Capítulo 5 Derivadas Parciais e Direcionais

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1 Capítulo 5 Derivadas Parciais e Direcionais 1. Conceitos Sabe-se que dois problemas estão relacionados com derivadas: Problema I: Taxas de variação da função. Problema II: Coeficiente angular de reta tangente. Seja uma função a uma variável. A taxa de variação instantânea de em relação a quando e o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto, onde são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite: Este limite recebe a terminologia especial de DERIVADA. Sejam uma função à duas variáveis independentes, e e um ponto sobre o gráfico de onde é um ponto do domínio da função e. Desejamos resolver os dois problemas relacionados com derivadas: taxa de variação da função quando e e coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto Sendo uma função à duas variáveis surgem as questões: Deseja-se calcular taxa de variação da função em relação a qual direção de variação do ponto do domínio? Há infinitas retas em que tangenciam a superfície no ponto. Qual a direção da reta que se deseja calcular o coeficiente angular? Cálculo II- 1

2 Inicialmente, vamos estudar as taxas de variação da função apenas em relação às variáveis independentes e. Estas taxas recebem a terminologia de DERIVADAS PARCIAIS. Notações: O gráfico de uma função de duas variáveis é, em geral uma superfície em. Considere: um ponto sobre o gráfico da função; uma curva obtida pela interseção da superfície com o plano e uma curva obtida pela interseção da superfície com o plano. A curva é uma curva plana contida no plano, paralelo ao plano, e satisfaz às condições: { Assim, a curva forma: representa o gráfico de uma função de uma variável na Se o valor da variável é mantido constante e igual a, então a variação da função se dá apenas em relação à variação da variável independente. Nestas condições há apenas uma reta contida no plano que tangencia a superfície no ponto Cálculo II- 2

3 A taxa de variação instantânea da função na direção de, quando e e o coeficiente angular da reta contida no plano e tangente ao gráfico no ponto são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite: que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A. Analogamente, a curva está contida num plano paralelo ao plano no qual todos os pontos têm coordenadas Esta curva representa o gráfico de uma função do tipo. A variação da função se dá apenas em relação à variação da variável independente e há apenas uma reta contida no plano que tangencia a superfície no ponto Se a taxa de variação instantânea de em relação a quando e o coeficiente angular da reta contida no plano e tangente ao gráfico da função no ponto são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite: que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A. 2. Definição: Derivadas parciais de funções a n variáveis Seja uma função a n variáveis e um ponto do ao domínio de, então a derivada parcial de em relação j-ésima variável é a função definida por: ) Se o limite existir. Observe que no cálculo das derivadas parciais todas as variáveis independentes, exceto a variável em relação a qual se deseja calcular a derivada parcial, são consideradas constantes. Porém, a função derivada depende dos valores a elas atribuídos. Assim a derivada parcial de uma função a variáveis também é uma função a variáveis. Cálculo II- 3

4 3. Revisão de Derivadas de Funções a uma Variável Derivada da Função Potência combinada com a Regra da Cadeia Derivada da Função Exponencial combinada com a Regra da Cadeia Derivada da Função Logarítmica Combinada com a Regra da Cadeia Derivada da Função Seno Combinada com a Regra da Cadeia ( ) Derivada da Função Co-Seno Combinada com a Regra da Cadeia ( ) Cálculo II- 4

5 4. Técnicas para o cálculo das derivadas parciais As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas válidas para as funções ordinárias (funções a uma variável), exceto que todas as variáveis independentes, que não aquela em relação a qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas temporariamente como constantes. 1) Derivada de uma constante é zero ) ) 2) Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas das funções ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo II- 5

6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4) Derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a derivada da segunda multiplicada pela primeira ) ( ) [ ( ) ] [ ] ( ) 5) Derivada da divisão de duas funções é a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denominador menos a derivada da função do denominador multiplicada pela função do numerador, dividido pela função do denominador ao quadrado Cálculo II- 6

7 ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ] [ ] [ ( ) ] [ ] 6) Transcrição direta da regra da cadeia ( ) a) b) c) [ ] [ ] [ ] Cálculo II- 7

8 Exemplos: 1) Se, encontre e 2) Se, encontre, 3) Se, encontre, 4) Se, encontre ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ] ( ) ( ) Cálculo II- 8

9 5) A pressão, o volume e a temperatura de 1 mol de gás ideal estão relacionados pela equação: a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura quando o volume do gás for de e a temperatura de. Quando o volume do gás confinado é de 150 se a temperatura aumentar de. e a temperatura é de a pressão aumentará de b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume, quando o volume for de 150 e a temperatura de. Quando o volume do gás confinado é de 150 se o volume do gás aumentar de. e a temperatura é de, a pressão diminuirá de c) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão, quando o gás a temperatura de 400 K está sujeito a uma pressão 100 O volume de um gás, a 400 K sujeito a uma pressão de 100 0,332 litros para cada 1 de aumento de pressão., diminui de Cálculo II- 9

