3e t/ cost, y(t) 3e t/ sent, y t. Calcule o seu comprimento total. Observação: t <, mas o comprimento da curva é finito x 3 4 dl dx 2 + dy 2 (dx ) 2 ( ) 2 dy + dt dt dt ( ( 3e t/ sen(t) + )) 2 cos(t) + ( 9e 2t/ sen 2 (t) + 2 sen(t) cos(t) Integrando, ( 9e 2t/ 99 e 2t/ dt 3 e t/ dt. (+3e t/ ( cos(t) sen 2 (t) + cos2 (t) + cos 2 (t) + sin2 (t) l )) 2 ] /2 sen(t) dt + ) ( cos2 (t) + 9e 2t/ cos 2 (t) 2 cos(t) sen(t) )] /2 dt t 3 e t/ dt 3 + )] /2 sin2 (t) dt

6 3 35] Obtenha a solução geral de dy dx + x + y x. y uv, u dv dx + v du dx + x + uv x, ] dv u dx + x + v + v du dx x. Force o termo entre colchetes a ser zero: Substitua no que restou: dv dx + x + v, dv dx x + v, dv v dx x +, ln v ln x + + ln k, v k x +, v ± k x + c x +. c du x + dx x, du x(x + ) dx, c u ( x 3 c 3 + x 2 ) + c 2, 2 y uv ( x 3 x x 2 ) + (c c 2 ) 2 x + ( x 3 x x 2 ) + c 2 x +

7 TT9 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P3, 5 jul 23 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 5] Utilizando obrigatoriamente o método de Frobenius, obtenha a solução geral de x 2 y + xy (/9 + x)y. Portanto, n y y y xy xy x 2 y Vamos consertar o segundo somatório: A EDO fica a n x n+r, n (n + r)a n x n+r, n (n + r )(n + r)a n x n+r 2, n a n x n+r +, n (n + r)a n x n+r, n (n + r )(n + r)a n x n+r. n (n + r )(n + r) + (n + r) /9] a n x n+r a n x n+r +. n (r )(r) + (r) /9] a x n+r + Evidentemente, a equação indicial é m + r n + r +, m n +, n m. (n + r )(n + r) + (n + r) /9] a n x n+r a m x m+r, n m+ {(n + r )(n + r) + (n + r) /9] a n a n } x n+r. n r 2 /9, r ± 3. As raízes são distintas e não diferem por um inteiro: consequentemente, cada uma delas levará a uma solução LI diferente. A relação de recorrência pode ser obtida de: para r ±/3, {(n + r )(n + r) + (n + r) /9] a n a n } x n+r, n (n + r) 2 /9 ] a n a n, As duas soluções são calculadas por a n (n + r) 2 /9 a n.

8 a] : $ 2 b] : $ 3 an] : /((n+/3)^2 -/9) * an-]$ 4 bn] : /((n-/3)^2 -/9) * bn-]$ 5 for n : thru 6 step do ( 6 print ("n ",n," an ", an], " bn ", bn] ) 7 ); E portanto: y x / x x x x 4 + y 2 x /3 + 3x x x x 4 + ] x x , ] x x

9 2 5] Expanda a função complexa f (z) z 3 z 7 em série de Laurent em torno de z 3 na região z 3 < 4. Note que a região é do tipo z 3 /4 < : z 3 z 7 z 3 (z 3) 4 z 3 4 z 3 4 z 3 4 z 3 4 z 3 4 ( ) ( ) z 3 z 3 2 ( ) z ] 4 4 4

10 TT9 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P4, 27 jul 23 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 25] Utilizando a definição de transformada de Laplace, L, obtenha L { t 2}? (ou seja: calcule a integral definidora.) Sugestão: integre por partes. Integrando-se por partes duas vezes (por exemplo) obtém-se t 2 e st dt 2 s 3

11 2 25] Utilizando obrigatoriamente transformada de Laplace, resolva o problema Ou seja: encontre c(x, t). É útil saber que c t + U c x Kt2, c(x, ), c(,t) c. H (t a)f (t a)e st dt e sa f (t a)e s(t a) d(t a) e sa f (τ )e sτ dτ. a Em x, c(, s) c /s; portanto, d dx sc c(x, ) + U dc dx 2K s 3, dc dx + s U c 2K U s 3, c + 2K ] U s 3, c + 2K ] U s 3 + s U c + 2K U s 3 A(s) exp ( sx U ). c s + 2K U s 3 A(s), c(x, s) 2K U s 3 + c s + 2K ] U s 3 exp c(x,t) K U t2 + H ( t x U ) c + K U ( sx ), U ( t x ) 2 ] U

