MAT0326 Geometria Diferencial I

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1 MAT6 Geometria Diferencial I Primeira Prova /9/ Soluções Questão Valor:. = pontos). a. Mostre que cos arctanx) ) =. + x b. Determine uma curva plana α : R R, parametrizada por comprimento de arco, tal que κ α s) = + s e α) =, ). Solução. a. Como arctanx) π, π ) temos que sec arctanx) ) > e então cos arctanx) ) = sec arctanx) ) = + tan arctanx) ) =. + x b. Lembremos que se κs) >, s I é uma função dada então toda curva parametrizada por comprimento de arco, α : I R, que tem κs) como curvatura é dada por s s ) αs) = a + cos θt) dt, b + sin θt) dt, onde θt) = t κs) ds + φ. As constantes a, b e φ determinam a posição da curva no plano. Podemos escolher φ = e então Assim, αs) = θt) = Do item anterior temos que cos arctant) ) = αs) = s a + t κs) ds = arctant). s a + cos arctant) ) s dt, b + sin arctant) ) ) dt. + t dt, b + s Como α) =, ), devemos ter a = e b =. + t e disto concluímos que sin arctant) ) = ) t dt = a + lns + + s ), b + ) + s. + t t + t. Logo Os extremos de integração levam em conta o fato de que I

2 Questão Valor:. = pontos). Seja α : I R uma curva regular. Podemos definir seu triedro de Frenet, sua curvatura e sua torsão em termos da reparamentrização de α pelo seu comprimento de arco como se segue. Sejam st) o comprimento de arco de αt) e βs) = α ts) ) a reparamentrização de α por comprimento de arco. Definimos então que T α t) = T β s), N α t) = N β s), B α t) = B β s) e κ α t) = κ β s), α t) = β s). Seja α : R R a curva dada por αt) = cosh t, sinh t, t). a. Mostre que α é regular e calcule seu comprimento de arco. b. Determine os vetores tangente, normal e binormal de α, bem como sua curvatura e torsão. Solução. a. Temos que α t) = sinh t, cosh t, ) e portanto, para todo t R, α t). Logo α é uma curva regular. Calculando explicitamente temos α t) = cosht), donde t t st) = α t) dt = cosht) dt = sinht). b. Qualquer que seja a parametrização da curva temos Tt) = α t) α t) = tanh t,, sech t). Lembrando que a curvatura de uma curva regular é κt) = α t) α t) α t) e α t) = cosh t, sinh t, ) temos sinh t, cosh t, ) κt) = cosh = t cosh t. De B = T N e das equações de Frenet segue-se que T = κn Nt) = sech t,, tanh t) B = T N Bt) = tanh t,, sech t) e B t) = sech t sech t,, tanh t) B = N t) = B, N = cosh t.

3 Questão Valor:. = pontos). Seja α : I R uma curva regular cujas curvatura e torsão nunca se anulam e sejam T, N e B seus vetores tangente, normal e binormal, respectivamente. a. Mostre que N N, N κ ) N = κ ), onde κ e são a curvatura e a torsão de α, respectivamente. + b. Conclua que α é uma hélice se e somente se o conjunto {N, N, N } é linearmente dependente. Solução. a. Das equações de Frenet temos.) N N = N κt B) = κb T. Derivando N obtemos.) N = κt B) = κ T + κt + B + B ) = kappa T κ + )N B. De.) e.) e de {T, N, B} ser base ortonormal segue-se que N N, N = κ + κ. Além disso temos que N = κ +. Logo, N N, N N = κ + κ κ +κ κ ) κ + = κ ) = + κ ). + b. Uma curva é uma hélice se e somente se κ é contante. Segue-se do item anterior que isso ocorre se e somente se N N, N =, ou seja se e somente se os vetores N, N e N são linearmente dependentes.

4 4 Questão 4 Valor:. =. +. pontos). Seja α : I R uma curva regular cujas curvatura e torsão nunca se anulam. a. Suponha que a imagem de α está contida numa esfera centrada na origem. Mostre que ) ).) κ + =. κ Dica. Escreva α = ζt + ηn + θb. b. Mostre agora que se.) é satisfeita pelas curvatura e torsão de uma curva α então a imagem de α está contida em alguma esfera. Dica. Usando os valores de ζ, η e θ obtidos acima, mostre que a curva α ζt + ηn + θb) é constante e portanto um fortíssimo candidato a centro da esfera procurada. Solução. a. Podemos supor incialmente que α está paramentrizada por comprimento de arco e como, por hipótese, a curva tem seu traço contido numa esfera centrada na origem temos que αt) = r, donde α, α =. Como o triedro de Frenet em cada t I é uma base ortonormal para R podemos escrever αt) = ζt)tt) + ηt)nt) + θt)bt). Omitindo t, derivando e usando as equações de Frenet temos.4) α = ζ T + ζt + η N + ηn + θ B + θb = ζ ηκ)t + ζκ + η + θ)n + η + theta )B. Como α, α = temos que αt) [ Nt), Bt) ], donde ζ. Além disso, α, N = α, B = e portanto as coordenadas em.4) satisfazem η + θ = η + θ = ηκ =, onde a última equação segue do fato que α = T, pois α é parametrizada por comprimento de arco. Assim temos que η = κ e θ = η = ). Isto substituído na segunda equaçao do sistema acima dá κ κ + ) ) =. κ b. Reciprocamente, considere a curva β = α + ) κ N ) B, onde κ e são as curvatura e torsão de α, κ enquanto N e B são os vetores normal e binormal de α. Cálculo diretos usando o triedro de Frenet mostram que ) ) ) β = α ) ) T + N κ κ κ + ) B =. κ Isto mostra que, para todo t I, βt) = P R é ponto. Finalmente ) α P = κ N ) B = [ κ κ + ) ] κ = R, uma constante. Segue-se então que o traço de α está contido na esfera de centro P e raio R.

