0.1 Superfícies Regradas

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1 Título : Superfícies Regradas Mínimas no Espaço Euclidiano Autor:Gilvan Alves Nascimento Instituição de Origem:Faculdade José Augusto Vieira (FJAV) Sessão temática:geometria Diferencial. RESUMO Apresentaremos conceitos e resultados básicos das superfícies regradas e das superfícies mínimas, e faremos alguns exemplos. 0.1 Superfícies Regradas Analisando o plano e o cilindro, notamos que estas superfícies têm em comum a propriedade de por qualquer de seus pontos passar por uma reta que está inteiramente contida na superfícies. Estudaremos agora as superfícies que têm em comum com o plano e o cilindro a propriedade de serem formados por retas ou segmentos. Uma família a um parâmetro de retas {α(t), ω(t)} é uma correspondência que associa, para cada t I, um ponto α(t) R 3 e um vetor ω(t) R 3, ω(t) 0, ambos α(t) e ω(t) dependem diferenciavelmente de t. Dada uma família de retas a um parâmetro, a superfícies parametrizada X(t, v) = α(t) + ω(t), t R, v R é chamada superfície regrada gerada pela família {α(t), ω(t)}. As curvas coordenadas t = cte são retas ou segmentos, que são conhecidos como geratrizes de X; a aplicação ω que define a direção das geratrizes de X também é conhecida como geratriz de X, enquanto a curva α(t) é conhecida como diretriz da superfície X. Às vezes, usa-se a expressão superfície regrada para significar o traço de X. Deve ser observado que X também admite pontos singulares, isto é,pontos (t, v) em que X t X v = 0. Exemplos simples de superfícies regradas são os cilindros e os cones. Um cilindro é uma superfície regrada gerada por uma família a um parâmetro {α(t), ω(t)}, t I, onde α(i) está contida em um plano qualquer, denotemos este plano por P, e ω(t) é paralelo a uma direção fixada em R 3. Um cone é uma superfície regrada gerada por uma família {α(t), ω(t)}, t I, onde α(i) P e as retas geratrizes t = cte todas passam por um ponto p P. Um exemplo mais interessante é dado pelo hiperbolóide de revolução. Seja S 1 o círculo unitário x + y = 1 no plano xy e seja α(s) a parametrização de S 1 pelo comprimento de arco. Para cada s, seja ω(s) = α (s) + e 3 onde e 3 é o vetor unitário no eixo z. Então é uma superfície regrada. Escrito de uma forma mais usada,temos: X(s, v) = α(s) + v (α (s) + e 3 ) 1

2 X(s, v) = α(s) + vα (s) + ve 3 = (cos(s), sin(s), 0) + ( v sin(s), v cos(s), 0) + (0, 0, v) = (cos(s) v sin(s), sin(s) + v cos(s), v), em que α(s) = (cos(s), sin(s), 0), então α (s) = ( sin(s), cos(s), 0). Usando as condições acima calculemos x + y z = 1 x + y z = (cos(s) v sin(s)) + (sin(s) + v cos(s)) v = cos(s) v sin(s) cos(s) v sin(s) + sin(s) + v sin(s) cos(s) + v cos(s) v = [ cos(s) + sin(s) ] + v [ sin(s) + cos(s) ] v = 1 + v v = 1 Isto mostra que o traço de X é um hiperbolóide de revolução. É interessante observar que se fizermos ω(t) = α (s) + e 3, obtemos novamente a mesma superfície. Sendo assim, o hiperbolóide de revolução tem dois conjuntos de geratrizes. 0. Superfícies Mínimas Uma superfícies regular parametrizada é chamada mínimas se a curvatura média se anula em toda parte, mais precisamente se H p = k 1 + k = 0, p M, em que k 1 e k são as curvaturas principais. Uma superfície regular S R 3 é mínima se cada uma de suas parametrizações for mínima. As superfícies mínimas são melhor trabalhadas em coordenadas isotérmicas, uma superfícies regular parametrizada é isotérmica se Temos então o seguinte resultado; E = X u, X u = X v, X v = G e X v, X v = 0 Lema 0..1 Seja X = X(u, v) uma superfícies regular parametrizada e assuma que X é isotérmica. Então, X uu + X vv = λ H, onde λ = X u, X u = X v, X v e H é o vetor curvatura média Prova. Seja X é isotérmica, X u, X u = X v, X v e X v, X v = 0. Por diferenciação, Temos, então Similarmente, X uu, X u = X uv, X v = X u, X vv. X uu + X vv, X u = X uu, X u + X vv, X u = 0 X uu + X vv, X v = 0. Segue que X = X uu + X vv é paralelo a N. Como X é isotérmica, H = 1 ( λ g + λ ) e λ 4 0 H = 1 ( g + e λ ).

