1.3 Comprimento de arco

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1 0 CAPÍTULO. CURVAS NO E ENOE 3.3 Comprimento de arco Seja γ :[a, b] V uma curva não necessariamente regular. Consideremos P ([a, b]) o conjunto de todas as partições de [a, b]. Uma partição P = a = t 0 <t <...<t = b ª P ([a, b]) determina uma sequência de pontos γ t0,γ t,γ t,..., γ tn, no traço de γ que definem uma poligonal com comprimento dado por S (P ) = kγ (t i ) γ (t i )k. Observamos que se P,P P ([a, b]) e P éumrefinamento de P então S (P ) S (P ). Definição.8 Nas condições anteriores, dizemos que γ éuma curva retificável quando oconjunto {S (P ):P P ([a, b])} é limitado superiormente. Neste caso definimos o comprimento da curva γ como sendo onúmero L =sup{s (P ):P P ([a, b])}. Exemplo.9 Provemos que a curva γ (t) =(t, t ), 0 t, éretificável.

2 .3. COMPRIMENTO DE ARCO Seja P = 0=t 0 <t <... < t = ª P ([a, b]), temos S (P ) = kγ (t i ) γ (t i )k = t i t i,t i ti = h (t i t i ) + i t i t i ti t i + t i t i t i t i ( + t i + t i ) 3 t i t i =3. Logo para qualquer P P ([a, b]) temos S (P ) 3 eportantoγ éretificável. Exemplo.30 Seja γ (t) =(x (t),y(t)), onde x (t) =t se t [0, ] e y (t) = ( t cos, se t (0, ] t 0, se t =0. Graficamente temos y x Para cada n N, consideremos P = ½ 0, (n ) π, (n ) π, (n 3) π,..., π, ¾ π,,

3 CAPÍTULO. CURVAS NO E ENOE 3 S (P ) cos (n ) π (n ) π + (n ) π cos (n ) π cos (n ) π (n ) π + (n 3) π cos (n 3) π cos (n ) π (n ) π cos + + cos π π n jπ cos jπ cos (j +)π (j +)π j= n ( ) j = jπ ( )j+ (j +)π j= n π j +. j= Comoasérie é uma série divergente, segue desta desigualdade que o conjunto j + j= {S (P ):P P ([a, b])} não é limitado superiormente. Portanto a curva não é retificável. Proposição.3 Se γ :[a, b] V é uma curva regular então γ éretificável. Prova. Seja {e,e } uma base ortonormal de V e Consideremos γ (t) =x (t) e + y (t) e. P = a = t 0 <t <... < t = b ª P ([a, b]). S (P ) [ x (t i ) x (t i ) + y (t i ) y (t i ) ]. (.) Como γ é regular, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em cada sub-intervalo [t i,t i ], obtendo a existência de ξ i,η i (t i,t i ) tais que x (t i ) x (t i )=x 0 (ξ i )(t i t i ), e y (t i ) y (t i )=y 0 (η i )(t i t i ). (.3) Usando o resultado de (.3) em (.)obtemos S (P ) [ x 0 (ξ i ) + y 0 (η i ) ](t i t i ). Mas x 0 e y 0 são limitadas em [a, b], logo da última desigualdade segue S (P ) k (t i t i )=k(b a), onde k =max[ x 0 (ξ i ) + y 0 (η i ) ]. Isto mostra que γ éretificável. [a,b]

4 .3. COMPRIMENTO DE ARCO 3 Proposição.3 Se γ :[a, b] V é uma curva regular então o comprimento de arco de γ é dado por L = kγ 0 (t)k dt. a Prova. Consideremos {e,e } uma base ortonormal de V e γ (t) =x (t) e + y (t) e. Seja ε>0. Da definição de integral segue a existência de δ > 0 tal que para toda P P ([a, b]) com P <δ, existem θ i (t i,t i ) tais que kγ 0 (t)k dt kγ 0 (θ i )k (t i t i ) <ε. (.4) a Da Proposição.3 temos γ retificável e logo existe P P ([a, b]) tal que L =sup{s (P ):P P ([a, b])}, S (P ) L <ε. (.5) Como x 0 e y 0 são uniformemente contínuas em [a, b], existe δ > 0 tal que para todos s, t [a, b] com s t <δ temos x 0 (s) x 0 (t) <ε e y 0 (s) y 0 (t) <ε. (.6) Seja P um refinamento de P com P < min {δ,δ }. De (.5) segue S (P ) L <ε. (.7) Pelo Teorema do Valor Médio, existem ξ i,η i (t i,t i ) tais que S (P ) n(p ) S (P )= n(p ) kx 0 (ξ i ) e + y 0 (η i ) e k (t i t i ). n(p ) kγ 0 (θ i )k (t i t i ) [ x 0 (ξ i ) x 0 (θ i ) + y 0 (η i ) y 0 (θ i ) ](t i t i ). Como ξ i,η i,θ i (t i,t i ) e P <δ, segue de (.6) que x 0 (ξ i ) x 0 (θ i ) <ε e y 0 (η i ) y 0 (θ i ) <ε. Assim n(p ) S (P ) kγ 0 (θ i )k (t i t i ) < ε (b a). (.8)

