11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos Tangentes

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1 11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos Tangentes Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br

2 Estudos Anteriores Derivadas parciais: Taxa de variação de uma função em relação a uma variável. Ou seja, se u = i = 1, 0, então D i f = f x, e se u = j = 0, 1, então D j f = f y. Regra da Cadeia: Se f(x, y) é diferenciável, então a taxa com que f varia em relação a t ao longo de uma curva diferenciável x = g(t), y = h(t) é: df dx = df dx dx dt + df dy dy dt. Assim, num ponto P 0 qualquer, isto é, P 0 (g(t 0 ), h(t 0 )), a equação acima nos dá a variação de f em relação à t. Objetivo: Obter uma forma de derivação em uma direção qualquer dada por um versor u.

3 Suposições: Derivada Direcional no Plano f(x, y) uma função definida numa região R do plano xy. P 0 (x 0, y 0 ) um ponto de R. u = u 1 i + u 2 j um versor. x = x 0 + su 1 e y = y 0 + su 2 são equações que parametrizam a reta que passa por P 0 paralelamente a u. s é o comprimento de arco de P 0 na direção u. Assim, a taxa de variação de f em P 0 na direção u calculando df/ds será: Definição: A derivada direcional de f em P 0 (x 0, y 0 ) na direção do versor u = u 1 i + u 1 j é o número: ( ) df f(x 0 + su 1, y 0 + su 2 ) f(x 0, y 0 ) = lim ds s 0 u,p 0 s desde que o limite exista. Notação: (D u f) P0 A derivada de f em P 0 na direção u.

4 Derivada Direcional no Plano Graficamente Taxa de variação de f na direção u no ponto P 0 ao longo dessa reta. Coeficiente angular da curva C em P 0 é (D u f) P0.

5 Derivada Direcional no Plano Cálculos Cálculo: Considere as retas: x = x 0 + su 1 e y = y 0 + su 2 (1) passando por P 0 (x 0, y 0 ), parametrizada pelo comprimento de arco s, na direção u = u 1 i + u 2 j. Se f for diferenciável em P 0, temos: ( df ds ) u,p 0 = = = ( ) ( ) df dx df dx P 0 ds + dy Regra da Cadeia dy P 0 ds ( ) ( ) df df u 1 + u 2 Derivando (1) dx P 0 dy P [( ) ( ) 0 ] df df i + j [u 1 i + u 2 j] dx P 0 dy P 0 Gradiente de f em P 0 Direção u

6 Derivada Direcional no Plano Definição e Teorema Definição: O vetor gradiente (gradiente) de f(x, y) no ponto P 0 (x 0, y 0 ) é o vetor: f = df dx i + df dy j obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0. Teorema: Se f(x, y) for diferenciável em P 0 (x 0, y 0 ), então: ( ) df = ( f) ds P0 u u,p 0 o produto escalar do gradiente de f em P 0 e u. Exemplo (1): Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x 2 y 3 4y no ponto (2, 1) na direção do vetor v = 2i + 5j.

7 Derivada Direcional no Plano Propriedades Propriedades: Sabemos que: D u f = f u = f u cos θ = f cos θ onde θ é o ângulo entre os vetores f e u (0 θ 2π). D u f = f cos θ concluímos que: Então, se 1. f aumenta mais rapidamente quando cos θ = 1 θ = 0, isto é, quando f e u têm o mesmo sentido e direção (D u f = f ). 2. f diminui mais rapidamente quando cos θ = 1 θ = π, isto é, f e u têm a mesma direção e sentido contrário (D u f = f ). 3. Se u é ortogonal a f então D u f = f cos(π/2) = 0, isto é, é uma direção de variação nula. Exemplo (2): (a) Se f(x, y) = x e y, determine a taxa de variação de f no ponto P (2, 0) na direção de P a Q( 1, 2). (b) Em que direção f tem a 2 máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?

8 Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de Nível Suposição: f(x, y) = c ao longo da curva r = g(t)i + h(t)j (curva de nível de f). Então f(g(t), h(t)) = c. Fazendo: ( f x i + f ) y j d f(g(t), h(t)) = d dt dt c df dg dx dt + df dh = 0 dy dt ( dg dt i + dh ) dt j = 0 f dr dt = 0 Portanto: f é normal às curvas de nível.

9 Reta Tangente Idéia: São retas normais aos gradientes. Então a reta que passa pelo ponto (x 0, y 0 ) e normal ao vetor N = Ai + Bj tem a seguinte equação: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 Se N = f(x 0, y 0 ) então a equação será: f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0 Exemplo (3): Encontre uma equação para a tangente de x 2 y = 1 no ponto ( 2, 1).

10 Propriedades Algebricas do Vetor Gradiente 1. (kf) = k f 2. (f + g) = f + g 3. (f g) = f g 4. (fg) = f g + g f ( ) f g f f g 5. = g g 2 Incremento e Distância R: df = f (P 0 )ds (derivada ordinária incremento). R 2 : df = ( f P0 u) ds (derivada direcional incremento). Estimando a variação de f em uma direção u: Para estimar a variação do valor de f quando nos movemos ds a partir de P 0 em uma direção específica u, usamos: df = ( f P0 u) ds derivada direcional incremento de distância Exemplo (4): Em cerca de quanto variará f(x, y, z) = e x cos yz quando o ponto P (x, y, z) se deslocar da origem uma distância ds = 0.1 unidades na direção de 3i + 6j 2k?

11 f(x, y, z) diferenciável. u = u 1 i + u 2 j + u 3 k um versor. f = df dx i + df dy j + df dz k. Funções de Três Variáveis D u f = f u = f x u 1 + f y u 2 + f z u 3. D u f = f u = f u cos θ = f cos θ

12 Planos Tangentes e Retas Normais que passa por P 0 e é normal à f(p 0 ). f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 )+ f z (P 0 )(z z 0 ) = 0 Definição: O plano tangente no ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) na superfície de nível f(x, y, z) = c é o plano A reta normal à superfície em P 0 é a reta que passa por P 0 e tem f(p 0 ) como vetor direção. x = x + f x (P 0 )t y = y + f y (P 0 )t z = z + f z (P 0 )t

13 Plano Tangente a uma Superfície z = f(x, y) Idéia: Plano tangente no ponto P 0 (x 0 y 0, z 0 ) onde z 0 = f(x 0, y 0 ). Podemos escrever z = f(x, y) f(x, y) z = 0. Assim temos uma superfície de nível para a função F (x, y, z) = f(x, y) z. Então podemos obter o plano tangente à superfície no ponto P 0 da seguinte forma: F x = x (f(x, y) z) = f x 0 = f x F y = y (f(x, y) z) = f y 0 = f y F z = (f(x, y) z) = 0 1 z = 1 A fórmula F x (P 0 )(x x 0 ) + F y (P 0 )(y y 0 ) + F z (P 0 )(z z 0 ) = 0 para o plano tangente à superfície de nível em P 0, portanto, se reduz a f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (z z 0 ) = 0

14 Exemplo Exemplo (5): Encontre o plano tangente à superfície z = x cos y y e x no ponto (0, 0). Exercícios Propostos: George B. Thomas Volume 2 Páginas 303 à 306; Exercícios: 1 à 63.