3 Assim, λ H = g + e = N v, X v N u, X u = N, X vv + N, X uu = N, X uu + X vv, então λ H N, N = λ HN, N = λ H, N, logo X uu + X vv = λ H. Teorema 0.. Seja X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) uma superfície parametrizada e assuma X é isotérmica. Então, X é mínima se, e somente se, as funções coordenadas x, y e z são harmônicas. Prova. Sabemos que X = X uu + X vv = ( ) x u + x v, y u + y v, z u + z v = λ H = EHN. Dois exemplos importantes de superfícies mínimas são o catenóide e helicóide; 1. O Catenóide dada por X u,v = (a cosh(v) cos(u), a cosh(v) sin(u), av), 0 < u < π, < v <, Esta é a superfície gerada por rotação da catenária y = a cosh( z ) em torno do eixo z. a Derivando temos, X u = ( a cosh(v) sin(u), a cosh(v) cos(u), 0) X v = (a sinh(v) cos(u), a sinh(v) sin(u), a) E = X u, X u = a cosh (v) ( sin (u) + cos (u) ) = a cosh (v) G = X v, X v = a sinh (v) ( sin (u) + cos (u) ) + a = a (1 + sinh (v)) = a cosh (v) F = X u, X v = a cosh(v) sinh(v) sin(u) cos(u) + a cosh(v) sinh(v) sin(u) cos(u) = 0 X uu = ( a cosh(v) cos(u), a cosh(v) sin(u), 0) X vv = (a cosh(v) cos(u), a cosh(v) sin(u), 0) Assim pelo teorema,catenóide é uma superfície míinima. 3

4 . O Helióide X u,v = (a sinh(v) cos(u), a sinh(v) sin(u), au) Derivando temos, X u = ( a sinh(v) sin(u), a sinh(v) cos(u), a) X v = (a cosh(v) cos(u), a cosh(v) sin(u), 0) E = X u, X u = a sinh (v) ( sin (u) + cos (u) ) + a = a ( 1 + sinh (v) ) = a cosh (v) G = X v, X v = a cosh (v) ( sin (u) + cos (u) ) = a cosh (v) F = X u, X v = a cosh(v) sinh(v) sin(u) cos(u) + a cosh(v) sin(v) sin(u) cos(u) = 0 X uu = ( a sinh(v) cos(u), a sinh(v) sin(u), 0) X vv = (a sinh(v) cos(u), a sinh(v) sin(u), 0) Assim pelo teorema,helióide é uma superfície míinima. 3. Outro exemplo interessante é a Superfície Mínima de Enneper: Superfície de Enneper é a superfície parametrizada ) X(u, v) = (u u3 3 + uv, v v3 3, u v, (u, v) R, utiliando o mesmo teorema vemos facilmente que esta também é uma superfície mínima. X u = ( 1 u + v, uv, u ) X v = ( uv, 1 1 v + u, v ) E = X u, X u = ( 1 u = v ) + 4v u + 4u = u 4 + v 4 + u v + u + v + 1 G = X v, X v = 4u v + ( 1 v + v ) + 4v = u 4 + v 4 + u v + u + v + 1 F = X u, X v = ( 1 u + v ) uv + uv ( 1 v + u ) 4uv = 0 X uu = ( u, v, ) X vv = (u, v, ) 4

5 Referências Bibliográficas 1. Carmo,M.P Differential Geometry of Curves and Surfaces, (IMPA)- Rio de Janeiro, Prentice-Hall, R.Osserman,. A Survey of Minimal Sufarces, Van Nostrand,New York