SMA 5878 Análise Funcional II

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1 SMA 5878 Análise Funcional II Alexandre Nolasco de Carvalho Departamento de Matemática Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo 16 de Março de 2017

2 Objetivos da Disciplina Comentários Pré-requisitos Conteúdo da disciplina Bibliografia Objetivos da Disciplina O objetivo desta disciplina é, dado um operador linear L, Encontrar subespaços invariantes por L de modo que, nestes espaços, L tenha uma representação mais simples (diagonalização ou, mais geralmente, a forma canônica de Jordan em dimensão finita), Desenvolver o cálculo operacional para determinar quando o problema ẋ = Lx é localmente bem colocado (dar sentido para e Lt e estudar suas propriedades) ou (equivalentemente) para determinar para quais escalares λ é possível resolver o problema (λi L)x = f (encontrar x como função de f ) e estabelecer propriedades da sua solução,

3 Objetivos da Disciplina Comentários Pré-requisitos Conteúdo da disciplina Bibliografia Compreender as situações em que uma separação do espectro induz uma dicotomia no comportamento das soluções de ẋ = Lx (teoremas da aplicação espectral estabilidade ou mais geralmente hiperbolicidade).

4 Objetivos da Disciplina Comentários Pré-requisitos Conteúdo da disciplina Bibliografia Comentários Estas questões são bem conhecidas dos alunos de graduação que cursaram alguma disciplina sobre sistemas lineares de equações diferenciais autônomas. No entanto, em dimensão infinita elas ganham novos contornos e surpreendentes características novas. Um fato marcante é a impossiblidade de, em geral, caracterizar (em espaços de dimensão infinita) a estabilidade de soluções de ẋ = Lx pela posição do espectro de L e o estudo das situações em que esta caracterização é possível.

5 Objetivos da Disciplina Comentários Pré-requisitos Conteúdo da disciplina Bibliografia Um outro importante aspecto é o conjunto de restrições que precisam ser impostas a L para que o problema ẋ = Lx seja bem colocado. Exemplos importantes de equações em que o operador L está definido em um espaço de dimensão infinita são as EDP s evolutivas lineares e as EDF s lineares.

6 Objetivos da Disciplina Comentários Pré-requisitos Conteúdo da disciplina Bibliografia Pré-requisitos Vamos utilizar fortemente, nesta primeira aula, alguns resultados de análise funcional elementar e de análise complexa tais como: O Teorema de Hahn-Banach ou suas conseqüências, O Princípio da Limitação uniforme, A noção de convergência fraca, O Teorema de Cauchy e as fórmulas integrais de Cauchy, As expansões de Taylor e de Laurent e O Teorema do Máximo Módulo

7 Objetivos da Disciplina Comentários Pré-requisitos Conteúdo da disciplina Bibliografia Análise Funcional II - Conteúdo da disciplina Análise Espectral de Operadores Lineares Semigrupos e Seus Geradores Potências Fracionárias Teoremas de Aproximação Teoremas Espectrais e Dicotomias Teoremas de Perturbação de Geradores

8 Objetivos da Disciplina Comentários Pré-requisitos Conteúdo da disciplina Bibliografia Bibliografia Notas de Aula: Disponível online no endereço A. E. Taylor & D. C. Lay, Introduction to functional analysis, John-Wiley & Sons, New York, A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New York, T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, 1995, Reprint of the 1980 edition. K. Yosida, Functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1995.

9 Capítulo 1

10 Neste capítulo estudaremos a extensão da noção de analiticidade para funções definidas em um aberto de um plano complexo e tomando valores em um espaço de Banach complexo e da noção de integrabilidade (Riemann-Stieltjes) para funções contínuas. Algumas propriedades importantes das funções anaĺıticas vetoriais são também exploradas para uso no estudo de propriedades espectrais de operadores lineares.

11 Sejam X, Y espaços de Banach sobre um corpo K (K = R ou K = C) e L(X, Y ) o espaço dos operadores lineares e contínuos de X em Y com a norma T L(X,Y ) = sup Tx Y. x X x X =1 Em particular, se Y = K escrevemos X := L(X, K) para denotar o espaço dual de X e L(X ) para denotar L(X, X ).

