Singularidades Estáveis de Curvas e Superfícies

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1 Singularidades Estáveis de Curvas e Superfícies Aluno: Igor Albuquerque Araujo Orientador: Marcos Craizer Introdução Em matemática, a teoria das singularidades estuda e classifica os germes de aplicações diferenciáveis em espaços euclidianos. A teoria das singularidades emprega ferramentas de diversas áreas, como topologia diferencial, álgebra comutativa e topologia algébrica. Existem diversas aplicações para a teoria das singularidades, como o estudo da geometria extrínseca, o estudo de cáusticas em óptica e o estudo das transições de fase em mecânica estatística. Este trabalho foi uma continuação do projeto de iniciação científica Evolutas e involutas: planas e espaciais. Então temos como bibliografia básica a bibliografia usada anteriormente, como os livros [1], [3] e o texto [4]. Além dessas fontes, utilizamos [5] para um primeiro estudo da teoria de singularidades e, em um segundo momento, aprofundamos o estudo de [2]. Objetivos O objetivo do trabalho é, a partir dos conceitos de geometria diferencial de curvas e superfícies, estudar os conceitos fundamentais da teoria das singularidades em variedades diferenciais. Estudar a geometria das singularidades e seus tipos, assim como propriedades nas proximidades de pontos singulares. Aplicar a teoria para alguns desdobramentos específicos, como as funções altura e distância, descrever um modelo local em pontos singulares e relacionar o estudo do discriminante com o dual e o pedal a uma curva. Metodologia Foi feito um estudo de singularidades simples estáveis de curvas e superfícies. Consideramos as singularidades dos tipos A, D e E. Foi utilizado o software Maple para auxiliar na visualização de tais singularidades. Num primeiro momento estudamos a teoria básica das singularidades, desde os desdobramentos versais e p-versais, determinação de germes, classificação dos germes de codimensão menor ou igual a cinco a classificação das singularidades A k, D k, E 6, E 7 e E 8. Ao final foi feito um estudo minucioso e completo das funções distância e altura. Baseado em [2], definimos o conjunto singular, o conjunto de bifurcação e o conjunto discriminante. Obtemos condições, baseadas no estudo anterior de evolutas de curvas planas e espaciais, para pontos pertencerem ou não a esses conjuntos e para termos singularidades do tipo A k. Utilizamos a caracterização das singularidades para encontrar condições para um desdobramento versal ou p-versal (a partir dos Teoremas 6.10 e 6.10p de [2]). Com o auxílio dos conjuntos singular, de bifurcação e discriminante foram encontradas condições necessárias e suficientes para termos singularidades dos tipos A 1, A 2, A 3 e A 4, e também para a versalidade dos desdobramentos função distância e função altura, baseadas nas condições para termos singularidades dos tipos A k. Esse estudo permitiu fazermos uma relação com o dual de uma curva e estudar propriedades locais de pontos singulares dos conjuntos de bifurcação e discriminante. O estudo foi feito para a função altura no caso de curvas planas e espaciais.

2 Departamento de Matemática Definições A. Desdobramento p-versal Seja : RxR, (t, y ) R um desdobramento a s parâmetros da função =. Considere : RxR, (t, x ) R, : R, R e : R, R onde (, ) =, ( ) = e a, b e c são suaves. Então o desdobramento : RxR, (t, x ) R da função f(t) = g(t) + c(x ) dado por (, ) = (, ), () + () é dito p-induzido de G. Se todo desdobramento de g é p-induzido de G, dizemos que G é um desdobramento p- versal de g em. B. Conjunto Singular O conjunto = (, ) RR ; função : RxR R e será denotado por S F. C. Conjunto de Bifurcação (, ) = 0) é chamado o conjunto singular da O conjunto = R ; (, ) = (, ) = 0) é chamado o conjunto de bifurcação da função : RxR R e será denotado por B F. D. Conjunto Discriminante O conjunto = R ; (, ) = conjunto de distribuição da função : RxR R e será denotado por D F. Revisão (, ) = 0) é chamado o A. Equações de Serret-Frenet Seja : R uma curva parametrizada por comprimento de arco, ou seja, tal que () = 1. Sendo = (), N o vetor unitário com mesma direção e sentido de () e = (produto vetorial). O triedro T, N e B é chamado triedro de Frenet. Valem as seguintes equações, chamadas de equações de Serret-Frenet: = (). = (). + (). = (). B. Forma canônica local de curvas espaciais De acordo com secção 1.6 de [3], toda curva espacial pode ser aproximada numa vizinhança da origem pela fórmula α(s) = α(0) + sα (0) + α (0) + α (0) + o(s ) e podemos fazer com que o triedro t(0), n(0) e b(0) seja levado no triedro xyz por um movimento rígido. Então, através de movimentos rígidos, toda curva espacial pode ser levada na curva γ(s) = s, +, + ( ). Singularidades A k Para falar sobre as singularidades A k, vamos antes definir R-equivalência (equivalência a direita) e citar um fato da teoria das singularidades. Como pode ser visto em [2], uma função f é equivalente a direita (right-equivalent ou R-equivalent, em inglês) em um ponto t 0 a uma função g se existe um difeomorfismo ψ que leva t 0 em t 0 (geralmente t 0 é a origem) tal que f ψ=g.

