Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC

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1 29/3/26 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC-.73 Aula 4 Conteúdo Geometria Projetiva 2D Professor Leandro Augusto Frata Fernandes [email protected] Material disponível em Tópicos da Aula Invariante à transformação projetiva Razão anarmônica Recuperação de propriedades afins e métricas a partir de imagens Leituras Hartley and Zissermann, 2nd ed., 24, Seções 2.5 a 2.7 TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 2

2 29/3/26 Geometria Projetiva 2D Razão Anarmônica TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 3 Razão Anarmônica Razão anarmônica(crossratio) é uma grandeza escalar invariante à transformações projetivas cross x,x,x,x x,x x,x x,x x,x para x,x det A notação e a imagem assume P, mas a relação estende para pontos colineares em P. TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 4 2

3 29/3/26 Geometria Projetiva 2D Recuperação de Propriedades Afins e Métricas TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 5 Propriedades de Interesse Propriedades obtidas partir da linha no infinito Paralelismo, razão entre distâncias paralelas e razão entre áreas Propriedades obtidas a partir de pontos circulares Ângulos e razão entre distâncias TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 6 3

4 29/3/26 Linha de Fuga A reta no infinito l mapeia para uma reta finita (linha de fuga) sob transformações projetivas l l l (Transformação projetiva) TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 7 Retificação Afim Como explorar a invariância da linha no infinito A reta no infinito l é fixasob transformações afins i.e., ela permanece no infinito após a transformação l l t l Transformações afins preservam paralelismo, razão entre distâncias paralelas e entre áreas Retificação afim mapeia a linha de fuga de volta para o infinito, o que permite recuperar as propriedades citadas TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 8 4

5 29/3/26 Retificação Afim Como explorar a invariância da linha no infinito Realidade Dados Disponíveis Objetivo l l l l (Projeção) (Transformação afim) (Retificação) TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 9 Retificação Afim v l v l l l l v v Resultado Preencha cada pixel, da imagem resultante com a intensidade na posição /,/ da imagem de entrada. TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 5

6 29/3/26 Cálculo de Ponto de Fuga A partir de taxas de comprimentos v Passo Informação conhecida dist a,b dist b,c c b a Coloque a, be cem P como,,, e, Passo 2 Coloque a, b e c em P como,,, e, Passo 3 Calcule a matriz que mapeia a a, b b e c c Informação medida sobre a imagem dist a,b dist b,c Passo 4 Obtenha v sobre a reta como v TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens Pontos Circulares Pontos circulares(ou pontos absolutos) são um par de pontos no infinitocom imagináro Permitem a construção de círculos como cônicas a partir de cinco pontos I e J para Algebricamente, codificam direções ortogonais. TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 2 6

7 29/3/26 Cálculo de Ângulos Como explorar a invariância de pontos circulares Os pontos circulares Ie Jsão fixossob similaridades i.e., eles permanece no infinito após a transformação s cos sin I I sin cos J JJ Similaridades preservam paralelismo, razão entre distâncias, entre áreas e ângulos I Retificação para mapear os pontos circulares de volta para o infinito, e recuperar as propriedades citadas TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 3 Cálculo de Ângulos Como explorar a invariância de pontos circulares A cônica dual aos pontos circulares e também é fixa sob similaridade I J J I No sistema Euclidiano de coordenadas:. TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 4 7

8 29/3/26 Cálculo de Ângulos Como explorar a invariância de pontos circulares Em geometria Euclidiana, para o cosseno do ângulo entre as retas l,, e m,, temos cos A expressão análoga invariante à transformações projetivas é dada por cos l m l l m m l mpara retas ortogonais. TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 5 Cálculo de Razão entre Distâncias Como explorar a invariância de pontos circulares dist y,z dist x,z sin sin z m z x y x l y n l m n cos cos TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 6 8

9 29/3/26 Propriedades Métricas a Partir de Imagens v v v v A decomposição é a componente afim e v a componente projetiva. mostra que a retificação é dada por. TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 7 Propriedades Métricas a Partir de Imagens Caso : retificação métrica a partir da afim Após a retificação afim, reduz para As imagens l e m de um par de retas ortogonais no mundo definem a relação l m cos 2 O que fazer: Resolva o sistema homogêneo formado considerando dois pares de retas ortogonais. As três variáveis são os coeficientes da matriz simétrica TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 8 9

10 29/3/26 Propriedades Métricas a Partir de Imagens Caso 2: retificação métrica a partir da imagem original As imagens l e m de um par de retas ortogonais no mundo definem a relação l v v v v m cos 2 O que fazer: Resolva o sistema homogêneo formado considerando cinco pares de retas ortogonais. As seis variáveis são os coeficientes da matriz TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 9 Propriedades Métricas a Partir de Imagens Caso 3: retificação métrica a partir de elipse A projeção de um círculono mundo real é uma elipse na imagem Identifique os dois pontos de interseçãoentre a elipsee a linha de fuga (complexa)l Eles correspondem à imagem dos pontos circulares Construa a cônica dual diretamente à partir desses pontos TIC-.73 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 2