12 Se X é um espaço de Banach, r > 0 e x X, a bola aberta (fechada) de centro em x e raio r em X é denotada por B X r (x) (B X r (x)) ou simplesmente por B r (x) (B r (x)) quando estiver claro qual é o espaço de Banach envolvido.

13 Se Ω C é um conjunto aberto e X é um espaço de Banach sobre C, diremos que uma função f : Ω X é anaĺıtica em Ω se, para cada λ 0 Ω existe o limite f (λ) f (λ 0 ) lim. λ λ 0 λ λ 0 O valor deste limite, denotado por f (λ 0 ), é chamado derivada de f em λ 0.

14 Observe que, se f : Ω X é anaĺıtica e x X, então h := x f : Ω C é anaĺıtica e h (λ 0 ) = x (f (λ 0 )). Surpreendentemente (já que, em geral, convergência fraca não implica convergência forte), a recíproca também é verdadeira.

15 Teorema Seja X um espaço de Banach sobre C, Ω um subconjunto aberto de C e f : Ω X uma função tal que x f : Ω C é anaĺıtica para todo x X. Então f : Ω X é anaĺıtica. Prova: Seja λ 0 Ω. Como X é completo, é suficiente provar que para cada λ 0 Ω, a expressão f (λ) f (λ 0 ) λ λ 0 f (µ) f (λ 0) µ λ 0 tende a zero quando λ e µ tendem a λ 0.

16 Escolha r > 0 tal que o B C r (λ 0 ) Ω e denote por γ fronteira de B C r (λ 0 ) orientada no sentido anti-horário. Para cada x X a função x f : B C r (λ 0 ) C é contínua e portanto limitada. Do Princípio da Limitação Uniforme, existe uma constante M > 0 tal que f (ξ) X M, ξ B C r (λ 0 ). (1)

17 Agora, se x X e λ, µ B C r (λ 0 ). Pela fórmula integral de 2 Cauchy, se ζ B C r (λ 0 ), temos 2 x (f (ζ)) = 1 2πi γ x (f (ξ)) dξ. (2) ξ ζ Utilizando 2 para ζ igual a λ, µ e λ 0, obtemos [ f (λ) f x (λ0 ) f (µ) f (λ ] 0) = 1 (λ µ) x (f (ξ)) dξ. (3) λ λ 0 µ λ 0 2πi (ξ λ)(ξ µ)(ξ λ 0 ) γ

18 Nossa escolha de λ e µ assegura que λ ξ r 2 e µ ξ r 2. Disto e de (1), segue de (3) que [ f (λ) f x (λ0 ) f (µ) f (λ ] 0) 4r 2 M x X λ µ. λ λ 0 µ λ 0 Logo, f (λ) f (λ 0) f (µ) f (λ 0) = sup λ λ 0 µ λ 0 Isto conclui a demonstração. x X x =1 [ f (λ) f x (λ0 ) f (µ) f (λ ] 0) λ λ 0 µ λ 0 4r 2 M λ µ.

19 A seguir, consideramos funções definidas em subconjuntos abertos de C com valores no espaço dos operadores lineares e contínuos entre dois espaços de Banach. Teorema Sejam X, Y, espaços de Banach sobre C e Ω um subconjunto aberto de C. Se T : Ω L(X, Y ), as seguintes afirmativas são equivalentes: (a) Para cada x X e y Y, a função Ω λ y (T (λ)x) C é anaĺıtica. (b) Para cada x X, a função Ω λ T (λ)x Y é anaĺıtica. (c) A função Ω λ T (λ) L(X, Y ) é anaĺıtica.

20 Prova: A prova de (a) (b) segue diretamente do Teorema 1, a prova de (b) (c) é análoga à prova do Teorema 1 e a prova de (c) (a) é imediata. Estes teoremas permitem que uma parte significativa da teoria de funções de variáveis complexas possa ser transferida para funções com valores vetoriais sem muito esforço adicional.

21 Dados a, b R com a < b, uma partição P do intervalo [a, b] é uma coleção de pontos {t 0, t 1,, t np }, n P N := N\{0}, tal que a = t 0 < t 1 < < t np = b. A malha P de uma partição P : a = t 0 < t 1 < < t np = b é o comprimento do maior dos sub-intervalos determinados por ela; isto é, P = max{t i t i 1 : 1 i n P }.