10 6) Encontre as equações das retas tangente às curvas de interseção entre a superfície e os planos e no ponto. a) Interseção entre a superfície e o plano : A equação da curva formada pela interseção do plano superfície é: com a A curva de interseção é uma parábola no plano. A reta tangente a esta parábola no ponto ) está, então, contida no plano e sua equação é dada na forma: O coeficiente angular da reta tangente é o valor de quando e. Equação da reta: b) Interseção entre a superfície e o plano A curva formada pela interseção do plano com a superfície é a parábola no plano. O coeficiente angular da reta tangente a esta parábola no ponto (1,2,8) é o valor de quando e. A reta tangente está contida no plano Equação da reta: e sua equação é da forma 7) Encontre a equação da reta contida no plano e tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de com o plano no ponto (2,2,8). a) Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano b) Equação da reta: Cálculo II- 10

11 5. Derivadas de ordem superior Se é uma função a duas variáveis, as suas derivadas parciais também são funções a duas variáveis. Assim podemos considerar as derivadas que são chamadas derivadas parciais de segunda ordem da função f. Se, temos as notações A notação significa que primeiro diferenciamos em relação a e depois em relação a A notação significa que primeiro diferenciamos em relação a e depois em relação a. De forma análoga, podemos definir derivadas parciais de terceira ordem, quarta ordem e assim por diante, por exemplo: [ ] Igualdade das derivadas parciais mistas de segunda ordem Em termos gerais, se as derivadas de primeira ordem de uma função existirem e forem contínuas, a ordem na qual sucessivas derivadas parciais são tomadas quando forem derivadas de ordem superior é irrelevante (Teorema de Clairaut). Exemplos Cálculo II- 11

12 Exemplos: 1) Calcule as derivadas de segunda ordem da função: 2) Calcule onde ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 3) Seja, calcule: ( ) ( ) Cálculo II- 12

13 6. Primeira Regra da Cadeia Suponha que seja uma função a duas variáveis e que sejam funções a uma outra variável, ou seja,. Então, pois ( ). Assim, a derivada de em relação à variável é: Generalização da Primeira Regra da Cadeia Se é uma função a variáveis, ou seja, e cada uma dessas variáveis é, por sua vez, função de uma variável, então e Exemplos: Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas indicadas: ) ( ) ( ) Cálculo II- 13

14 ) ( ) ) ( ) 4) A pressão, o volume e a temperatura de 1 mol de gás ideal estão relacionados pela equação:. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, quando a temperatura é de e está aumentando numa taxa de e o volume é de e está aumentando numa taxa de Cálculo II- 14

15 A temperatura é e está aumentando na taxa: O volume é e está aumentando na taxa: Para A pressão decresce de aproximadamente de a cada 1 segundo. 5) A voltagem de um circuito elétrico diminui com o tempo numa taxa de devido ao desgaste da bateria enquanto a resistência aumenta numa taxa de devido ao aquecimento do resistor. Use a lei de Ohm para encontrar a taxa de variação da corrente em relação ao tempo, no instante em que e Quando A corrente decai de 0, a cada segundo. Cálculo II- 15

16 7. Segunda Regra da Cadeia Suponha que com e. Então, pois ( ). Assim, possui derivadas parciais em relação a e em relação a dadas por: Generalização da Segunda Regra da Cadeia Se é uma função a variáveis, ou seja, e cada uma dessas variáveis é, por sua vez, função a outras variáveis, ou seja,. Então e Exemplos: Utilize a regra da cadeira para determinar as derivadas indicadas: ) Cálculo II- 16

17 ) ( ) ) Cálculo II- 17

18 8. Diferencial Sejam uma função derivável a uma variável, uma variação na variável independente e a variação da função, devido à variação. Onde e. O diferencial de, denotado por, é o valor da variação da variável independente. O diferencial de, denotado por, representa a variação da ordenada da reta tangente ao gráfico da função no ponto ( ) devido à variação. A variação pode ser vista como uma aproximação linear para. O valor estará mais próximo do valor real da variação da função quanto menor for a variação da variável independente. Podemos dizer que se for bem pequeno, tem-se. Assim, a aproximação linear da função em é dada por: Cálculo II- 18