5 5 Questão 5 Valor:. pontos). Seja S ) a esfera unitária centrada na origem de R e sejam α e β curvas regulares dadas pela interseção de S ) com x = y e de S ) com y =, respectivamente. a. Parametrize as curvas α e β. b. Calcule o comprimento do arco ligando os pontos, ), e, ), tanto pela curva α quanto por β. c. Determine o ângulo que os vetores normais de α e β fazem com o vetor normal a S ). Solução. a. A curva α é dada pela interseção das superfícies x + y + z = e y = z. Disto temos que x + z = e portanto xt) = cos t e zt) = sin t. Logo, αt) = cos t, cos t ), sin t, t [, π]. A curva β é dada pela interseção das superfícies x + y + z = e y =, ou seja, x + z = 4 e portanto xt) = cos t e zt) = sin t. Logo, βt) = cos t, ), sin t, t [, π]. b. A curva α é um círculo de centro,, ) e raio, logo o seu comprimento de arco entre os pontos, ), e,, ), que produzem um arco de ângulo π, é π. Analogamente, a curva β é um círculo de centro,, ) e raio. Logo o comprimento de arco de β entre os pontos, ), e, ), é arccos, pois o ângulo entre os segmentos que ligam os pontos dados ao centro de β é arccos. c. Um vetor normal unitário à esfera unitária em cada ponto, Np), pode ser o próprio vetor posição, ou seja Np) = p. Para a curva α temos α = sin t, sin t ), cos t α = cos t, cos t ), sin t = α Sendo N α o vetor normal unitário à curva α, temos que α = λn α, já que α = e α é uma curva plana. Como o vetor normal à esfera no ponto αt) é αt) temos que N α, Nα) ) = α, α) = π. Para a curva beta temos β = β = ) sin t,, cos t ) cos t,, sin t Como antes, indicando por N β o vetor normal à curva β temos que β = λn β, pois β = uma curva plana. Deste modo, o ângulo θ entre N β e Nbeta) satisfaz cos θ = N β, Nβ) N β Nβ) = /4 = / θ = 5π 6. e β também é Na sua solução você poderia ter escolhido o vetor oposto e a resposta obtida difere da aqui apresentada por π.

6 6 Questão 6 Valor:. pontos). Seja S = { x, y, z) R : z = y x }. Para cada θ [, π] seja α θ a curva dada pela interseção de S com o plano que contém o eixo Oz e faz ângulo θ com o eixo Ox. a. Parametrize a curva α θ. b. Determine κ αθ a curvatura de α θ ). c. Determine os valores de θ para os quais κ αθ é máximo e mínimo no ponto,, ). Dica. A curvatura de uma curva regular qualquer em R é dada por κ = α α α. Solução. a. Para cada θ [, π] o plano em questão é dado pela equação cos θx + sin θy =, ou y = cot θx, se θ =, π e x =, se θ =, π. Deste modo a curva dada pela interseção da superfície z = y x com um desses planos pode ser parametrizada, para t R, por { t, cot θt, cot θ)t ), se θ =, π α θ t) =, t, t ), se θ =, π. b. Seguindo a sugestão dada no enunciado, os ingredientes para o cálculo da curvatura de α θ são Assim, { { α, cot θ, cot θ = θ)t), se θ =, π,, cot,, t), se θ =, π e α θ = θ)), se θ =, π,, ), se θ =, π. cot θ +cot θ κ αθ t) = +cot θ+4 cot θ) t ), se θ =, π, se θ =, π. +4t ) c. O ponto,, ) corresponde a t = em cada α θ. Queremos encontrar extremos da função κ αθ ) : [, π] R dada por κ αθ ) = { cot θ +cot θ = cosθ), se θ =, π, se θ =, π. Claramente o valor máximo de κ θ ) é atingido quando θ =, π, π, onde κ θ) = e é mínimo quanto θ = π 4, π 4, onde κ θ) =. Observação.. Note que aqui estamos considerando a curvatura sem sinal das curvas planas α θ. Seria interessante e de grande utilidade para os próximos tópicos do curso estudar esse tipo de problema considerando a curvatura com sinal.