Lista de Exercícios 1

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1 UFS - PROMAT Disciplina: Geometria Diferencial Professor: Almir Rogério Silva Santos Lista de Exercícios. Seja α : I R 3 uma curva regular. (a) Mostre que α é uma reta se α (t) e α (t) são linearmente dependentes para todo t I. (b) Mostre que α é uma reta se todas as retas tangentes têm um ponto em comum. (c) Estes resultados valem se α não é regular?. Um disco circular de raio no plano xy gira sem escorregar ao longo do eixo Ox, figura.7. A figura descrita por um ponto da circunferência do disco é chamada uma ciclóide (Veja arss/figuras/cicloide). (a) Obtenha uma curva parametrizada α : R R cujo traço seja uma ciclóide e determine seus pontos singulares (pontos da curva com derivada nula). Suponha que α() = (, ). (b) Calcule o comprimento de arco da ciclóide correspondente a uma rotação completa do disco. (c) Calcule a curvatura de α nos seus pontos regulares. 3. Seja OA um diâmetro, de comprimento a, de um círculo S e sejam OY e AV as retas tangestes a S, respectivamente, em O e A. Uma semi-reta r é traçada a partir de O e encontra o círculo S em C e a reta AV em B. Marque na reta OB o segmento Op de maneira que o comprimento de Op seja igual ao de CB. Girando r em torno de O, o ponto p descreve uma curva chamada a cissóide de Diocles. Tomando O como a origem do plano xy, OA como o eixo Ox e OY como o eixo Oy, mostre que

2 (a) O traço de α(t) = ( at + t, at 3 ) + t, t R, é a cissóide de Diocles (t = tan θ, ver figura.8). (b) A origem (, ) é um ponto singular da cissóide. (c) À medida que t, α(t) se aproxima da reta x = a, e α (t) (a, ). Assim, quando t, a curva e a sua tangente se aproximam da reta x = a; dizemos que x = a é uma assíntota da cissóide. 4. Seja α : (, π) R dada por α(t) = (sin t, cos t + log tan t ), onde t é o ângulo que o vetor α (t) faz com o eixo Oy. O traço de α é chamado de tractriz (Figura.9). Mostre que (a) α é uma curva diferenciável parametrizada, regular exceto em t = π. (b) O comprimento do segmento da tangente da tractriz entre o ponto de tangência e o eixo Oy é constante e igual a. 5. Seja α(t) = (ae bt cos t, ae bt sin t), t R, a > e b < constantes, uma curva parametrizada.

3 (a) Mostre que quando t +, α(t) aproxima-se da origem, espiralando-se em torno dela (por causa disto, o traço de α é chamada a espiral logarítmica, ver figura abaixo). (b) Mostre que α (t) (, ) quando t + e que t lim t + t α (t) dt é finito; isto é, α tem comprimento de arco finito em [t, ). 6. Da origem de R trace uma reta passando por qualquer ponto P do círculo de raio a centrado em (, a). Seja Q o ponto de interseção desta reta com a reta y = a. O ponto de interseção da reta vertical passando por Q com a reta horizontal passando por P é um ponto pertencente a curva chamada de Curva de Agnesi. Seja t o ângulo entre o eixo vertical e a reta passando por (, ), P e Q. Mostre que a curva de Agnesi é parametrizada por α(t) = (a tan t, a cos t). 7. Considere a curva α(t) = ( ) cos t, sin t, cos t, para t π. Identifique a curva. Calcule α (t), α (t) e L(α). 8. A involuta de um curva regular α : I R 3 é definida como I(t) = α(t) s(t) α (t) α (t). Mostre que a involuta de uma hélice é uma curva plana. 9. Seja α : I R uma curva p.c.a. Mostre que, a menos do sinal, a curvatura de α é dada por dθ ds, onde θ é o ângulo entre o vetor tangente T e e = (, ). 3

4 . Considere a curva α(t) = ( ( + s) 3 3, ( s) 3 3, ) s, para < s <. Mostre que α =. Calcule a curvatura e a torçao. O que você pode dizer sobre esta curva?. Mostre que uma curva α(s) é está contida em um círculo se, e somente se, κ > é constante e τ =.. (Taxa de variação do comprimento de arco) Seja α(s) uma curva p.c.a., com [a, b]. Considere um vetor v(s) tal que v(s), α (s) = para todo s. Considere para ε > suficientemente pequeno a curva β ε (s) = α(s) + εv(s). Se mostre que dl β (ε) dε Observe que se v(s) = N(s), então L β (ε) = b a = ε= L () = β ε(s) ds, b a b a κ N, v(s) ds. κ(s)ds 3. Seja κ(s) uma função diferenciável. Defina uma curva β por ( s ) β(s) = cos θ(u)du, sin θ(u)du, onde θ(u) = u κ(t)dt Mostre que a curvatura de β(s) é κ(s). Dica: Mostre que β (s) = e calcule T β. 4. Seja α uma curva plana regular com evoluta E(t). Mostre que a involuta de E é a curva α. 5. Considere a aplicação α() = (t,, e t ), t > (t, e t, ), t < (,, ), t = (a) Prove que α é uma curva diferenciável. (b) Prove que α é regular para todo t e que a curvatura k(t), para t, t ± 3, e k() =. (c) Mostre que o limite dos planos osculadores quando t, t >, é o plano y = mas que o limite dos planos osculadores quando t, t <, é o plano z = (isto mostra que o vetor normal é descontínuo em t = e mostra porque excluímos pontos onde k = ). 4