22 Definição Uma curva é uma função contínua γ : [a, b] C. Se γ : [a, b] C é diferenciável e γ : [a, b] C é contínua, diremos que γ é uma curva suave. Uma curva γ : [a, b] C é dita suave por partes se existe uma partição P : a = t 0 < t 1 < < t np = b do intervalo [a, b] tal que γ i : [t i 1, t i ] C dada por γ i (t) = γ(t), t [t i 1, t i ], é suave i = 1,, n P. Uma curva γ : [a, b] C é uma poligonal se existe uma partição P : a = t 0 < t 1 < < t np = b do intervalo [a, b] tal que γ(t)= γ(t i 1)(t i t)+γ(t i )(t t i 1 ), t [t i 1, t i ], 1 i n P. t i t i 1

23 Uma curva γ : [a, b] C é de variação limitada se existe uma constante M 0 tal que, para toda partição P : a = t 0 < t 1 < < t np = b do intervalo [a, b] v(γ, P) := n P γ(t i ) γ(t i 1 ) M. Se γ : [a, b] C é de variação limitada, a variação de γ é definita por V (γ) := sup{v(γ, P) : P é uma partição de [a, b]}.

24 Quando for importante especificar o intervalo de definição da curva γ escreveremos V (γ, [a, b]) para denotar a variação da curva γ : [a, b] C. Exercício Se γ : [a, b] C for de variação limitada V (γ, [a, b]) então γ : [a, b] C definida por γ (t) = V (γ, [a, t]) será de variação limitada e V (γ, [a, b]) = V ( γ, [a, b]).

25 Proposição Sejam γ, σ : [a, b] C curvas de variação limitada. (a) Se P, Q são partições de [a, b] com P Q, então v(γ, P) v(γ, Q). (b) Se α, β C, então αγ + βσ : [a, b] C definida por (αγ + βσ)(t) = αγ(t) + βσ(t), t [a, b] é de variação limitada e V (αγ + βσ) α V (γ) + β V (σ). Prova: Exercício.

26 Proposição Se γ : [a, b] C é suave por partes, então γ é de variação limitada e V (γ) = b a γ (t) dt. Prova: Faremos apenas a prova para o caso em que γ é suave. O caso geral é deixado como exercício para o leitor.

27 Note que, para toda partição P : a = t 0 < t 1 < < t np intervalo [a, b], temos que = b do v(γ, P) = n P n P ti γ(t i ) γ(t i 1 ) = t i 1 γ (t) dt = n P b a ti γ (t)dt t i 1 γ (t) dt.

28 Consequentemente V (γ) b a γ (t) dt. Como γ : [a, b] C é uniformemente contínua, dado ɛ > 0, existe δ 1 > 0 tal que, para todo t, s [a, b] com t s < δ 1, temos que γ (t) γ (s) < ɛ 2(b a). Seja δ 2 > 0 tal que, para toda partição P :a=t 0 <t 1 < <t np =b com malha P =max{t i t i 1 :1 i n P }<δ 2, temos que b n P γ (t) dt γ (τ i ) (t i t i 1 ) < ɛ 2, τ i [t i 1, t i ]. a

29 Logo, se P < min{δ 1, δ 2 }, b γ (t) dt ɛ n P a 2 + γ (τ i ) (t i t i 1 ) = ɛ n P 2 + ti γ (τ i )dt t i 1 ɛ n P 2 + ti np ti γ (t)dt t i 1 + [γ (τ i ) γ (t)]dt t i 1 ɛ + n P γ(t i ) γ(t i 1 ) ɛ + V (γ).

30 Como ɛ > 0 é arbitrário, segue que e a prova está completa. b a γ (t) dt V (γ)

31 Definição Seja γ : [a, b] C uma curva. Diremos que γ é retificável se γ for de variação limitada, diremos que γ é fechada se γ(a) = γ(b) e diremos γ é simples se γ : [a, b) C for injetiva.

