CURVAS ALGÉBRICAS E PONTOS DE INFLEXÃO

Transcrição

1 Departamento de Matemática CURVAS ALGÉBRICAS E PONTOS DE INFLEXÃO Aluna: Isabela Antonaccio Wanous Orientador: Marcos Craizer Introdução Foi feito um estudo dirigido sobre curvas algébricas, suas propriedades e maneiras de estudá-las. Essas curvas são dotadas de propriedades muito importantes e de grande riqueza algébrica e geométrica. Seu estudo possibilitou um enorme crescimento matemático. Christopher G. Gibson publicou o livro [1] tendo como base sua aula na Universidade de Liverpool. Este livro foi a base do nosso estudo nesse curso. A partir da demonstração de diversos lemas foi-se desenvolvendo a compreensão teórica matemática do objeto de estudo. Mais adiante, foi compreendido o conceito de ponto de inflexão em curvas projetivas. Foi feito também um estudo dirigido das curvas algébricas, buscando a compreensão do conceito de pontos de inflexão e os lemas a ele relacionados, culminando com a possibilidade de realizar demonstrações relacionada à cúbica de Steiner e ao Teorema de Bézout, por exemplo. Durante o estudo resolvemos exercícios matemáticos sobre o tema e desenvolvemos ilustrações a respeito destes com softwares gráficos como o Maple e o Geogebra. Estes ajudaram na compreensão e na visualização do conteúdo. Metodologia Além do estudo e da leitura individual do texto base, organizou-se um seminário semanal para que houvesse debate sobre os novos conteúdos aprendidos e apresentação dos exercícios realizados. Deste seminário participaram o orientados e sete alunos de graduação. O texto de apoio [1], é uma introdução e vai se aprofundando em curvas algébricas planas a partir de uma visão geométrica. Consideramos os corpos real e complexo, e eventualmente algum corpo finito. A vantagem de se considerar o corpo complexo é que todo polinômio de grau n possui n raízes. Em compensação perdemos a visualização do caso real. O livro é bem ilustrado e contém várias centenas de exemplos trabalhados e exercícios isso permitiu um aprofundamento no assunto. A partir das curvas lineares familiares e cônicas de geometria elementar, chegar a curvas gerais no

2 plano afim real, com excursões para campos mais gerais para ilustrar aplicações, tais como a teoria dos números. Consideramos os planos afim e projetivo. O plano projetivo é bastante abstrato, mas em compensação todas as retas se intersectam em um ponto. O plano projetivo inclui pontos no infinito, o que é bastante abstrato, mas depois que nos acostumamos entendemos que nos ajuda muito na descrição das curvas. Ao adicionar pontos no infinito,o plano afim é estendido ao plano projetivo, produzindo um cenário natural para as curvas e proporcionando uma inundação de possibilidades na geometria subjacente. Estudamos singularidades das curvas, pontos de inflexão, número de interseção com retas. A quantidade mínima de álgebra leva ao famoso teorema de Bezout, enquanto as ideias de sistemas lineares são utilizados para discutir a estrutura do grupo clássico nas cúbicas.estas últimas estudamos as singulares e não singulares, descrevendo o seu conjunto de pontos de inflexão. Enfatizamos as cônicas, classificando-as no planos afins complexo e real. Descrevemos muitas de suas propriedades, como focos e centro de um ponto de vista afim e projetivo. Por exemplo, o capítulo em que mais me aprofundei foi o 13 do livro [1], que estuda o conceito de pontos de inflexão em curvas projetivas. Um ponto P,sendo P simples,ou seja o numero de interseções da reta tangente à curva F em P é maior ou igual a 2,é dito um ponto de inflexão quando o número de interseções é maior ou igual a 3. Observações: todo ponto de uma reta é um ponto de inflexão. Cônicas não possuem pontos de inflexão e o conceito de pontos de inflexão só tem interesse para curvas de grau maior ou igual a 3. Como os números de interseção são invariantes projetivos, o conceito de ponto de inflexão e a distinção entre ordinary flex (o numero de interseções é exatamente 3)e undulation flex (o numero de interseções é maior ou igual a 4) é invariante nas transformações projetivas. Por isso se estuda passando do plano projetivo para o plano afim. A chave desse capítulo é a técnica que reduz o problema de achar pontos de inflexão a achar a interseção da curva com a curva Hessiana associada. Através de cálculos matemáticos é possível dizer que qualquer configuração de 9 pontos em PC² é projetivamente equivalente a configuração dos 9 pontos dos pontos de inflexão associados a cúbica de Steiner, muito famosa. A consequência disso é outro lema que diz que seja F qualquer curva cúbica em PC² cujos pontos de inflexão formam a configuração dos 9 pontos,então F é projetivamente equivalente a cúbica de Steiner.

3 Exemplos de curvas algébricas, suas expressões e traçados no plano real afim Exemplos de curvas algébricas da forma

4 Todas as curvas acima são pontos de vista diferentes da curva projetiva x^3- x*y^2-y*z^2. De cima para baixo elas são retiradas dos planos z=1, y=1,z=1.

5 Conclusões Considero que aprendi um tema de matemática de difícil abstração, tendo me exigido bastante esforço e dedicação mas muito compensador pela ampliação do meu horizonte matemático, contribuindo para um enriquecimento de abstração matemática e geométrico. O estudo teórico permitiu uma maior compreensão do universo das curvas algébricas e de suas propriedades. Foi possível demonstrar e solucionar exercícios complexos mesmo sem a utilização de meios tecnológicos. Entretanto, foi interessante utilizar a implementação de softwares gráficos como o Maple e o Geogebra para a visualização dos argumentos teóricos desenvolvidos. Curvas algébricas apresentam uma beleza inerente tanto do ponto de vista algébrico quanto geométrico, sendo sempre interessante manter uma comunicação entre essas duas facetas. Referências 1 - GIBSON, C. G. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. 1.ed. New York: Cambridge University Press, 2001.