3 Uma função de uma variável : R, R tem uma singularidade A k em t 0 se é equivalente a direita a função ±. Uma condição necessária e suficiente para termos uma singularidade A k é que () ( ) = 0 1 e () ( ) 0. Para uma função de mais variáveis, f tem singularidade A k se é equivalente a direita a função ± ± ± ±. Teoremas A. Teorema 6.10p de [2] Seja : RxR, (t, x ) R um desdobramento da função f=. Se f tem singularidade Ak (para 1) em. Suponhamos que os jatos de ordem k-1 de sejam (, ) = () para = 1,,. Então F é p-versal se e só se a matriz ( ) () = tem posto k-1. () () B. Teorema 6.10 de [2] Seja F: RxR, (t, x ) R um desdobramento da função f= F. Se f tem singularidade A k (para k 1) em t. Suponhamos que os jatos de ordem k-1 de sejam j (t, x ) = α + α t + + α () t para i = 1,, r. Então F é versal se e só se α α a matriz (α ) = tem posto k. α () α () Desdobramentos p-versais A. Função Distância A função distância F: I R R é dada por F(t, x) = γ(t) x = (γ(t) x). (γ(t) x). Lembramos que ela também foi usada para definir evolutas. Assim, teremos = (γ(t) x)γ (t) + (γ ())(γ(t) x) = 2 ()(γ(t) x) = ( ) = 1 + ( ) e = ( ) + ( )( + ). Então os conjuntos singular e de bifurcação são, respectivamente, = (, ) RR ; (, ) = 0) = {(, ); = () + () + (),, R} e = R ; (, ) = (, ) = 0) = ; = () + () + (), () R. A condição para termos singularidade A 2 é que (, ) = (, ) = 0 e (, ) 0 (se e só se x está em B F e não é centro de curvatura esférica). Usando o teorema 6.10p, F será um desdobramento p-versal em um tal ponto x se e só se a matriz dos coeficientes dos jatos tiver posto 1 (k=2). Usando a forma canônica local obtemos os jatos de ordem 3: Sendo = (,, ) e () = ((), (), ()), temos que (, ) = ( ) + ( ) + ( ) e = 2( ), = 2( ) e = 2( ). Como

4 γ(t) x = (t, +, ), O jato de ordem 3 de (,, ) é ( 2 +,, ) e a matriz formada pela primeira linha da matriz tem sempre posto 1, a matriz formada pelas duas primeiras linhas tem sempre posto 2 e a matriz tem posto 3 se e só se 0. Concluímos que para pontos com singularidades A 2 e A 3 o desdobramento F é sempre p-versal e para pontos com singularidade A 4 o desdobramento é p-versal se e só se 0. B. Função Altura A função altura é a função : R definida por H(t, u) = γ(t). u, onde é a esfera unitária em R e o produto tomado no lado direito é o produto escalar canônico usual dos vetores em R. Assim teremos =, =, = + ( + ) e =. + 2 ( + ) + ( + ). Dessa forma, os conjuntos singular e de bifurcação são, respectivamente, = (, ) R ; (, ) = 0) = {(, ); = () + (),, R + = 1} e = ; (, ) = (, ) = 0) = {; = = 0} = {; = ±(), }. A condição para termos singularidade A 2 é que (, ) = (, ) = 0 e (, ) 0, ou seja, se e só se u está em B F ( = ±()) e + ( + ) 0 (que se reduz a 0 quando = ±()). Para termos singularidade A 3 devemos ter (, ) = (, ) = (, ) = 0 e (, ) 0 (se e só se = ±(), = 0 e 0 ). Usando a forma local da curva, coordenadas locais na esfera e supondo u=(0,0,1), temos localmente a esfera parametrizada por (, ) (,, 1 ), a curva, por γ(t) = (t, ( ). O jato de ordem 3 de ( (, 0,0), 1 0 coeficientes é 0, ) e a função H dada por (,, ) = t + (, 0,0)) é (t, + ) e a matriz dos. A matriz da primeira linha tem sempre posto 1, a matriz das duas primeiras linhas tem sempre posto 2 e, como só tem duas colunas, a matriz das três primeiras linhas nunca tem posto 3. Concluímos que em pontos com singularidade A 2 e A 3 o desdobramento H é sempre p-versal. Desdobramentos versais A. Função Altura no Plano A partir de agora vamos considerar : R uma curva plana. A função altura considerada agora será H: R R definida por H(t, u, v) = H(t, u) v = γ(t)u v.

