Geometria Diferencial

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1 Geometria Diferencial Exercícios sobre curvas planas e espaciais Versão compilada no dia 20 de Setembro de Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas de Geometria Diferencial para as nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e não espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Sugiro que o leitor pesquise na Internet para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: Todo aquele que vai além do ensino de Cristo e não permanece nele, não tem a Deus; quem permanece neste ensino, esse tem tanto ao Pai como ao Filho. Se alguém vem ter convosco, e não traz este ensino, não o recebais em casa, nem tampouco o saudeis. A Bíblia Sagrada, I João 1:9-10

2 Seção 1 Curvas no plano e no espaço 1 1 Curvas no plano e no espaço 1. Plotar as curvas parametrizadas: (a) f(t) = (at + b, ct + d) (b) f(t) = (cos t, sin t) (c) f(t) = (t 3, t 2 ) (d) f(t) = (cos t, 1) 2. Exibir a forma impĺıcita para a curva parametrizada (a) f(t) = (2t, 3t 1) (b) f(t) = (cos t, sin t) (c) f(t) = (cos(t 2 ), sin(t 2 )) (d) f(t) = (t 3, t 2 ) 3. Mostrar que a curva f(t) = (2 cos t 1)(cos t, sin t) com t R não é uma curva simples. 4. Reparametrizar a curva (a) f(t) = (t, 2t) pelo parâmetro t = 3u + 4 (b) f(t) = (cos(t), sin(t)) pelo parâmetro t = u (c) f(t) = (cos(2t), sin(2t)) pelo comprimento de arco s (d) f(t) = (t, 2t) pelo comprimento de arco s 5. Calcular a velocidade v = v(t) e a aceleração a = a(t) em um ponto genérico f(t) para a curva (a) f(t) = (3t, 4t) (b) f(t) = (cos t, sin t ) (c) f(t) = (cos(2t), sin(2t)) (d) f(t) = (t, 2t) 6. Seja a curva parametrizada f(t) = (2 cos t 1)(cos t, sin t). Plotar esta curva e mostrar que existem p, q R distintos com f(p) = f(q) de modo que a velocidade v(p) é diferente da velocidade v(q). 7. Exibir uma parametrização para a curva definida implicitamente por (a) x 2 + y 2 = 3 2 (b) x 2 + y 2 = 0 (c) x2 a 2 + y2 b 2 = 1 (d) x2 a y2 2 b = 1 2 (e) x 2 y = 0 (f) x 2 y 2 = 0

3 Seção 1 Curvas no plano e no espaço 2 8. Determinar as retas tangente e normal à curva f(t) = (4 cos t, 3 sin t) no ponto P = f(0) = (4, 0). 9. Analisar se as curvas parametrizadas indicadas são curvas regulares. (a) f(t) = (t 2, t 3 ) (b) f(t) = (t, t ) (c) f(t) = (cos t, sin t) (d) f(t) = (cos t, 1) 10. Calcular o comprimento do arco da curva parametrizada (a) f(t) = (at + b, ct + d) entre t = 0 e t = 10 (b) f(t) = r(sin t, cos t) entre t = 0 e t = 2π (c) f(t) = (a cos t, b sin t) entre t = 0 e t = 2π (d) f(t) = (a cosh(t), b sinh(t)) entre t = 0 e t = 1 (e) f(t) = r(t sin t, 1 cos t) entre t = 0 e t = 2π 11. Seja uma curva f(t) = (x(t), y(t)) que pode ser reparametrizada em coordenadas polares de tal modo que x(t) = r cos(θ(t)) e y(t) = r sin(θ(t)) onde r = r(t) > 0 é a medida do raio-vetor f(t) e θ = θ(t) é o ângulo formado entre o raio-vetor f(t) e o eixo OX. Em geral, uma tal curva é indicada em coordenadas polares apenas por r = r(t) e θ = θ(t). O comprimento do arco desta curva entre t = e t = t 1, é dado por t1 t1 (dr ) 2 ( ) 2 dθ s(t) = f (t) = + r 2 (t) ] Com esta fórmula, podemos obter o comprimento do arco da espiral entre t = 0 e t = 4π, parametrizada em coordenadas polares por r(t) = e bt, θ(t) = at, sendo a 0, b 0, t R. Dica: Como dr = b ebt e dθ = a, então t1 t1 (dr ) 2 ( ) 2 dθ l = f (t) = + r 2 (t) ] t1 = (be bt ) 2 + (e bt ) 2 (a) 2 = t1 a 2 + b 2 e bt a2 + b = 2 [e bt 1 e b ] b