12 3 25] Utilizando obrigatoriamente autovalores e autovetores, resolva o sistema de equações diferenciais ] ] ] d u 3 5 u. dt u u 2 Pares de autovalores, autovetores são: λ 2 f (, ), λ 2 +8 f 2 (, ). Na base dos autovetores, Portanto, d dt v v 2 ] 2 8 ] ] v. v 2 v Ae 2t, v 2 Be +8t. Donde u u 2 ] ] Ae 2t ] + Be +8t

13 4 25] Se δ(x) e H (x) são a delta de Dirac e a função de Heaviside, respectivamente, calcule a integral { H (ξ ) H (ξ )] + δ(ξ 2) } dξ. ξ É preciso saber/lembrar que Então, ξ δ(ξ a) dξ H (ξ a), H (ξ a) dξ (x a)h (x a). { H (ξ ) H (ξ )] + δ(ξ 2) } dξ xh (x) (x )H (x ) + H (x 2)

14 TT9 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR F, 5 ago 23 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 25] Utilizando obrigatoriamente o método de variação de constantes, encontre a solução geral de d 2 y dx 2 + y ex. A equação característica da equação diferencial homogênea associada é A solução da homogênea associada é λ 2 +, λ 2, λ ±i. y h Ae +ix + Be ix A opção pela exponencial complexa é para tornar a álgebra mais fácil devido ao termo não-homogêneo. Tentemos y(x) A(x)e +ix + B(x)e ix, y (x) iae +ix ibe ix + A e +ix + B e ] ix, A e +ix + B e ] ix, y (x) Ae +ix Be ix + ia e +ix ib e ] ix A penúltima equação impede o aparecimento de derivadas de ordem 2 em A ou B. Substituindo: Um sistema de duas EDO s resulta: Reunindo tudo, Ae +ix Be ix + ia e +ix ib e ix ] + Ae +ix + Be ix e x. ia e +ix + ib e ix, ia e +ix ib e ix e x, 2iA e ix e x, da dx 2i e( i)x, A(x) 2 e( i)x e ix + ib e ix, i 2( i) e( i)x + A, db dx 2i e(+i)x, i B(x) 2( + i) e(+i)x + B. i y(x) 2( i) e( i)x e +ix i + 2( + i) e(+i)x e ix + A e +ix + B e ix..., 2 ex + C cos(x) + D sen(x)

15 2 25] Utilizando obrigatoriamente autovalores e autovetores, encontre a solução geral de ] ] ] d u 2 u. dt u 2 2 u 2 Pares de autovalores, autovetores são: λ 3 f (, ), λ 2 f 2 (, ). Na base dos autovetores, Portanto, d dt v v 2 ] 3 ] ] v. v 2 v Ae 3t, v 2 Be t. Donde u u 2 ] ] ] Ae 3t + Be t

16 3 25] Se r(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) parametriza uma superfície S no R 3, e se n é o vetor normal a S em cada ponto, então é verdade que r n ds u r ] dudv. v Portanto, dada uma função vetorial v (x, y, z), I (n v ) ds S Sabendo disso, calcule I S (n v ) ds, onde S é a superfície cilíndrica e v (x, y, z) ( x, y, ). R uv Uma parametrização tão boa quanto qualquer outra é para u, v. Agora, ( r u r ] ) v (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dudv. v y x 2, x, z, x u, y u 2, z v, r (, 2u, ), u r (,, ), v r u r ( 2u,, ), v v (u, v) ( u, u 2, ), r u r ] v 2u( u) u 2 u 2 2u, v I u 2 3 v (u 2 2u) dv du

17 4 25] Usando obrigatoriamente transformada de Laplace, resolva d 2 y dx 2 + y ex, y(), y (). Preciso saber que Então, donde L {y } s 2 y sy() y (), L {e x } s. s 2 y s + y s, (s 2 + )y + (s + ) s s 2 y (s 2 + ) (s ) s 2 s s s, y(x) 2 cos(x) + 2 sen(x) + 2 ex