5 Usando coordenadas locais em S 1, temos : R R dada por (,, ) = () cos( ), ( ). Derivando H em relação a t temos H =, logo o conjunto discriminante DH é dado por H = R ; H(, ) = H (, ) = 0) = {(, ); γ(t)u v = Tu = 0} = ±(), ±()();. Estamos interessados em singularidades A 1 e A 2, então calculamos mais derivadas de H em relação a t. H =, H = +. Se u está em DH, então = ±(), H = ± e H = ±. Concluímos que H tem singularidade A1 se e só se = ±() e 0 e tem singularidade A2 se e só se = ±(), k=0 e 0. Para fazer a análise da versalidade vamos usar o teorema 6.10 e coordenadas locais em S 1. Assim, = ()( ( ), cos ( )) e = 1. O jato de ordem 1 de (, ) é (( )( ( ), cos( )) + ( )( ( ), cos ( )), 1) e a matriz dos coeficientes é ( )( ( ), cos( )) 1 ( )( ( ), cos ( )) 0. A matriz da primeira linha claramente tem sempre posto 1. Em um ponto t0 que corresponde a um x em DH, temos que cos( ), ( ) = ±( ) e, então, ( ( ), cos( )) = ( ) e ( )( ( ), cos( )) = 1 0. Logo a matriz tem sempre posto 2. Concluímos que F é versal sempre que temos singularidades A1 e A2. B. Função Altura no Espaço Agora vamos voltar a considerar : R uma curva espacial e a função altura será H: R R definida por H(t, u, v) = H(t, u) v = γ(t)u v. Considerando coordenadas locais em S 2 temos : R R dada pela equação (, ) = (),, 1. Como H =, o conjunto discriminante DH é dado por H = (, ) R; H(,, ) = H (,, ) = 0) = {(, ) R; = () = () + () + = 1}. H Derivando mais vezes temos: H =, H = + ( + ) e = + 2 ( + ) + ( + ). Assim, em u ponto (u,v) em DH, H tem singularidade A1 se e só se 0, tem singularidade A2 se e só se = 0 0 e tem singularidade A3 se e só se = 0, = 0 0. Usando F para a análise da versalidade e usando a forma local da curva, temos: γ(t) = (t,, 0) (precisamos apenas do jato de ordem 2 para a matriz dos coeficientes), (, ) = (),, 1 = + x e, então, =, = 1 e = 1. A matriz dos coeficientes é (aqui os * servem para lembrar que 0 0 a curva originalmente não precisava passar pela origem e assim há o termo não linear associado a (0),, 1 ). Independente dos valores de *, temos que o desdobramento é sempre versal. A matriz da primeira linha tem sempre posto 1, das duas primeiras linhas tem sempre posto 2 e a matriz tem sempre posto 3. Concluímos que em qualquer caso, singularidade A1, A2 ou A3, o desdobramento é sempre versal.