19 Sejam uma função a duas variáveis, e as variações nas direções e, respectivamente, e a variação da função devido aos incrementos e Onde, e. ( ) ) O diferencial de, denotado por é o valor da variação. O diferencial de, denotado por é o valor da variação O diferencial de, denotado por, também chamado de diferencial total, representa a variação da cota do plano tangente ao gráfico da função no ponto quando e y sofrem variações de e de, respectivamente: A equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto é: A variação pode ser vista como uma aproximação linear para. Quanto menores forem os incrementos e, mais próximo do valor real da variação da função será a aproximação dada por. Podemos dizer que se e forem bem pequenos, tem-se. Assim, a aproximação linear da função em é dada por: Cálculo II- 19

20 Generalizando Seja uma função real a variáveis reais o diferencial total é dado por: Exemplos: 1) Encontre o diferencial total das funções: a) b) 2) Seja a) Encontre o diferencial total Cálculo II- 20

21 9. Diferenciação Implícita Dizemos que uma função é explícita quando ela é expressa por uma equação na qual é possível isolar de um lado a variável dependente e do outro lado da equação a expressão da função. Caso isto não ocorra dizemos que a função é implícita. Exemplos:, dizemos que é uma função explícita de, dizemos que é uma função implícita de O objetivo da diferenciação implícita é determinar a derivada de funções sem que haja a necessidade de explicitar a variável dependente. A técnica de diferenciação implícita utilizada para funções a uma variável, normalmente estudada em Cálculo I, consiste em diferenciar ambos os lados da equação e utilizar a regra da cadeia, pois a variável dependente implícita é função da variável independente. Exemplo do Método de diferenciação implícita utilizado em Cálculo I: Calcule a derivada sendo uma função implícita de dada pela equação: ( ) [ ] [ ] Cálculo II- 21

22 O processo de diferenciação implícita pode ser formulado com maior rigor e pode ser generalizado pelo uso das derivadas parciais. Suponha uma equação na forma que define implicitamente como uma função de, ou seja,. Assim, ( ) para todo no domínio de. Se as funções e forem diferenciáveis, podemos usar a Primeira Regra da Cadeia para diferenciar a equação e encontrar a derivada de. ( ) Exemplos: 1) Seja a equação com, encontre, utilizando o método generalizado. Equação na forma Cálculo de ( ) ( ) Cálculo II- 22

23 2) Dada a equação implícita, onde é função de, calcule utilizando o método generalizado das derivadas parciais. Equação na forma Cálculo de Podemos utilizar esta técnica em funções a mais de uma variável. Suponha uma equação na forma que define implicitamente como uma função de, ou seja,. Assim, ( ) para todo no domínio de. Se as funções e forem diferenciáveis, podemos usar a Segunda Regra da Cadeia para diferenciar a equação e determinar as derivadas parciais de, e. Cálculo de ( ) Cálculo II- 23

24 Cálculo de ( ) Exemplos: 1) Seja dada implicitamente por. Encontre as derivadas parciais de z. Equação na forma Cálculo de Cálculo II- 24

25 Cálculo de 2) Seja dado implicitamente pela equação. Encontre as derivadas parciais de. Equação na forma Cálculo de ( ) Cálculo de Cálculo II- 25

26 ( ) Cálculo de ( ) ( ) 3) Encontre as derivadas parciais de, sendo dado implicitamente pela equação : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo II- 26

27 10. Derivadas Direcionais Considere uma função diferenciável de duas variáveis dada pala equação e seja, um ponto desta superfície. A derivada parcial é a taxa de variação instantânea da função obtida quando, para um determinado valor fixo de, houver uma variação da variável independente na direção positiva do eixo. Geometricamente, a derivada parcial de em relação a é o coeficiente angular da reta contida no plano e tangente ao gráfico da função no ponto. A derivada parcial é a taxa de variação instantânea da função obtida quando, para um determinado valor fixo de, houver uma variação da variável independente na direção positiva do eixo. Geometricamente, a derivada parcial de em relação a é o coeficiente angular da reta contida no plano e tangente ao gráfico da função no ponto. A derivada direcional é a taxa de variação instantânea da função obtida quando houver variação das variáveis independentes e em uma direção qualquer. Geometricamente, a derivada direcional é o coeficiente angular da reta paralela ao vetor e tangente ao gráfico da função no ponto. Cálculo II- 27

