Provas de. Cálculo II 02/2008. Professor Rudolf R. Maier

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1 Provas de Cálculo II 0/008 Professor Rudolf R. Maier

2 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA Brasília, 5 de setembro de 008. a prova em CALCULO II ) Determinar as retas normais da curva y = + x que passam pela origem. ) Considera-se a área A entre a curva y = x e o eixo Ox para 0 x 4. a) Determinar a medida de A e as coordenadas do centróide x c, y c ). b) Determinar o volume do sólido de rotação, girando-se A b ) em torno da reta y = b ) em torno da reta y = x +. 3) Consideremos a curva y = x x lnx + x ) ) para x 4. a) Determinar o comprimento s desta curva. b) Determinar a superfície S do sólido de rotação, girando-se a curva em torno do eixo Oy. 4) Seja R > 0. Qual é o momento de inércia ΘR) do sólido obtido por rotação da curva y = 4 + x em torno do eixo Ox R x R), supondo sua densidade homogênea ρ = π. Determinar lim R ΘR). 5) Para a > 0 considera-se a função Aa) definida pela integral Aa) = π/3 0 tg x) a cos x dx. Determinar os limites lim Aa), lim Aa) a 0 + a minimiza a função Aa). Calcular Aa 0 ). tal como o valor a = a 0 que 6) Qual é a aproximação quadrática de y = fx) = 5 + x? Calcular 5 33 por aproximação quadrática, observando-se = + Qual é a exatidão obtida? 7) Calcular sen pela aproximação de grau 5 da função fx) = sen x. Quantas casas decimais são garantidas? Obs.: Em 6) e 7) desejam-se resultados da forma... < 5 33 <... e... < sen <

3 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA Brasília, 3 de outubro de 008. a prova em CALCULO II ) Determinar o polinômio de McLaurin de grau n = m da função y = sen x. e o desen- Sugestão : Lembrar a fórmula trigonomêtrica cos x = sen x volvimento de McLaurin de y = cos t. ) Determinar os pontos dos extremos relativos e os pontos de curvatura máxima da curva y = x 3 3x. De qual lado dos extremos relativos encontram-se os pontos de curvatura máxima? Qual é o valor da curvatura máxima? Compare-o com o valor da curvatura nos extremos relativos. Sugestão : Esboçar a curva aproximadamente!) 3) Determinar, em forma paramétrica, a evoluta da curva y = ln x. Estabelecer a equação da circunferência osculatriz para x =. 4) Determinar, em IR 4, o comprimento da curva Xt) = 0t 3, 36t 5/, t 5/, 75t ) para t 5. 5) Sejam os vetores em IR 4 : A =,, 3, 4) e B =,,, 4) e consideremos a reta X = A + tb t IR). a) Qual é a distância da origem a esta reta. b) Determinar os dois pontos da reta que têm distância d = 3 da origem. 6) Determinar a reta tangente, o hiperplano normal e a curvatura κt) da curva em IR 4 no ponto t =. Xt) = t 3t 4, t 3, t 3 + t, t t 5 ) 7) Sejam Xt) = x t), x t),..., x n t) ) e Yt) = y t), y t),...,y n t) ) duas curvas no espaço IR n. Mostrar que, para o produto escalar Xt)Yt) = x t)y t) + x t)y t) x n t)y n t) vale a regra de derivação Xt)Yt) ) = Xt)Y t) + X t)yt).

4 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA Brasília, de novembro de a prova em CALCULO II ) Sejam a, b IR. Transformar em coordenadas Cartesianas e descrever a seguinte curva, dada em coordenadas polares por r = fθ) = a cosθ + b sen θ ) Qual é a área do laço cercado pela curva 0 θ π). r = fθ) = sen 3 θ quando 0 θ π? 3) Consideremos a espiral r = fθ) = θ θ 0). Determinar o comprimento sα) desta curva para 0 θ α como função de α. Calcular s ). Determinar α de tal maneira que sα) = ) Seja 0. Determinar as declividades mθ) das tangentes à elipse r = fθ) = cosθ 0 θ π) em função de θ. Verificar que mθ) independe de. Quais são os pontos das tangentes horizontais? Quais são as tangentes em forma Cartesiana) para θ = π e θ = 3π? 5) Determinar o valor do limite Sugestão: Tem-se L = lim n n 00 0 n + n. n n n 00 0 n + n = n00 n ) n +. E daí? 6) Seja K = 0 9. Dar um exemplo de um número N IN - e justificar a escolha do seu N - que garanta n > K n N. n Observação: Para todo n tem-se n 0 > n. 7) Determinar os dois limites lim n 3 00 n 45 4n n 7 00 n n 6 n e lim n 3 5 n 6 4n n 7 5 n 6 + 6n 6 n.

5 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA Brasília, de dezembro de a prova em CALCULO II ) n n ) Determinar o limite lim + 3. Sugestão: Façam n + = m. n n + Controle seu resultado com o valor numérico obtido para, por exemplo, n = 5. ) Seja α IR tal que α π com Z e seja n IN. Deteminar em dependência de cos α) o limite da série cos α = cos n+ α + cos n+ α + cos n+3 α =n+ Observação: cos α deve ser lido como cosα). 3) Comparando-se a soma parcial s n = n n = 3 da série dx 3, mostrar que vale a estimativa x 3 3 n 3 < s n < 3 3 n. 4) Determinar o limite da série Sugestão : Lembrar que 5) Mostrar: a) A série = =3 = 3 3 = com a integral ln + x) = x x + x3 3 x4 ±..., se x <. 4 cos sen + ) converge absolutamente, enquanto b) a série = ) 0 3 ) 3 converge, porém a convergência não é absoluta. 6) Determinar a função y = fx) cujo desenvolvimento de McLaurin é dado por y = x = x + x 3 + 3x 5 + 4x = Sugestão : Tem-se x + x 3 + 3x 5 + 4x 7... = x + 4x3 + 6x 5 + 8x 7... ). Daí? 7) Determinar os intervalos de convergência da série =0 e! lg x ) onde lg t significa log 0 t).