6 Dual de uma curva A. Curvas planas Consideramos a correspondência: A reta. = com orientação (onde, R, o produto na direita é o produto escalar usual e a orientação é a rotação de a em 2 radianos no sentido horário) será associada ao ponto (, ) de R. Dada uma curva plana : R, olhamos para o correspondente a reta tangente na forma acima. Essa será a curva dual a (repare que a curva dual é uma curva em R). Assim, o dual a é a curva (N(t), γ(t)n(t)). É interessante reparar que o conjunto discriminante da função altura no caso plano é formado pelo dual e seu simétrico. Conseguimos, assim, de uma maneira geométrica obter o conjunto discriminante. B. Curvas espaciais Agora vamos considerar a correspondência de planos orientados com pontos de S xr. Dada uma curva espacial γ: I R, tomamos um u em S tal que u. γ (t ) = 0 e olhamos para o corresponde ao plano perpendicular a u passando por ( ) (é o plano dado pela equação. = ( ). ). Esse será o dual a γ, definido por (u, ( ). ). É interessante reparar que o conjunto discriminante da função altura no caso espacial é exatamente o dual definido desse jeito. Conseguimos, assim, de uma maneira geométrica obter o conjunto discriminante também no caso espacial. Pedal a uma curva Usando coordenadas polares, podemos projetar o dual (, ) R em λ. a R. A curva obtida, agora em R, é chamada curva pedal a γ. As retas tangentes que passam pela origem possuem λ = 0, logo são levadas na origem pela projeção. Com a projeção também perdemos a orientação do dual, já que os pontos (, ) e (, ) tem orientações opostas e são levados ao mesmo ponto pela projeção. Estrutura local das singularidades As singularidades que vimos são as singularidades A 2, A 3 e A 4 nos casos dos desdobramentos p-versais e as singularidades A 1, A 2 e A 3 nos desdobramentos versais. Então vale ressaltar como é a vizinhança de um ponto com uma singularidade desses tipos e a melhor maneira de ilustrar essas singularidades é com exemplos e imagens. Como podemos ver nas sessões 6.16p a 6.18p e 6.16 a 6.18 de [2], nós precisamos considerar apenas certo exemplo para entender a singularidade. Considerando o desdobramento : RxR, (0,0) R dado por F(t, x) = t + x t, o conjunto de bifurcação é dado por {0}R. Qualquer outro desdobramento p- versal de uma singularidade A 2 é localmente uma variedade de dimensão r-1, que chamamos de dobra (em inglês, fold). Considerando singularidades Dobra (fold) com r=1 e r=2 e o conjunto de bifurcação.

7 A 3 e o desdobramento p-versal G: RxR, (0,0) R dado por G(t, x) = t + x t + x t, o conjunto de bifurcação é dado por = {; = 0}. Para r=2, o conjunto de bifurcação é localmente uma cúspide e para r=3, uma aresta cuspidal. Cúspide e aresta cuspidal. Considerando singularidades A 4 e o desdobramento p-versal : RxR, (0,0) R dado por H(t, x) = t + x t + x t + x t, o conjunto de bifurcação é dado por = {; = = 0}. Para r=3, o conjunto de bifurcação é exatamente um rabo de andorinha (swallowtail). Rabo de andorinha (swallowtail) Considerando os desdobramentos versais F(t, x) = t + x, G(t, x) = t + x + x t e H(t, x) = t + x + x t + x t, vemos que o conjunto discriminante é localmente uma dobra (fold) para singularidades A 1, uma cúspide ou aresta cuspidal para singularidades A 2 e um rabo de andorinha (swallowtail) para singularidades A 3. Conclusões A partir do estudo realizado da função altura, obtemos propriedades sobre a estrutura local do conjunto discriminante, por exemplo, se uma curva plana tem uma inflexão ordinária então a curva dual tem uma cúspide ordinária no ponto correspondente. No caso de curvas espaciais, o conjunto discriminante é suave quando o desdobramento tem uma singularidade

8 do tipo A 1 e tem uma cúspide quando o desdobramento tem singularidade do tipo A 2. Projetando o dual de uma curva plana com coordenadas polares obtemos o pedal a curva e assim podemos associar as propriedades do dual com propriedades do pedal a curva, apesar de perdermos informação com essa projeção. Referências 1 PORTEOUS, Ian R. Geometric Differentiation: For the Intelligence of Curves and Surfaces. 2nd Ed. Cambridge University Press, BRUCE, J. W.; GIBLIN, P. J. Curves and Singularities, Cambridge University Press, CARMO, Manfredo Perdigão do. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. 5. ed. Rio de Janeiro: SBM, p. 4 CRAIZER, Marcos. Evolutas de Curvas e Superfícies. Rio de Janeiro: SBM, p. 5 POSTON, Tim; STEWART, Ian. Catastrophe Theory and Its Applications, Dover Publications, 1978.