28 Derivada Direcional Sejam um vetor que indica a direção na qual se deseja calcular a taxa de variação de uma função e um vetor unitário na direção de. A derivada direcional de é dada por na direção de, consequentemente, na direção de Define-se um vetor denominador por gradiente de e denota-se ou, o vetor em cujas componentes escalares são as derivadas parciais de. Assim, a derivada direcional pode ser calculada pelo produto escalar do gradiente de e o vetor unitário na direção de. Maximização das Derivadas Direcionais Muitas vezes em problemas de engenharia interessa saber a direção na qual a taxa de variação da função é máxima. Sabemos que a taxa de variação instantânea da função na direção de um vetor unitário qualquer é calculada pela derivada direcional: onde e é o menor ângulo formado entre os vetores. Como o valor de varia de -1 a 1, a derivada direcional terá um valor máximo quando, ou seja, quando. Isto significa que o vetor gradiente indica a direção na qual a derivada direcional é máxima e pode ser calculada por: Em outras palavras: o gradiente de um campo escalar é um vetor cuja direção indica a direção na qual o campo escalar aumenta mais rapidamente. Dado o mapa de contorno de uma função podemos identificar a direção da maior variação da função, ou seja, a direção do gradiente. Considere o mapa de contorno da figura abaixo onde é um vetor unitário tangente a isocurva no ponto. Lembrando que a isocurva representa pontos de mesmo valor da Cálculo II- 28

29 função, a taxa de variação da função ao longo de uma isocurva é nula, portanto a derivada direcional na direção de é nula. Assim, Isto significa que está a 90 do vetor, ou seja, o vetor é perpendicular à isocurva e indica a direção da maior variação da função. y x Exemplos: 1) Calcule o gradiente das funções abaixo: ) ( ) ) ( ) Cálculo II- 29

30 2) Dada a função, calcule e desenhe no sistema cartesiano o gradiente da função no ponto indicado ) ( ) y 4-3 x 3) Calcule a derivada direcional de na direção do vetor ( ) no ponto (1,2): Cálculo do vetor unitário na direção dada ( ) Como é um vetor unitário ( ) Cálculo do vetor gradiente Cálculo da derivada direcional ( ) ( ) Cálculo da derivada direcional quando e ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo II- 30

31 4) Encontre a derivada direcional de na direção do vetor no ponto (3, 4): ( ) Cálculo do vetor unitário na direção dada Cálculo do vetor gradiente ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo da derivada direcional ( ) ( ) ( ) Cálculo da derivada direcional quando e ( ) 5) Encontre a derivada direcional de na direção do vetor no ponto (1, 1, 2): Cálculo do vetor unitário na direção dada ( ) Cálculo do vetor gradiente ( ) ( ) ( ) Cálculo II- 31

32 ( ) ( ) Cálculo da derivada direcional ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo da derivada direcional quando, e ( ) ( ) 6) Encontre a derivada direcional de na direção do vetor no ponto (1,3, 0): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo II- 32

33 7) Suponha que uma pessoa esteja numa montanha cuja altura em metros é dada pela equação onde e são as distâncias, em metro, no plano horizontal. Considere que a posição desta pessoa seja. Sendo o plano horizontal representado por um sistema cartesiano de eixo apontando para leste e de eixo apontado para o norte, responda a) Se a pessoa andar para o sul, irá descer ou subir? Em que taxa? Vetor unitário na direção do movimento: O N y x L S Taxa de variação da função onde Taxa de variação da função quando e Conclusão: Como a taxa é positiva para cada metro que a pessoa andar para o sul ela subirá 3,2m. Cálculo II- 33

34 b) Se a pessoa andar para o noroeste, irá descer ou subir? Em que taxa? Vetor unitário na direção do movimento: N y ( ) O 45 x L ( ) S Taxa de variação da função onde ( ) Taxa de variação da função quando e Conclusão: Como a taxa é negativa, para cada metro que a pessoa andar na direção noroeste ela descerá 1,55 m. Cálculo II- 34

35 c) Se a pessoa andar para L 30 S, irá descer ou subir? Em que taxa? Vetor unitário na direção do movimento: ( ) ( ) O N y 30 x L ( ) S Taxa de variação da função onde ( ) Taxa de variação da função quando e Conclusão: Como a taxa é positiva, para cada metro que a pessoa andar na direção L 30 S ela subira 0,734. Cálculo II- 35

36 d) Determine e represente graficamente a direção que a pessoa deve seguir para fazer a descida mais íngreme possível. Qual a taxa de variação da função encontrada nesta direção? Sabe-se que a direção do gradiente indica a direção de maior acréscimo da função, ou seja, a pessoa subirá da forma mais íngreme possível. Quando e A maior taxa de variação da função é: Para cada metro que a pessoa andar na direção do gradiente ela subirá 3,35m. Para que a pessoa faça a descida da forma mais íngreme possível ela deverá seguir a direção oposta do gradiente, isto é, na direção do vetor e a taxa de variação da função é de - Esta taxa significa que para cada metro que a pessoa andar na direção do vetor ela descerá. 3,2 1 Cálculo II- 36