5 4 CAPÍTULO. CURVAS NO E ENOE 3 Como P <δ, segue de (.4)que kγ 0 (t)k dt a n(p ) kγ 0 (θ i )k (t i t i ) <ε. (.9) L R b a n(p ) kγ0 (t)k dt S (P ) L + S (P ) kγ 0 (θ i )k (t i t i ) n(p R ) + b a kγ0 (t)k dt kγ 0 (θ i )k (t i t i ), logo de (.7), (.8) e (.9) que L kγ 0 (t)k dt < ( + (b a)) ε, e pela arbitrariedade de ε obtemos a igualdade desejada. a Nota.33 DevemosprovarqueonúmeroobtidonaProposição.3, L = a kγ 0 (t)k dt, independe da parametrização considerada. Para isso consideremos as parametrizações regulares γ :[a, b] V e γ :[c, d] V com γ (ξ) =γ (g (ξ)), onde g :[c, d] [a, b] é uma aplicação mudança de parâmetro regular.. Suponhamos g 0 (ξ) > 0. Neste caso g é estritamente crescente, logo g (c) = a e g (d) =b. : Z d ξ=c kγ 0 (ξ)k dξ = Z d ξ=c fazendo a mudança de variável t = g (ξ) segue Z d ξ=c como queríamos. kγ 0 (ξ)k dξ =. O caso g 0 (ξ) < 0 éanálogo. Z g(d) t=g(c) g 0 (ξ) kγ 0 (g (ξ))k dξ, kγ 0 (t)k dt = t=a kγ 0 (t)k dt,

6 .3. COMPRIMENTO DE ARCO 5 Exemplo.34 Determinemos o comprimento de arco de γ :[0, ] R onde γ (t) = (t, ln (cos t)). µ Logo L = Z 0 γ 0 (t) = Exemplo.35 Seja γ (t) = de arco de γ. γ 0 (t) =, sen t cos t e kγ 0 (t)k = cos t. dt cos t =ln tan t +sect t=0 =ln tan + sec. µt, 3 t3 t, 0 t. Determinemos o comprimento µ t, t e kγ 0 (t)k =t +, logo L = Z 0 t + dt = 9 3.

7 6 CAPÍTULO. CURVAS NO E ENOE 3.4 Reparametrização pelo comprimento de arco Seja γ :[a, b] V uma curva regular. Definimos a função comprimento de arco por w :[a, b] [0,L],w(t) = Z t σ=a kγ 0 (σ)k dσ. (.0) Como w 0 (t) =kγ 0 (t)k, (.) segue que w C ([a, b]), é injetiva e sobrejetiva. Consideremos a aplicação inversa g = w :[0,L] [a, b],s= w (t) 7 t = w (s) =g (s). Pelo Teorema da Função Inversa segue que g C ([0,L]) e g 0 (s) = d w (s) = ds w 0 (g (s)) = kγ 0 (g (s))k. (.) Definição.36 Nas condições anteriores consideramos a reparametrização :[0,L] V, (s) =γ (g (s)), que é denominada reparametrização pelo comprimento de arco (rpca) de γ. Exemplo.37 Seja γ (t) =(cos3t, sen 3t), 0 t π/. Determinemos a rpca de γ. γ 0 (t) =( 3sen3t, 3cos3t) e kγ 0 (t)k =3, logo A aplicação inversa é earpcaédadapor Observemos que w (t) = Z t 0 3 dσ =3t, w (0) = 0 e w (π/) = 3π/. g = w :[0, 3π/] [0,π/],g(s) =s/3, :[0, 3π/] R,(s) =γ (g (s)) = (cos s, sen s). 0 (s) =( sen s, cos s) e k 0 (s)k =, s [0, 3π/].