32 Observação O conjunto {γ} = {γ(t) : t [a, b]} é chamado traço da curva γ : [a, b] C. Se γ : [a, b] C é uma curva simples de variação limitada, a sua variação V (γ) é comprimento de {γ}. O resultado anterior nos diz que, a noção usual de comprimento para o traço de uma curva simples suave por partes γ : [a, b] C é estendida pela noção de variação às curvas de variação limitada.

33 Integral de Riemann-Stieltjes Teorema Seja X um espaço de Banach sobre K, γ : [a, b] K uma curva retificável e f : [a, b] X uma função contínua. Então, existe um vetor I em X com a seguinte propriedade: Dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que, se P : a = t 0 < t 1 < < t np = b é uma partição de [a, b] com P < δ, então np I f (τ i )[γ(t i ) γ(t i 1 )] < ɛ, (4) X para qualquer escolha de τ i [t i 1, t i ], 1 i n p. Este vetor I é denotado por b a fdγ.

34 Prova: Seja {δ m } uma seqüência estritamente decrescente em (0, ) com a seguinte propriedade: se t, s [a, b] e t s < δ m, então f (t) f (s) X < 1 m, m N. Para m N defina P m = {partições de [a, b] com malha P < δ m }. Defina ainda { np } F m = f (τ i )(γ(t i ) γ(t i 1 ) : P P m e τ i [t i 1, t i ]. Claramente P 1 P 2 P 3 e F 1 F 2 F 2.

35 Suponha que diam(f m ) 2 mv (γ) e seja I o único vetor em m 1 F m. Dado ɛ > 0 escolha m > 2 ɛ V (γ). Como I F m, se tomamos P P m, temos que np I f (τ i )(γ(t i ) γ(t i 1 )) diam(f m ) 2 V (γ) < ɛ, m X para cada escolha de τ i [t i 1, t i ], 1 i n P. Assim, dado ɛ > 0, escolhendo m > 2 ɛ V (γ) e δ = δ m temos que, se P : a = t 0 < t 1 < < t np = b é uma partição de [a, b] com P < δ, então (4) vale. Para concluir a prova, basta mostrar que diam(f m ) 2 m V (γ).

36 Primeiramente mostremos que, se P P m e P Q, então onde e S(P) = S(Q) = n P n Q S(P) S(Q) X < 1 V (γ) (5) m f (τ i )(γ(t i ) γ(t i 1 )), τ i [t i 1, t i ] f (σ i )(γ(s i ) γ(s i 1 )), σ i [s i 1, s i ]. O vetor S(P) é chamado uma soma de Riemann-Stieltjes associada à partição P.

37 Se P : a=t 0 <t 1 < <t np =b e Q : a=t 0 < <t p 1 <t <t p < <t np =b, temos que S(Q) := = n P i p S(P) := = n P i p n Q f (σ i )(γ(s i ) γ(s i 1 )) f (σ i )(γ(t i ) γ(t i 1 ))+f (σ)[γ(t ) γ(t p 1 )]+f (σ )[γ(t p ) γ(t )] n P f (τ i )(γ(t i ) γ(t i 1 )) f (τ i )(γ(t i ) γ(t i 1 ))+f (τ p )[γ(t ) γ(t p 1 )]+f (τ p )[γ(t p ) γ(t )]

38 e S(Q) S(P) X n Q 1 m γ(s i) γ(s i 1 ) = 1 m v(γ, Q) 1 m V (γ). Isto prova (5) para P P m e Q = P {t }. O caso geral em que P Q é deixado como exercício. Se P e Q são duas partições quaisquer em P m, então S(Q) S(P) X S(Q) S(P Q) X + S(P Q) S(P) X 2 m V (γ). Isto conclui a prova da estimativa diam(f m ) 2 mv (γ) e completa a prova do teorema.

39 Exercício Se f, g : [a, b] X são funções contínuas e γ, σ : [a, b] K são curvas retificáveis, mostre que: b b b (a) (αf + βg) dγ = α f dγ + β g dγ, (b) (c) (d) a b a b a b a f d(αγ + βσ) = α f dγ = k f dγ X ti t i 1 b a a b a f dγ + β a b a f dσ, f dγ, a = t 0 < t 1 < < t k = b. f X d γ