5 (d) Mostre que, mesmo sem ser α uma curva plana, pode-se definir τ de forma que τ. 6. Suponha que τ(s) e k (s) para todo s I. Mostre que uma condição necessária e suficiente para que α(i) esteja contida em uma esfera é que R + (R ) T = constante, onde R = k, T = τ, e R é a derivada de R em relação a s. Dica: Ver [dc]. 7. A esfera de raio R em R 3, S R é o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 tais que x +y +z = R. Seja α : [a, b] R 3 uma curva p.c.a. tal que sua imagem esteja contida em S R. Seja k a curvatura de α. Mostre que k R. Dica: Note que α(s) = R para todo s [a, b]. 8. Seja α uma curva regular p.c.a. em R 3. O plano osculador de α no instante s é o plano contendo o ponto α(s) gerado pleos vetores velocidade T (s) e normal N(s). Suponha que exista um ponto fixo p em R 3 tal que p pertença ao plano osculador a α no instante s, para todo s (ou seja,) p pertença a todos os planos osculadores de α). Mostre que α é uma curva plana. 9. Seja α : [a, b] R 3 uma curva regular, não necessariamente p.c.a. Sejam k(t) a curvatura de α e τ(t) sua torção, t [a, b]. Mostre que para t [a, b]. k(t) = α (t) α (t) α (t) 3 e τ(t) = α (t) α (t), α (t) α (t) α (t). Suponha que todas as normais a uma curva parametrizada passem por um ponto fixo. Mostre que o traço da curva está contido em um círculo. Dica: Ver [dc].. (a) Sejam A, B constantes, com A >. Encontre uma curva p.c.a. α : R R 3 com curvatura k A e torção τ B (Considere cada um dos casos B >, B < e B = ). (b) Mostre que uma curva regular α : [a, b] R 3 com curvatura k > é plana se e somente sua torção é identicamente nula.. Mostre que a curvatura é invariante por isometrias. Isto é, mostre que se α : [a, b] R 3 é uma curva regular com curvatura k α e f : R 3 R 3 é uma isometria, então β(t) := f(α(t)) é uma curva regular com curvatura k β (t) = k α (t), t [a, b]. Sugestão: Uma transformação linear ortogonal preserva o produto interno. Use o problema Mostre que a torsão é invariante por isometrias, a menos de um sinal. 5

6 4. Mostre que o conhecimento da função vetorial b = b(s) (vetor binormal) de uma curva α, de torção não nula em toda parte, determina a curvatura k(s) e o valor absoluto da torção τ(s) de α. Dica: Ver [dc]. 5. Determine todas as curvas regulares p.c.a. tais que o seu vetor binormal é dado por B(s) = s,, + s + s e tais que passam pelo ponto (,, ) quando s =. Sugestão: Use as equações de Frenet. d Dica: dx (sinh )(x) =. + x 6. Seja k : (a, b) R uma função diferenciável. Seja t (a, b). Sejam x e v em R. Mostre que existe uma, e uma única curva regular α : (a, b) R tal que α(t ) = x, α (t ) = v e k é a curvatura de α. Exiba a curva no caso em que x = (, ), v = (, ) e k(t) =, t (, ). t 7. Mostre que o conhecimento da função vetorial n = n(s) (vetor normal) de uma curva α, de torção não nula em toda parte, determina a curvatura k(s) e a torção τ(s) de α. Dica: Ver [dc]. 8. Mostre que a curvatura k(s) de uma curva parametrizada regular α : I R 3 é a curvatura em t da curva plana π α, onde π é a projeção ortogonal sobre o plano osculador em t. Dica: Ver [dc]. 9. O concóide de Nicomedes em coordenadas polares é r = a cos θ + c, a, c, π θ π. Esboce e encontre uma representação em coordenadas retangulares. 3. Seja κ(s) uma função diferenciável. Defina uma curva β por ( β(s) = cos θ(u)du, s ) sin θ(u)du, onde θ(u) = u κ(t)dt Mostre que a curvatura de β(s) é κ(s). Dica: Mostre que β (s) = e calcule T β. [dc] do CARMO, M. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. SBM. 6