8 .4. REPARAMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO 7 Exemplo.38 Determinemos a rpca de γ (t) =(e t cos t, e t sen t), 0 t<. γ 0 (t) =e t (cos t sen t, sen t +cost) e kγ 0 (t)k = e t, logo Z t w (t) = e σ dσ = e t,w(0) = 0 e lim w (t) =. 0 t Assim a aplicação inversa é à g = w s +! :[0, ) [0, ), g(s) =ln, earpcaédadapor :[0, ) R,onde à s + à à s + (s) =γ (g (s)) =!Ãcos!! à à s +!!! ln, sen ln. Observamos que também neste exemplo se tem k 0 (s)k =, s [0, ). Proposição.39 Se γ :[a, b] V éumacurvaregulare :[0,L] V a reparametrização pelo comprimento de arco de γ, então Prova. Da definição temos k 0 (s)k =, s [0,L]. (s) =γ w (s), onde w é como em (.0). Pelo Teorema da função composta temos 0 (s) = d ds w (s) d dt γ w (s). Por (.) segue 0 (s) = kγ 0 (w (s))k γ0 w (s), de onde se conclui a igualdade desejada. Definição.40 Uma parametrização regular γ :[a, b] V tal que kγ 0 (t)k =, para todo t [a, b], é chamada parametrização natural.

9 8 CAPÍTULO. CURVAS NO E ENOE 3.5 Curvatura e referencial de Frenet Definição.4 Seja γ :[a, b] V uma curva regular e :[0,L] V sua parametrização pelo comprimento de arco, (s) =(x (s),x (s)).. Definimos o vetor tangente unitário à em s como sendo o vetor T (s) = 0 (s) = d ds (s).. Se C ([0,L]) definimos a curvatura de em s por k (s) =kt 0 (s)k = k 00 (s)k. 3. Nos pontos onde k (s) 6= 0, definimos o vetor normal unitário à em s como sendo o vetor N (s) = k (s) T 0 (s). Nota.4 Sejam γ e como na Definição.4. Os vetores T (s) e N (s) são ortogonais pois assim, derivando com respeito à s segue =kt (s)k = ht (s),t (s)i, s [0,L], 0=hT 0 (s),t (s)i, s [0,L].. Nos pontos em que k (s) 6= 0, está bem definido um sistema de coordenadas cartesianas ortonormal { s,t (s),n(s)}, chamado referencial de Frenet. 3. Da Definição.4 segue que T 0 (s) =k (s) N (s). (.3) 4. Se édeclasse 3 e k (s) 6= 0, s [0,L], podemos escrever N 0 (s) =α (s) T (s)+β (s) N (s), onde α (s) =hn 0 (s),t (s)i e β (s) =hn 0 (s),n(s)i.

10 .5. CURVATURA E REFERENCIAL DE FRENET 9 Como kn (s)k =, s [0,L], obtemos β (s) =hn 0 (s),n(s)i =0. Como hn (s),t (s)i =0, s [0,L], obtemos α (s) =hn 0 (s),t (s)i = hn (s),t 0 (s)i = k (s). Concluimos, então, que N 0 (s) = k (s) T (s). (.4) As equações em (.3) e (.4) são denominadas Equações de Frenet para curvas no E. 5. Se édeclasse, k(s) medeoquantoacurvaseafastadaretatangenteno instante s. Vejamos isso: k (s) = d ds T (s) T (s + 4s) T (s) = lim 4s 0 4s sin4θ/ = lim 4s 0 4s 4θ sin 4θ/ = lim 4s 0 4s 4θ/ = d ds θ (s). Exemplo.43 Seja γ :[0,π/] R onde γ (t) =(cos3t, sen 3t). Determinemos os vetores tangente e normal à γ. Vimos que a reparametrização pelo comprimento de arco é :[0, 3π/] R onde (s) =(coss, sen s).

11 0 CAPÍTULO. CURVAS NO E ENOE 3 Logo T (s) = d (s) =( sen s, cos s), ds d ds T (s) =( cos s, sen s), k (s) = d ds T (s) =, N (s) = d T (s) =( cos s, sen s). k (s) ds Nota.44 Os vetores T (s) e N (s) foram definidos a partir de uma reparametrização pelo comprimento de arco. Muitas vezes é difícil encontrar essa reparametrização. Vejamos como evitar essa dificuldade com o exemplo abaixo. Exemplo.45 Seja γ :[, ) R, onde µ t γ (t) =, t3. 3 Se (s) é a reparametrização pelo comprimento de arco de γ então Logo No nosso caso temos logo Assim eportanto (s) =γ (g (s)), onde g (s) =w (s),w(t) = T (s) = d ds T (s) Z t T (s) = d ds (s) = d ds (g (s)) d γ (g (s)). dt γ 0 (t) = t, t, e w 0 (t) =kγ 0 (t)k = t +t, t +t t, t = kγ 0 (σ)k dσ. (,t), onde t = g (s). +t = d d dt (,t) +t µ ds g (s) = t t +t +t, t +t t +t +t = t ( + t ( t, ). ) k (s) = d ds T (s) = t ( + t ), 3/ N (s) = ( t, ). ( + t / )