4 Seção 1 Curvas no plano e no espaço Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva (a) f(t) = e t (cos t, sin t) (b) f(t) = r(cos(2t), sin(2t)) (c) f(t) = (at + b, ct + d) (d) f(t) = (t, 2t) 13. Considerando a > 0, b > 0, r > 0, calcular a curvatura da curva (a) f(t) = (a cos t, b sin t) k(t) = ab[a 2 sin 2 (t) + b 2 cos 2 (t)] 3/2 (b) f(t) = r(t sin t, 1 cos t) k(t) = [8r(1 cos t)] 1/2 (c) f(t) = e t (cos t, sin t) k(t) = e t 2/2 (d) f(t) = (t, t 3 ) k(t) = 6t(1 + 9t 4 ) 3/2 14. Estudar o procedimento para obter o centro de curvatura e o raio de curvatura de uma curva plana parametrizada por f = f(t). 15. Dada a hélice parametrizada por f(t) = (a cos t, a sin t, bt) com a > 0, determinar as projeções desta curva sobre os planos z = 0, x = 0 e y = Estudar a interpretação e o papel geométrico de: (a) vetor de Darboux (b) curvatura de uma curva plana (c) curvatura de uma curva espacial (d) torção de uma curva espacial 17. Descrever o papel das equações de Frenet na Geometria Diferencial. 18. Mostrar que a curva parametrizada por f(t) = 1 t (t2, 1 + t 2, 1 t 2 ) sendo t > 0 é uma curva plana. 19. Obter as equações intrínsecas da curva f(t) = (t, a cosh(t/a), 0). Dica: τ = 0 pois esta é uma curva plana. f (t) = (1, sinh(t/a), 0), f (t) = (0, (1/a) cosh(t/a), 0), f (t) f (t) =... e f (t) = cosh(t/a) k(t) = s = t 0 f (u) du = a sinh(t/a) 1 a cosh 2 (t/a) = 1 a cosh 2 (t/a) = 1 a(1 + sinh 2 (t/a)) = a s 2 + a 2

5 Seção 1 Curvas no plano e no espaço Obter as equações intrínsecas da hélice f(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t). Dica: f (t) = ( 3 sin(t), 3 cos(t), 4), f (t) = ( 3 cos(t), 3 sin(t), 0), f (t) f (t) = (12 sin(t), 12 cos(t), 9), f (t) f (t) = 13, f (t) = 5, B(t) = (12 sin(t), 12 cos(t), 9)/13, s = t du = 5t e k(t) = 125. B (t) = 12 (cos(t), sin(t), 0) 13 T (t) = 3 ( sin(t), cos(t), 4/3) 5 T (t) = 3 (cos(t), sin(t), 0) 5 N(t) = (cos(t), sin(t), 0) τ = B N = 12 (cos(t), sin(t), 0) (cos(t), sin(t), 0) = O Teorema fundamental das curvas planas afirma que, se k = k(s) é uma função do parâmetro comprimento de arco s, existe pelo menos uma curva plana parametrizada f = f(s) tendo a curvatura k = k(s). Para obter f = f(s) (a menos de translação), tomamos φ = φ(s) como o ângulo entre cada vetor tangente T = T (s) e o eixo OX e a definição de curvatura: dφ ds = k(s) Depois, substituímos em f(s) = ( cos(φ(s)) ds, sin(φ(s)) ds) Calculando s = s(φ), então ds = dφ k(s) = f(s) = ( 1 cos(φ(t)) dφ, dφ k(s(φ)) = dφ 1 sin(φ(t)) dφ) e segue que Seguindo os passos acima, obter a curva f = f(s) tal que k(s) = 1 2as. Dica: Tomar dφ ds = k(s) = 1. Integrar com relação a s para obter 2as 2s φ = a ou seja s = a 2 φ2, isto é, = 1 aφ, logo 1 = aφ, para

6 Seção 1 Curvas no plano e no espaço 5 obter: f(s) = ( aφ cos(φ(t)) dφ, aφ sin(φ(t)) dφ) = a [cos(φ) + φ sin(φ), sin(φ) φ cos(φ)] 22. O que é a evoluta de uma curva plana parametrizada f = f(s)? Mostrar que a evoluta de f = f(s) é dada por g(s) = f(s) + 1 k(s) N(s). Mostrar que a evoluta de f(s) = (cos(s), sin(s), 0) é g(s) = (0, 0, 0). Dica: f (s) = ( sin(s), cos(s), 0) e f (s) = 1, assim T (s) = f (s) e N(s) = T (s) = ( cos(s), sin(s), 0) e além disso f (s) f (s) = ( sin(s), cos(s), 0) ( cos(s), sin(s), 0) = (0, 0, 1) para garantir que k = k(s) = 1 e escrever g(s) = (cos(s), sin(s), 0) + ( cos(s), sin(s), 0) = (0, 0, 0)